En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.

Dans son sens ancien, l'angle est une figure plane, portion de plan délimitée par deux droites sécantes. C'est ainsi qu'on parle des angles d'un polygone. Cependant, l'usage est maintenant d'employer le terme « secteur angulaire » pour une telle figure. L'angle peut désigner également une portion de l'espace délimitée par deux plans (angle dièdre). La mesure de tels angles porte couramment mais abusivement le nom d'angle elle aussi.

En un sens plus abstrait, l'angle est une classe d'équivalence, c'est-à-dire un ensemble obtenu en assimilant entre eux tous les angles-figures identifiables par isométrie. L'une quelconque des figures identifiées est alors appelée représentant de l'angle. Tous ces représentants ayant même mesure, on peut parler de mesure de l'angle abstrait.

Il est possible de définir une notion d'angle orienté en géométrie euclidienne du plan, ainsi que d'étendre la notion d'angle au cadre des espaces vectoriels préhilbertiens ou des variétés riemanniennes.

Histoire

Le mot angle dérive du latin angulus, mot qui signifie « le coin ». Selon le mathématicien Carpos d'Antioche, l'angle est une quantité et l'intervalle des lignes ou des surfaces qui le comprennent ; cet intervalle est dimensionné d'une seule manière, et pourtant l'angle n'est pas une ligne pour cela.

L'angle comme figure du plan ou de l'espace

Secteur angulaire et angle

Un secteur angulaire est une figure plane obtenue par intersection ou réunion de deux demi-plans délimités par des droites sécantes ou confondues.

L'angle d'un secteur angulaire est le nombre réel positif qui mesure la proportion du plan occupée par le secteur angulaire. Les unités utilisées pour le quantifier sont le radian, le quadrant et ses subdivisions le degré, ses sous-unités et le grade. Les angles sont fréquemment notés par une lettre grecque minuscule, par exemple α, β, θ, ρ... Lorsque l'angle est au sommet d'un polygone et qu'il n'y a pas d'ambiguïté, on utilise alors le nom du sommet surmonté d'un chapeau, par exemple Â.

L'angle peut aussi s'interpréter comme l'ouverture du secteur angulaire, c'est-à-dire la « vitesse » à laquelle s'éloignent les droites l'une de l'autre lorsque l'on s'éloigne du point d'intersection. C'est la mesure de l'inclinaison d'une droite par rapport à l'autre.

Valeur d'un angle

Pour évaluer cet angle, cette « proportion de surface », on prend un disque centré au point d'intersection, et on effectue le rapport entre l'aire de la portion de disque interceptée par le secteur angulaire et l'aire totale du disque. On peut montrer que cela revient également à faire le rapport entre la longueur de l'arc intercepté et la circonférence du cercle ; cette valeur inférieure à 1 est appelée nombre de tour. La valeur 1/4 (quart de tour) correspond au quadrant.

Une unité couramment utilisée est le degré, qui est le résultat de la division du quadrant en 90 parts égales. Le tour complet correspond donc à 360 degrés. La minute d'arc est un sous-multiple du degré, égale à 1/60 de degré. De même, la seconde d'arc est égale à 1/60 de la minute d'arc, soit 1/3600 de degré. On utilise plus rarement le grade, qui correspond à une subdivision centésimale du quadrant.

L'unité internationale de mesure des angles est cependant le radian, défini comme le rapport entre la longueur de l'arc intercepté et le rayon du cercle. Le tour complet correspond donc à radians.

Les angles peuvent être calculés à partir des longueurs des côtés de polygones, notamment de triangles, en utilisant la trigonométrie.

L'unité de mesure des angles utilisée principalement par les militaires est le millième. Il est l'angle sous lequel on voit 1 mètre à 1 kilomètre. 6283 millièmes correspond à 2π radians ou 360 degrés, soit 360 °/arctan(1 m/1 000 m). Autrement-dit, millième = mrad (milliradian).

« Sur le terrain », les angles peuvent être mesurés avec un appareil appelé goniomètre ; il comporte en général une règle courbe graduée en degrés, appelée rapporteur.

Nom des angles

Les angles correspondant à un nombre entier de quadrants portent un nom particulier

L'angle droit est obtenu en considérant deux droites qui divisent le plan en quatre secteurs égaux. De telles droites sont dites « orthogonales » ou « perpendiculaires ».

Les qualificatifs suivant sont employés pour les angles prenant des valeurs intermédiaires entre ces valeurs remarquables :

l'angle rentrant est un angle supérieur à l'angle plat ;

l'angle saillant est un angle inférieur à l'angle plat ;

l'angle obtus est compris entre 90° et 180° ;

l'angle aigu est compris entre 0° et 90°.

Pour qualifier les valeurs relatives de deux angles, on emploie les expressions suivantes :

deux angles sont complémentaires quand leur somme fait 90 ° ; si deux angles sont complémentaires, chacun est dit être le complément de l'autre ;

deux angles sont supplémentaires quand leur somme fait 180 °.

On emploie encore d'autres expressions pour qualifier la position des angles sur une figure, c'est-à-dire plus justement, la position relative de secteurs angulaires :

deux secteurs angulaires sont opposés par le sommet, lorsqu'ils ont le même sommet et que les côtés de l'un sont dans le prolongement de ceux de l'autre. Dans ce cas les angles correspondants sont égaux.

deux secteurs angulaires sont adjacents lorsqu'ils ont le même sommet, un côté commun, et que leur intersection est égale à ce côté commun. Les angles s'ajoutent lorsqu'on considère la réunion de ces secteurs.

les angles alternes-externes et les angles alternes-internes sont formés par deux droites coupées par une sécante. Ces angles ont la même mesure lorsque les deux droites sont parallèles.

Remarque, deux angles complémentaires ou supplémentaires ne sont pas nécessairement adjacents : Par exemple, dans un triangle ABE rectangle en B, les angles  et Ê sont complémentaires.

Par extension, on définit également les angles entre des demi-droites, des segments de droite et des vecteurs, en prolongeant les droites portant ces objets jusqu'à leur intersection. La définition par des demi-droites ou des vecteurs permet de lever l'indétermination entre les angles supplémentaires, c'est-à-dire de définir sans ambiguïté quel secteur angulaire utiliser pour définir l'inclinaison des directions.

Angle géométrique

Un angle géométrique est un objet mathématique pouvant être représenté par un secteur angulaire. On peut l'interpréter de plusieurs façons : divergence entre deux directions, directions des faces d'un objet (coin), direction visée par rapport au nord (angle donné par une boussole)…

est un angle géométrique.

On a par ailleurs :

On confond fréquemment « mesure de l'angle » et « angle ». Ainsi par exemple un angle « plat » est appelé abusivement angle « égal » à 180.

Cet abus est appliqué largement dans la suite de cet article.

D'autre part un angle droit par exemple, peut être représenté par plusieurs secteurs angulaires différents, mais comme ils sont tous « superposables », ils représentent tous le même angle. En mathématiques on parle de « classe d'équivalence ».

Angles orientés dans le plan

Si le plan est orienté, un même angle peut être déclaré aussi bien positif que négatif, selon le sens dans lequel on « tourne » du premier vecteur au second. Par convention, on oriente le plan dans le sens dit « trigonométrique », c'est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (ou « sens anti-horaire »). Si l'on considère deux demi-droites ou vecteurs, alors l'ordre dans lequel on cite les demi-droites ou les vecteurs définit le sens de l'angle, donc son signe ; ainsi :

Les angles sont définis à un nombre entier de tours près. Ainsi, le plan complet peut être défini par un tour complet dans le sens positif, deux tours complets dans le sens positif, un tour complet dans le sens négatif... En radians, on dit que les angles sont définis à 2π près (« à-deux-pi-près »). Par exemple, si l'angle α est droit de sens direct, il est noté :

ou bien

Cette dernière notation se lit : « alpha est congru à pi-sur-deux modulo deux-pi ».

On remarque notamment que pour deux demi-droites (ou deux vecteurs) données, le fait de choisir la « petite » ou la « grande » portion de plan importe peu, puisque α ≡ α -  2π (cf. illustration ci-dessus).

Angles orientés de vecteurs

Rotations vectorielles

Rappelons à leur sujet deux points cruciaux pour la suite :

Les isométries positives du plan sont, parmi les transformations préservant les longueurs, celles dont le déterminant vaut 1. Ce sont les rotations vectorielles planes. Elles forment le sous-groupe commutatif SO(2) du groupe orthogonal O(2) du plan.

Proposition.—Si u et v sont deux vecteurs unités distincts, il existe une unique rotation f envoyant u sur v. D'où une application T : (u, v) → f, des couples de vecteurs unitaires vers les rotations.

Un angle orienté de vecteurs est une classe d'équivalence

En disant que (u, v)R(u', v') s'il existe une rotation g telle que u'=g(u) et v'=g(v), on définit une relation d'équivalence R sur les couples de vecteurs unitaires. On appelle angle orienté de vecteurs les classes d'équivalence dans cette relation. En confondant abusivement un représentant et sa classe, on a par exemple : (-u, -v) = (u, v) par le demi-tour.

L'application T : (u, v)→ f « passe au quotient par R » et l'application S obtenue, des classes de R-équivalence vers les rotations, est bijective. Autrement dit :

Le choix de l'une des deux orientations du plan détermine l'un des deux isomorphismes du groupe SO(2) des rotations avec le groupe U des nombres complexes de module 1. L'exponentielle complexe permet alors de définir l'angle d'une rotation à 2π près. Si f=T(u, v) est une rotation d'angle , on dira aussi que est une mesure de l'angle orienté de vecteurs (u, v). Pour être digne d'un tel nom, il manque à cette mesure le caractère additif. Avec les angles géométriques, on a des ennuis additifs quand ils sont trop grands ! Pour les angles orientés de vecteurs, il faut d'abord définir la somme...

Les angles orientés de vecteurs forment un groupe

Somme d'angles orientés

La somme est définie en tirant en arrière le long de la bijection S la composition dans SO(2). En confondant un représentant avec sa classe, cela donne :

Le groupe des angles orientés de vecteurs est commutatif, comme SO(2).

Avec T(u, v)oT(v, w)=T(u, w) on obtient pour les angles la relation de Chasles (u, v)+(v, w)=(u, w)

L'angle plein correspond à l'identité : (u, u) = 0

(v, u)+(u, v) = (v, v) = 0 et donc (v, u) est l'opposé de (u, v)

L'angle plat est la moitié d'un plein : (-Id) o (-Id) = Id. L'angle plat s'écrit donc (u, -u).

Il y a deux angles droits, solutions de 2(u, v) = (u, –u).

Enfin une vraie mesure d'angles

Une orientation du plan étant choisie, la mesure d'un angle orienté de vecteurs est définie par :

,

où la matrice est celle de T(u, v) dans n'importe quelle base orthonormée directe.

C'est un isomorphisme du groupe des angles orientés dans le groupe additif des « réels modulo 2π » ; ainsi la mesure des angles est enfin additive !

Effet des isométries sur les angles orientés de vecteurs

Les isométries positives conservent les angles orientés de vecteurs par construction.

Les réflexions orthogonales (isométries planes indirectes) renversent les angles orientés de vecteurs : si u et v sont deux vecteurs unitaires non opposés, la réflexion sD d'axe D dirigé par u+v échange u et v et donc (u, v) en son opposé (v, u). Toute réflexion s'obtient en composant sD avec une rotation (on fait tourner l'axe) ; une telle réflexion renverse encore l'angle (u, v).

Angles dans l'espace

Deux droites sécantes sont nécessairement coplanaires, donc l'angle entre les droites est défini dans ce plan, de la même manière que ci-dessus. Pour orienter le plan, on choisit un vecteur normal au plan : le plan est alors orienté dans le sens trigonométrique lorsque le vecteur normal pointe vers l'observateur. Si l'on a défini une base dans ce plan, alors on choisit pour vecteur normal .

Orientation d'un plan par un vecteur normal

Pour définir l'angle entre deux plans, on considère l'angle que font leurs vecteurs normaux.

Pour définir l'angle entre un plan et une droite, on considère l'angle α entre la droite et sa projection orthogonale sur le plan, ou encore l'angle complémentaire entre la droite et la normale au plan : on retranche l'angle β entre la droite et la normale au plan de l'angle droit (α = π/2 - β en radians).

Pour définir l'angle entre deux droites quelconques de l'espace, on considère l'angle que font leurs vecteurs directeurs (dont le cosinus est égal au produit scalaire de ces vecteurs unitaires), ou encore l'angle planaire que fait une des deux droites avec une quelconque parallèle à l'autre qui la coupe. Cet angle est défini modulo les mêmes choix d'orientation évoqués ci-dessus.

On définit également les angles solides : on prend un point (parfois appelé « point d'observation ») et une surface dans l'espace (la « surface observée »), l'angle solide est la proportion de l'espace délimitée par le cône ayant pour sommet le point considéré et s'appuyant sur le contour de la surface. L'unité est le stéradian (sr en abrégé), l'espace complet fait 4π sr.

Usage

En géodésie (géographie) azimut : angle par rapport à l'axe Nord-Sud sur un plan contenant cet axe et le point visé, compté par rapport au Nord compté dans le sens des aiguilles d'une montre ; latitude : angle que fait une verticale partant d'un point et allant au centre de la Terre par rapport au plan de l'équateur ; les points ayant la même latitude forment un cercle appelé « parallèle » longitude : angle permettant de se repérer sur Terre : angle que fait le plan contenant l'axe Nord-Sud et le point considéré (appelé « plan méridien ») avec un plan de référence contenant aussi l'axe Nord-Sud ; l'intersection d'un plan méridien avec la surface de la Terre est un demi grand-cercle appelé méridien ; le méridien de référence est le méridien de Greenwich droite de hauteur : position d'un point calculé (comprenant azimuth et différence angulaire) par rapport à un point estimé pente : tangente de l'angle d'un terrain vis-à-vis de l'horizontale

azimut : angle par rapport à l'axe Nord-Sud sur un plan contenant cet axe et le point visé, compté par rapport au Nord compté dans le sens des aiguilles d'une montre ;

latitude : angle que fait une verticale partant d'un point et allant au centre de la Terre par rapport au plan de l'équateur ; les points ayant la même latitude forment un cercle appelé « parallèle »

longitude : angle permettant de se repérer sur Terre : angle que fait le plan contenant l'axe Nord-Sud et le point considéré (appelé « plan méridien ») avec un plan de référence contenant aussi l'axe Nord-Sud ; l'intersection d'un plan méridien avec la surface de la Terre est un demi grand-cercle appelé méridien ; le méridien de référence est le méridien de Greenwich

droite de hauteur : position d'un point calculé (comprenant azimuth et différence angulaire) par rapport à un point estimé

pente : tangente de l'angle d'un terrain vis-à-vis de l'horizontale

En astronomie azimut (ou azimuth) : lorsque l'on vise un point depuis le centre de la Terre, angle par rapport à l'axe Nord-Sud sur un plan contenant cet axe et le point visé, compté par rapport au Sud diamètre apparent : angle sous lequel on voit un objet ou un astre distance zénithale : angle entre la verticale et le point visé hauteur : angle entre l'horizontale et le point visé inclinaison : angle entre le plan de l'orbite d'un corps céleste et le plan de référence parallaxe : angle formé par le regard d'une personne qui fixe un point quelconque d'un objet et son changement de position nadir : angle droit vers le bas verticalement par rapport au tour de l'horizon de l'observateur zénith : angle droit vers le haut verticalement par rapport au tour de l'horizon de l'observateur

azimut (ou azimuth) : lorsque l'on vise un point depuis le centre de la Terre, angle par rapport à l'axe Nord-Sud sur un plan contenant cet axe et le point visé, compté par rapport au Sud

diamètre apparent : angle sous lequel on voit un objet ou un astre

distance zénithale : angle entre la verticale et le point visé

hauteur : angle entre l'horizontale et le point visé

inclinaison : angle entre le plan de l'orbite d'un corps céleste et le plan de référence

parallaxe : angle formé par le regard d'une personne qui fixe un point quelconque d'un objet et son changement de position

nadir : angle droit vers le bas verticalement par rapport au tour de l'horizon de l'observateur

zénith : angle droit vers le haut verticalement par rapport au tour de l'horizon de l'observateur

Par ailleurs, la notion d'angle permet de définir une unité de longueur, le parsec

En optique géométrique angle d'incidence : angle entre un vecteur et le vecteur de la surface, par exemple en réflexion et en réfraction, angle entre un rayon lumineux et la normale à la surface d'un dioptre parallaxe

angle d'incidence : angle entre un vecteur et le vecteur de la surface, par exemple en réflexion et en réfraction, angle entre un rayon lumineux et la normale à la surface d'un dioptre

parallaxe

En aérodynamique : angle d'attaque assiette

angle d'attaque

assiette

En balistique hausse

hausse

Angle mort

Unicode中的角符号，Unicode码位为U+2220

在几何学中，角（拼音：jiǎo，注音符号：ㄐㄧㄠˇ）是由两条有公共端点的射线组成的几何对象。这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。一般的角会假设在欧几里得平面上，但在非欧几里得几何中也可以定义角，特别是在球面几何学中的球面角是用大圆的圆弧代替射线。角在几何学和三角学中有着广泛的应用。

几何之父欧几里得曾定义角为在平面中两条不平行的直线的相对斜度。普罗克鲁斯认为角可能是一种特质、一种可量化的量、或是一种关系。欧德谟认为角是相对一直线的偏差，安提阿的卡布斯认为角是二条相交直线之间的空间。欧几里得认为角是一种关系，不过他对直角、锐角或钝角的定义都是量化的。

平面角的大小定义是以两射线交点为圆心的圆被射线所截的弧长与半径之比，单位包括弧度和度、分、秒等。

表示方法

角通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间。图中的角用∠AOB表示。但若在不会产生混淆的情形下，也会直接用顶点的字母表示，例如角∠O。 在数学式中，一般会用希腊字母（α, β, γ, θ, φ, ...）表示角的大小。为避免混淆，符号π一般不用来表示角度。

角的测量

弧度：用角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的半径，一般记作rad。弧度是国际单位制中规定的角的度量，但却不是中国法定计量单位，角度则是角在中国的法定计量单位。此外，弧度在数学及三角学中有广泛的应用。

角度：由角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以360的结果，一般用°来标记，读作“度”。一度可以继续分为60“分”或3600“秒”。角度在天文学和全球定位系统中有重要应用。

梯度：是角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以400的结果。

音分：是角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以1200的结果，1音分=（1÷3）梯度。

半音：是角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以12的结果，1个半音=100音分=30度。

全音：是角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以6的结果，1个全音=2个半音=200音分=60度。

圈数或转数（n = 1）：是指完整旋转一圈，依应用的不同，会简写为cyc、rev或rot，不过在每分钟转速（RPM）的单位中，只用一个字母r表示。

直角（n = 4）：是1/4圈，是几何原本中用的角度单位，直角 = 90° = π/2 rad = 1/4 turn = 100 grad。在德文中曾用表示直角。

时角（n = 24）：常用在天文学中，是1/24圈。此系统是用在一天一个周期的循环（例如星星的相对位置），其六十进制下的子单位称为「时间分角」及「时间秒角」，这两个单位和角度的角分及角秒不同，前者大小为后者的十五倍。1 时角 = 15° = π/12 rad = 1/6 quad. = 1/24 turn ≈ 16.667 grad.。

米位（n = 6000–**00）：此单位是指一个单位大约等于毫弧度的角度，有许多不同的定义，其数值从0.05625度到0.06度（3.375至3.6角分），而毫弧度约为0.05729578度（3.43775角分）。在北大西洋公约组织的国家中，米位定义为圆的1/**00。其数值大约等于一个角度的弧长为一公尺，其半径为一公里的角度（2π / **00 = 0.0009817… ≒ 1/1000）。

角分（n = 21,600）：定义为一度的1/60，是1/21600圈，会用 ′ 表示，例如3° 30′ 等于 3 + 30/60 度，也就是3.5度，有时也会出现小数，例如3° 5.72′ = 3 + 5.72/60度。海里曾定义为在地球的大圆上一角分的弧长。

角秒 （n = 1,296,000）：定义为一角分的1/60，会用 ″ 表示，例如3° 7′ 30″等于3 + 7/60 + 30/3600 度，或是3.125 度。

角的分类

三个零角

直角

优角（或作反角）

周角

锐角（a）、钝角（b）和平角（c）

余角：当两个角的度数之和等于90°，即一个直角，这两个角便是余角。若两个相邻的角互为余角，两个非共用边会形成直角。在欧几里得几何中，非直角的两角即互为余角。

补角：当两个角的度数之和等于180°，即一个平角，这两个角便是互补角。若两个相邻的角互为余角，两个非共用边会形成一直线。不过两个不相邻的角也可以是补角，例如平行四边形中，任两邻角为互补角。圆内接四边形的对角也是互补角。

常用定理

a=c（同位角，AE//BD）

b=d（内错角，AE//BD）

b+c=180°（同旁内角，AE//BD）

当a=c，AE平行于BD（同位角，相等）

当b=d，AE平行于BD（内错角，相等）

当b+c=180°，AE平行于BD（同旁内角，互补）

二曲线的夹角

二曲线在P点的夹角定义为二曲线在P点切线A和B的夹角 曲线和直线的的夹角或是二曲线间的的夹角定义为二曲线在交点处切线的夹角。

点积及其拓展

在欧几里得空间中，二个矢量u及v的角和其点积及矢量的长度有关： 依上式可以用二个平面（或曲面）的法矢量，计算二者之间的夹角，也可以根据二歪斜线的矢量计算其夹角。

内积

在一个抽象的实数内积空间中，在定义角时可以用内积 取代欧几里得空间的点积( · )： 在复数的内积空间中，为了使余弦的数值仍维持实数，因此需修改为 或者使用绝对值的标示： 后者不考虑矢量的方向，因此是描述由矢量及所生成的二个一维子空间及之间的夹角。

黎曼几何中的角

在黎曼几何中，利用度量张量来定义二条切线之间的夹角，其中U及V是切线矢量，gij 是度量张量G的分量。

地理学及天文学中的角

以地理的观点，地球上任何一个位置都可以用地理座标系统来表示，此系统标示位置的经度及纬度，两者都以此点连至地球球心连接的角度来表示，经度是以格林威治子午线为参考基准，而纬度是以赤道为参考基准。 在天文学中，天球的一点可以用任何一种天球坐标系统来表示，不过其基准则因坐标系统不同而不同。天文学量测二颗星星的角距离时，会假想分别有二颗星星分别和地球连成的直线，再量测这二条直线的夹角，即为角距离。 天文学家也会用角直径量测一物体的表观大小。例如满月的角直径约为0.5°。小角公式可以将上述的角测量转换为距离和大小的比值。