La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».

Un nombre est un concept permettant d’évaluer et de comparer des quantités ou des rapports de grandeurs, mais aussi d’ordonner des éléments par une numérotation. Souvent écrits à l’aide d’un ou plusieurs chiffres, les nombres interagissent par le biais d’opérations qui sont résumées par des règles de calcul. Les propriétés de ces relations entre les nombres sont l’objet d’étude de l’arithmétique, qui se prolonge avec la théorie des nombres.

En l’absence d’une définition générale satisfaisante de cette notion, les mathématiques proposent plusieurs types de nombres pour exprimer des mesures physiques, résoudre des équations, voire pour appréhender l’infini.

En physique, les grandeurs sans dimension sont souvent appelées « nombres », tels le nombre de Reynolds en mécanique des fluides ou les nombres quantiques.

En dehors de leur utilisation scientifique, plusieurs nombres ont aussi acquis une charge symbolique forte dans les cultures populaires et religieuses.

Conception

Principe

Le concept de nombre trouve son origine dans l’idée d’appariement, c’est-à-dire de la mise en correspondance d’ensembles (par exemple des êtres humains d’une part et des chevaux d’autre part). Si l’on tente de répartir tous les éléments en couples comprenant un élément de chaque ensemble, il se peut qu’il reste des éléments d’un ensemble en trop, ou qu’il en manque, ou encore qu’il y en ait juste assez. L’expérience montre alors que la manière de faire la répartition ne change pas le résultat, d’où la notion de quantité, caractère intrinsèque et qui peut être comparé.

Cette quantité n’est pas encore un nombre mais est parfois désignée comme un « nombre-de ». Le nombre en tant que tel ne possède pas d’unité de mesure. Il est d’après Euclide « un assemblage composé d’unités », où « l’unité est ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une. »

Parallèlement à la notion de quantité, lié à l’aspect « cardinal », la notion de repérage dans une liste mène à la définition du nombre « ordinal » : le premier nombre est suivi d’un deuxième, lui-même suivi d’un autre et ainsi de suite « jusqu’à l’infini ».

Extension progressive

Sans calcul, les nombres sont limités à la quantité de symboles utilisables. La découverte des opérations numériques élémentaires (addition et multiplication notamment) va permettre aux mathématiques de faciliter la description des nombres beaucoup plus grands à l’aide de divers systèmes de numération. La civilisation babylonienne découvre notamment la notation positionnelle dès le III millénaire avant notre ère et pratique alors le calcul avec des nombres ayant une partie fractionnaire.

Les fractions sont conçues en Égypte antique sous formes de « quantièmes », c’est-à-dire d’inverses d’entiers. Leur manipulation est alors soumise à certaines contraintes qui ne seront surmontées que par l’interprétation géométrique comme rapport de longueurs (entières). Toutefois, ni les fractions ni les autres proportions géométriques telles que pi, le nombre d’or ou la diagonale du carré ne seront vraiment considérées comme des nombres par les mathématiciens de la Grèce antique, pour qui les seuls nombres sont entiers.

Même si le chiffre « 0 » est employé dans certains systèmes de numération positionnelle par plusieurs civilisations antiques, le nombre zéro n’apparait en tant que tel qu’au VII siècle dans les mathématiques indiennes. Il est repris par la civilisation de l’Islam et importé en Europe au X siècle. Sous le qualificatif d’« absurdes », les nombres négatifs sont déjà étudiés au XVI siècle mais leurs propriétés arithmétiques font encore polémique au début du XIX siècle.

Les nombres algébriques réels positifs sont étudiés avec le développement de l’algèbre par les mathématiciens arabes. Ces derniers en calculent des valeurs approchées en notation décimale dès le XII siècle. Cette même algèbre conduira certains mathématiciens italiens à inventer au XVI siècle des nombres « imaginaires », première approche des nombres complexes qui ne seront définis de manière satisfaisante qu’au XVIII siècle. Leur construction géométrique sera d’ailleurs rapidement suivie de celle des quaternions puis d’autres nombres hypercomplexes pendant le siècle suivant.

Paradoxalement, il faudra cependant attendre le XIX siècle pour que soit reconnue l’existence de nombres transcendants, juste avant que soit formalisée la notion de nombre réel indépendamment de la géométrie. La procédure de complétion des nombres rationnels sera imitée au début du XX siècle pour construire les nombres p-adiques.

Les nombres transfinis sont introduits de diverses manières à partir de la fin du XIX siècle, lorsque Georg Cantor définit les ordinaux et cardinaux. Dans la seconde moitié du XX siècle, l’analyse non standard fait usage de nombres hyperréels puis superréels, tandis que Conway présente les nombres surréels et pseudo-réels.

Pédagogie

Diverses expériences explorent les capacités numériques chez l’enfant en bas âge.

Dans l’éducation, l’apprentissage du nombre débute avec l’acquisition de la « chaine numérique », notamment à l’aide de comptines : « un, deux, trois… » Cette liste sera progressivement prolongée pour permettre à l’enfant d’énumérer des objets qu’il manipule afin de les dénombrer (en associant à cette quantité le dernier terme de l’énumération), mais aussi pour repérer une position dans une série ordonnée.

Relations d'inclusion entre les différents ensembles de nombres étudiés durant la scolarité.

Au cours de la scolarité, l’enfant est amené à considérer divers types de nombres rangés dans une suite croissante d’ensembles :

l’ensemble N (ou ) des entiers naturels, qui peuvent s’écrire à l’aide des dix chiffres arabes ;

l’ensemble Z (ou ) des entiers relatifs, qui sont munis d’un signe positif () ou négatif () ;

l’ensemble D (ou ) des nombres décimaux, qui admettent une partie entière et une partie décimale de longueur finie, en général notées de part et d'autre d'une virgule ;

l’ensemble Q (ou ) des nombres rationnels, qui sont représentés par des fractions avec un numérateur et un dénominateur entiers (ou décimaux) ;

l’ensemble R (ou ) des nombres réels, qui repèrent tous les points d’un axe orienté continu ;

l’ensemble C (ou ) des nombres complexes, qui peuvent décrire tous les points d’un plan.

Numération

Origine

L’idée de quantité et sa codification visuelle sont vraisemblablement antérieures à l’apparition de l’écriture. Plusieurs procédés de comptage sont progressivement développés pour décrire la taille d’un troupeau et contrôler son évolution, suivre un calendrier ou mesurer des récoltes.

Au IV millénaire avant notre ère, les civilisations mésopotamiennes utilisent ainsi des boules creuses d’argile contenant des jetons, puis des tablettes d’argile munies de marques. Un système de notation (dit « système S ») est employé pour la désignation des quantités discrètes, tandis que les surfaces et autres grandeurs sont représentées chacune selon un système de notation propre. Il faut attendre la fusion de ces systèmes, à la fin du III millénaire avant notre ère, pour voir se former véritablement le concept du nombre abstrait, indépendant de ses réalisations concrètes.

Du signe au chiffre

Dans les systèmes de numération additifs, certains symboles (variables selon les cultures) représentent des quantités précises et sont juxtaposés pour désigner tous les nombres utiles.

Les systèmes alphabétiques associent la liste des lettres de l’alphabet (employant en renfort des lettres inusitées, désuètes ou inventées) aux neuf unités, neuf dizaines et neuf centaines pour écrire chaque nombre entre 1 et 999 en trois caractères maximum. Pour écrire des valeurs supérieures, un nouveau groupe de trois lettres maximum désignant les milliers est placé à gauche, séparé par une apostrophe.

Ce système est proche de l’écriture positionnelle chiffrée, dans laquelle chaque position ne contient (au plus) qu’un seul chiffre.

Arithmétique

Opérations

Dès lors que les quantités sont représentées par des symboles, la manipulation des quantités doit être traduite par des opérations sur les nombres. Ainsi, la réunion de deux quantités définit l’opération d’addition et la répétition d’une certaine quantité donne lieu à la multiplication. Ces deux opérations directes admettent des opérations réciproques : la soustraction et la division, qui permettent de retrouver l’un des opérandes à partir du résultat et de l’autre opérande.

Chacune de ces opérations est réalisée selon diverses techniques de calcul. Mais contrairement aux opérations directes qui sont définies sans restriction, les opérations réciproques n’aboutissent que sous certaines conditions. Ainsi, avant l’utilisation des nombres négatifs, un nombre ne peut être soustrait qu’à un nombre plus grand. De même, la notion de divisibilité décrit la réalisabilité d’une division. Le processus de division euclidienne a cependant l’avantage de fournir un résultat même sans l’hypothèse de divisibilité. Cette dernière s’exprime alors par l’absence de reste.

À partir du moment où la multiplication apparaît comme une opération purement numérique, sa répétition définit les puissances d’un nombre, dont les opérations réciproques sont appelées racines. D’autres opérations telles que la factorielle sont développées dans le cadre de la combinatoire.

Multiple et diviseur

Dans ce paragraphe, les nombres considérés sont des entiers naturels non nuls.

Étant donné un nombre, l’ensemble de ses multiples est infini mais régulièrement réparti et facile à décrire par une suite arithmétique. Par exemple, les multiples de 2 sont les nombres pairs, qui sont alternés avec les nombres impairs parmi tous les entiers.

Au contraire, l’ensemble des diviseurs d’un nombre est toujours fini et sa répartition n’a pas du tout le même genre de régularité. Il contient certes toujours le nombre à diviser et le nombre 1, les éventuels autres diviseurs se situant entre ces deux extrêmes. Mais il est en général difficile de lister ces autres diviseurs à partir d’une écriture du nombre dans une base donnée.

Ce problème est lié en partie à la rareté de critères simples pour déterminer sans calcul si un nombre est divisible par un autre. Dans un système de numération positionnelle décimale, plusieurs critères de divisibilité sont connus pour de petits diviseurs (surtout pour 2, 3, 5, 9 et 10), mais en dehors de ces quelques cas, c’est essentiellement la division euclidienne qui permet de répondre à cette question.

Nombre premier

Hormis le nombre 1, qui est son seul diviseur, tout nombre admet donc au moins deux diviseurs distincts. Ceux qui en admettent exactement deux sont appelés nombres premiers. Ils sont les seuls à pouvoir réduire d’autres nombres par division, sans être eux-mêmes décomposables en produit de nombres strictement plus petits. Il en existe une infinité et chaque nombre se décompose de manière unique en un produit de nombres premiers. Cette décomposition permet entre autres de comprendre la structure de l’ensemble des diviseurs.

Vers la théorie des nombres

Les opérations définies sur les entiers s’étendent à d’autres objets mathématiques qui ne prendront que progressivement le statut de nombre. Les nombres avec une partie fractionnaire, les fractions, puis zéro et les nombres négatifs, les nombres algébriques et certains nombres d’abord qualifiés d’« imaginaires » sont l’objet d’étude d’une arithmétique qui se développe jusqu’à prendre le nom de théorie des nombres.

Géométrie

Nombre figuré

La tetraktys pythagoricienne.

L’évaluation d’une quantité d’objets se fait plus ou moins rapidement selon la manière dont les objets sont rangés. Par exemple, seize jetons se comptent bien plus facilement s’ils sont disposés en carré que s’ils sont jetés en désordre sur une table. De même, la tetraktys des pythagoriciens est le rangement de dix points en triangle. D’autres formes sont étudiées sous cet angle dans le plan (hexagones par exemple) ou dans l’espace par des empilements de figures.

Cette vision des nombres comme des configurations géométriques permet entre autres d’interpréter le produit de deux nombres comme le rectangle dont les côtés sont décrits par ces deux nombres, d’où la nécessaire commutativité de la multiplication, c’est-à-dire que l’ordre dans lequel on effectue la multiplication n’a pas d’influence sur le résultat. D’autres propriétés arithmétiques peuvent s’énoncer géométriquement. Ainsi, un nombre est pair s’il est représentable par un rectangle sur deux lignes ; il est premier si la seule manière de le représenter sous forme de rectangle est une ligne de plusieurs points.

Rapport de grandeur

Certains nombres proviennent de rapports géométriques comme pi, rapport de la circonférence du cercle à son diamètre, ou le nombre d’or, né du problème de la division « en extrême et moyenne raison ».

数是一个用作计数、标记或用作量度的抽象概念，是比较同质或同属性事物的等级的简单符号记录形式（或称度量）。代表数的一系列符号，包括数字、运算符号等统称为记数系统。在日常生活中，数通常出现在在标记（如公路、电话和门牌号码）、串行的指标（串行号）和代码（ISBN）上。在数学里，数的定义延伸至包含如分数、负数、无理数、超越数及复数等抽象化的概念。

起初人们只觉得某部分的数是数，后来随着需要，逐步将数的概念扩大；例如毕达哥拉斯认为，数必须能用整数和整数的比表达的，后来发现无理数无法这样表达，引起第一次数学危机，但人们渐渐接受无理数的存在，令数的概念得到扩展。

数的算术运算（如加减乘除）在抽象代数这一数学分支内被广义化成抽象数字系统，如群、环和体等。

数的类别

四元数

八元数

十六元数

P进数

表示方式

分数

小数

科学记数法

数字系统

进位制

记数系统

数和以符号来表示数的记数系统不同。 五可以表示成十进位数5和罗马数字V。 记数系统在历史上的重要发展是进制的发展， 如现今的十进制，可以用来表示极大的数。 而罗马数字则需要额外的符号来表示较大的数。 记数系统是指用何种方式来记录数的系统，可以是符号形式，也可以是实物形式。 无论符号记数还是实物记数， 如今都抽象成了数码的有序左右排列形式，并且认定左面的数码是右面数码的N倍（N是一个大于1的自然数），这就是N进制记数法，简称为N进制。N＝2、3、4、5、8、10、16、...的进制，就分别称为二进制、三进制、四进制、五进制、八进制、十进制、十六进制、...各种进制数之间可以转化。 例如二进制的10111和十进制的23可以相互转化。 人们熟悉十进制，目前电子机器记数使用二进制，将来出现四进制的量子态记数方式也未必可知。 记数系统中使用的占位符号叫数码，N进制的数码所代表的数从0到N-1，分别用0、1、2、... 、@来记，其中@代表的数是N-1，是最大数码。 例如十六进制使用的数码是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，十六进制的最大数码@就是“F”。 用数码左右排列的数如果认定某数码间的位置有一个小数点，就可以表示具有小数部分的数。 小数点左移一位，该数就缩小N倍，相反则该数扩大N倍。 人们习惯用“-”放在数码排列的最左面来表示负数，例如十进制的-675.76。 机器表示正负数一般不用“+”、“-”，而使用限位数的方法。限位数就是数码位数固定的数。 例如，3位十进制数共有1000个，只能是000～999，不可能出现其他的表示。 如果认定某位置有小数点，这1000个数就可以表示具有小数部分的数。 限位数可以不用“+”、“-”就可以表示正负数，方法是将所有能表示出来的数按着大小分为对称的两部分， 对称的规则是“表示的两整数之和是数的总数”， 较大的那个对称数就表示较小那个对称数的相反数。 这种规定之下，3位十进制数的501～999就可以认定是负数-499～-1，由于500自身对称，去掉二义性， 规定500就表示是“-500”,这就是对称制。对称制中偶进制的负数会比正数多一个， 因而表数正负数的区间不对称，但N是奇数时，表数区间是对称的。对称制适合机器数值计算。

历史

整数的历史 第一个数 数的第一次使用可回溯到大约西元前三万年前， 当计数符号被旧石器时代的人使用的时期。 现今所知最早的一个例子在南非的一个洞穴内。此一系统没有进制的概念（如现今所用的十进制），这使得它表示大数的能力受到了限制。 现今所知最早有进制的系统则是美索不达米亚的六十进制（约西元前3400年）， 而最早的十进制在西元前3100年的埃及。 0的历史 把零当成数来使用和其在进制中当占位标记不同。 许多的古印度人使用梵文Shunya来指虚无这一概念， 而在数学文章内，这一词则常被拿来指零这一数。 波你尼（Pāṇini，西元前5世纪）在其以梵文写形式文法的书－八章书（Ashtadhyayi）里，使用了无效（零）算子。 文献显示古希腊似乎不确定零做成一个数的地位： 他们问自己"无物如何变成有物"，因而导致有趣的哲学问题。 在中世纪时，零和真空的性质和存在甚至成了宗教上的争论。 埃利亚人芝诺的悖论很大一部份便依靠在对零不确定的解释上。（古希腊人甚至怀疑过1是否是一个数。） 墨西哥中南部奥尔梅克文明晚期的人民已在新大陆上开始使用真正的零， 其时间可能是在西元前4世纪，但较肯定的是在西元前40年，它变成了玛雅数字和玛雅历的一部份， 但完全没有影响到旧大陆的记数系统。 西元130年时，托勒密被喜帕恰斯和巴比伦人在六十进制里使用了零的符号（小圆圈加上一长上标线）所影响，将其使用在希腊数字上。因为它只是单独使用，而非做为一占位符，希腊的零是旧大陆第一个做为书写使用的真正的零。而在之后的拜占庭抄本上，希腊的零才演变成了希腊字母Ο（另外它也有70的意思）。 另一真正的零在西元525年被使用在以罗马数字编制的表格上（狄奥尼修斯·伊希格斯是现知第一位用户），但当时是使用意思为无物的一个名词nulla，而非一个符号。当除法把零视为余数时，则使用另一意思也是无物的词nihil。中世纪的零被所有中世纪计算复活节的计算家们使用着。其首字母 N 的单独使用是在西元725年由圣比德或其同僚在罗字数字的表格上使用，一个真正的零的符号。 零的一个早期书写使用是于西元628年由婆罗摩笈多（写于宇宙的开始（Brāhmasphuṭasiddhānta））所使用的。他把零视为一个数，并讨论包含零的运算，包括除法。在同一时期（西元七世纪），其概念已很清楚地传到了柬埔寨，后来显示其观念的文书更传到了中国和伊斯兰世界。 负数的历史 负数的抽象概念早在西元前100年至50年间就被确认过了。中国的九章算术里就提到寻找图形面积的方法：以红色棒子来标记正数，黑色来标记负数。这是负数在东方最早被提及的记录。而西方的第一次论述则是在西元三世纪的希腊，丢番图在其著作Arithhmetica里提及一个和（其解为负数）相等的方程，且说这个方程会给出荒谬的解答。 在西元七世纪间，负数在印度被用来表示负债。丢番图先前的论述被印度数学家婆罗摩笈多在宇宙的开始中讨论的更详尽，他使用负数来产生公式解，到现在还依然被使用着。但到了西元12世纪的印度，婆什迦罗第二在得出一元二次方程的负根之后，却还说这一负值「在此例不被采用，因为它不适合；人们不会同意有负根的。」 大多数的欧洲数学家直到西元十七世纪仍不接受负数的概念，虽然斐波那契允许负数在金融问题上被解释为负债，后来又允许视为损失。负数在欧洲的第一次被使用是在西元十五世纪被尼古拉斯·丘凯所使用的。他把负号加上数的右上方（幂的位置）上来表示负数，但也说这些负数是「荒谬的数」。亚诺用（-1）:1=1:（-1）这个比例式来反对引进负数这个概念，在这个比例式中，大数比小数等于小数比大数。 十七世纪，数学家沃利斯主张负数会大于无限，而且一般的实作应该忽略任何由题目导出的负数，因为它们是无意义的。 有理数、无理数和实数的历史 有理数的历史 有理数的概念，相信起源于史前时期。就连古埃及的数学手稿中已经出现了将一般的分数转换成古埃及分数的方法。古希腊和古印度数学家也将有理数理论的研究作为一般数论研究的一部分。 其中最有名的是公元前300年左右的欧几里得的几何原本。在古印度手稿中与此最为相关的则是研究数论的Sthananga Sutra。 小数的概念与十进制记号有紧密的关系;它们似乎是串联地发展的。 比如说，在印度耆那教的箴言集就提到了和2的算术平方根. 复数 最早但短暂论及负数平方根的是在西元一世纪希腊数学家和发明家希罗的工作中，当他在思考一金字塔可能的平截头体体积时。复数在西元十六世纪开始变得很显著，因为意大利数学家（见塔塔利亚和卡尔达诺）所发现三次及四次多项式的公式解。这一公式很快就被知道，而即使只注意实数解的部份，有时也会有需要操作负数平方根的时候。 这使人感到双倍的不安，因为当时连负数都不被认为是很牢固的了。虚（imaginary）这一词因此在1637年被笛卡尔创造出来，并且带有些许贬义（参考虚数中讨论复数真实性的部份）。更令人困惑的来源是等式似乎任性地不和代数恒等式相合，而这一代数恒等式却是在a和b都是正数时成立，而且也在a和b一正一负时可以被使用在复数计算上。这一恒等式（和另一相关的恒等式）在a和b皆为负数时的错误使用甚至使得莱昂哈德·欧拉感到迷惑。这一困难最终导致他使用一特别的符号i来取代来警惕此一错误。 观看十八世纪时亚伯拉罕·棣莫弗和莱昂哈德·欧拉的工作。棣莫弗于西元1730年完成了以他为名的著名公式，棣莫弗定理： 而欧拉则在西元1748元完成复数分析中的欧拉公式： 复数的存在在西元1799年由卡斯帕尔·韦塞尔提出了几何解释之前都没有被完全地接受，这一解释在几年后被高斯重新发现并普及，结果使复数理论得到了显要的扩张。复数图像表示的概念早在1685年便在沃利斯的De Algebra tractatus一书中提及。 也是在1799年，高斯提出了第一个广为人接受的代数基本定理证明，表示任一复数系数多项都有完全的复数解。复数理论被广泛地接受，奥古斯丁·路易·柯西和尼尔斯·阿贝尔的工作也占了很大的功劳，尤其是后者，他是第一个大胆成功使用复数的人。 高斯研究过高斯整数（中的a和b是整数或有理数）。而其学生费迪南·艾森斯坦则研究过中的ω是复数根的类型。其他种类的复数还有由较大值的单位根推出的类型。其普遍化大部份归功于恩斯特·库默尔的工作，他也引进了理想数的概念，它在1893年被菲利克斯·克莱因表示成几何实体。域的一般理论由埃瓦里斯特·伽罗瓦创造出来，他主要在研究由多项式方程产生出来的体。 西元1850年，皮瑟成功地把极点（pole）和分支点（branch point）区别出来，而且引起了数学奇点的概念，这一概念最终导致出了黎曼球的概念。

另见

数线

数表

№

阿拉伯数字

巴比伦数字

古埃及数字

希腊数字

罗马数字

希伯来数字

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