Les lignes bleues représentent le gradient de couleur du plus clair vers le plus foncé

En physique et en analyse vectorielle, le gradient est une grandeur vectorielle indiquant la façon dont une grandeur physique varie dans l'espace. En mathématiques, le gradient est un vecteur représentant la variation d'une fonction par rapport à la variation de ses différents paramètres.

Il est courant, selon la façon de noter des vecteurs, d'écrire le gradient d'une fonction ${\displaystyle f}$ ainsi :

g r a d → f {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}~f} ou ∇ → f {\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}f} (nabla f {\displaystyle f} )

Souvent, en typographie, on préfère mettre un caractère en gras pour afficher son caractère vectoriel : ${\displaystyle \mathbf {grad} ~f}$.

Le gradient est d'une importance capitale en physique, où il fut d'abord employé. Utilisé en théorie des variations, il est aussi fondamental dans le domaine de l'optimisation ou de la résolution d'équations aux dérivées partielles. Il peut être intéressant d'en voir certains exemples avant d'en donner une définition plus mathématique.

Le gradient de température

Gradient dans une seule direction (dérivée)

Supposons que l'on place une poutre rectiligne entre deux murs qui n'ont pas la même température, le mur de gauche étant le plus froid. On observe que la température de la poutre n'est pas constante et qu'elle varie de façon croissante de la gauche vers la droite. À ce phénomène thermodynamique, on associe un phénomène de flux de chaleur, lui-même lié à un gradient de température, c'est-à-dire à une variation le long de la poutre de la température, cf. Conduction Thermique, loi de Fourier.

Si on part de l'extrémité gauche de la poutre avec une abscisse x = 0 et qu'on atteint l'autre extrémité de la poutre pour une abscisse x = L (la longueur de la poutre), on définit la température en un point x qu'on écrit T(x). La température T est dite fonction de x.

Entre deux points très proches, distants d'une longueur δx, on mesure un écart de température δT. Au sens usuel, le gradient (de température) est justement le rapport entre ces deux grandeurs

${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {grad} }}\ {T}={\frac {\delta T}{\delta x}}\cdot {\vec {i}}.}$

Au sens analytique (mathématique), on parle de gradient si cette grandeur admet une limite quand δx tend vers 0, limite notée

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}T(x)=T'(x)\cdot {\vec {i}}={\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} x}}(x)\cdot {\vec {i}}.}$

Propriétés

Le rapport δ T δ x {\displaystyle {\tfrac {\delta T}{\delta x}}} a un signe, ce qu'on traduit par un sens. Dans le cas qui nous intéresse, il fait plus froid à gauche de la poutre qu'à droite, donc le gradient est orienté vers la droite puisqu'on parcourt aussi la poutre de gauche à droite par l'abscisse x.

En dimension 1, il y a convergence de la notion de gradient et de dérivée

En physique, la norme de ce gradient est homogène à une température divisée par une distance (mesuré en K·m), ou plus usuellement en °C·m.

Gradient de température dans l'espace à trois dimensions usuel

En réalité, la température de la poutre varie en fonction d'un déplacement dans l'espace. On caractérise un point de l'espace, M, en fonction de ses coordonnées u → = ( x , y , z ) {\displaystyle {\vec {u}}=(x,y,z)} . De même que précédemment, on décrit la température comme fonction : T(x, y, z).

Pour chacune de ces directions, on peut écrire une variation, dite partielle. Si, tout en étant en 3D, on ne se déplace que selon un axe, par exemple selon les ordonnées y, alors on peut réécrire la même formule que précédemment sur l'accroissement de température. Cependant, pour marquer la variation, on passe par l'écriture en dérivée partielle (dite "ronde") plutôt que par la dérivée unidimensionnelle (dite droite). On écrit par exemple la variation le long de y ainsi l'approximation (dite du premier ordre) :

${\displaystyle T(x,y+\delta y,z)=T(x,y,z)+{\frac {\partial T}{\partial y}}\delta y.}$

On se déplace dans la poutre d'un point M à un point M' tels qu'ils définissent le vecteur :

${\displaystyle {\vec {h}}={\overrightarrow {MM'}}=(h_{x},h_{y},h_{z})}$.

De M à M' , la température passe de la T(x,y,z) à T(x+h_x,y+h_y,z+h_z). En première approximation, cette variation est une fonction linéaire de ${\displaystyle {\vec {h}}}$ et s'exprime comme somme des variations liées à chacune des composantes de ${\displaystyle {\vec {h}}}$

${\displaystyle T(x+h_{x},y+h_{y},z+h_{z})=T(x,y,z)+{\frac {\partial T}{\partial x}}(x,y,z)h_{x}+{\frac {\partial T}{\partial y}}(x,y,z)h_{y}+{\frac {\partial T}{\partial z}}(x,y,z)h_{z}.}$

On crée alors un vecteur appelé gradient de température

${\displaystyle \mathbb {\nabla } T(x,y,z)=\left({\frac {\partial T}{\partial x}}(x,y,z),{\frac {\partial T}{\partial y}}(x,y,z),{\frac {\partial T}{\partial z}}(x,y,z)\right).}$

Notez que c'est bien un vecteur. Dans ce cas, on peut réécrire la relation précédente sous la forme

${\displaystyle T({\vec {u}}+{\vec {h}})=T({\vec {u}})+\mathbf {\nabla } T({\vec {u}})\cdot {\vec {h}}+o({\vec {h}}),}$

où " ${\displaystyle \cdot }$" est le produit scalaire usuel de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ et le symbole ${\displaystyle o({\vec {h}})}$ signifie que le terme qui reste est négligeable par rapport à ${\displaystyle {\vec {h}}}$.

Propriétés

Le gradient est un vecteur de même dimension que l'espace sur lequel porte la température (ici ℝ) alors que la température est fonction de support à trois dimensions mais à valeur réelle scalaire (i.e. la température en un point est un nombre, pas un vecteur).

La direction du (vecteur) gradient définit de nouveau la direction du plus froid au plus chaud, mais cette fois en 3D.

La norme du gradient de température est toujours homogène à K.m.

Introduction par les éléments différentiels

Comme pour la différentielle dont il est une variante, le gradient peut être introduit avec le vocabulaire des éléments différentiels. À titre d'exemple on examine le problème de la variation de l'aire d'un rectangle.

Considérons dans le plan (xOy ) un rectangle de côté x et y. Sa surface est égale à xy et dépend des coordonnées x et y du point M. En suivant une démarche intuitive, on convient de noter par dx une très petite variation de la variable x. Lorsqu'on fait subir au point M un déplacement très faible, la surface va changer et on peut écrire que :

${\displaystyle \mathrm {S} +\mathrm {dS} =(x+\mathrm {d} x)\cdot (y+\mathrm {d} y)=x\cdot y+x\cdot \mathrm {d} y+y\cdot \mathrm {d} x+\mathrm {d} x\cdot \mathrm {d} y}$

On en déduit facilement que

${\displaystyle \mathrm {dS} =y\cdot \mathrm {d} x+x\cdot \mathrm {d} y+\mathrm {d} x\cdot \mathrm {d} y}$

Une simple application numérique où x et y seraient des mètres et dx et dy des centimètres illustre que dxdy est négligeable par rapport aux autres grandeurs.

On peut donner un statut mathématique précis aux notations dx et dy (qui sont des formes différentielles), et à la quantité dxdy qui est alors du second ordre. Le calcul précédent est en fait un calcul de développement limité à l'ordre 1, faisant intervenir les dérivées premières de la fonction xy par rapport aux deux variables.

On écrit donc :

${\displaystyle \mathrm {dS} =(x+\mathrm {d} x)\cdot (y+\mathrm {d} y)-x\cdot y=y\cdot \mathrm {d} x+x\cdot \mathrm {d} y=(y,x)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)={\overrightarrow {\nabla }}\mathrm {S} \cdot {\overrightarrow {\mathrm {dOM} }}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\mathrm {S} \cdot {\overrightarrow {\mathrm {dOM} }}=(y{\vec {i}}+x{\vec {j}})\cdot (\mathrm {d} x{\vec {i}}+\mathrm {d} y{\vec {j}})=\left({\frac {\partial (xy)}{\partial x}}{\vec {i}}+{\frac {\partial (xy)}{\partial y}}{\vec {j}}\right)\cdot (\mathrm {d} x{\vec {i}}+\mathrm {d} y{\vec {j}})}$.

Toutes ces égalités sont différentes façons d'écrire un produit scalaire de deux vecteurs :

${\displaystyle \mathrm {dS} =(x+\mathrm {d} x)\cdot (y+\mathrm {d} y)-x\cdot y=y\cdot \mathrm {d} x+x\cdot \mathrm {d} y=\mathrm {\overrightarrow {\mathrm {grad} }} (xy)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {dOM} }}={\overrightarrow {\nabla }}(xy)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {dOM} }}}$

où

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(xy)=(y,x)}$.

L'intérêt de l'introduction de ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs paramètres est de visualiser le fait que la fonction va varier le plus dans la direction du vecteur gradient et qu'elle ne va pas varier pour tout changement des paramètres dans une direction perpendiculaire au gradient.

${\displaystyle (y{\vec {i}}+x{\vec {j}})\cdot (\mathrm {d} x{\vec {i}}+\mathrm {d} y{\vec {j}})=0}$ pour : ${\displaystyle y\mathrm {d} x+x\mathrm {d} y=0}$ dans notre exemple du rectangle.

Ceci donnera en électrostatique les courbes de même potentiel : les « équipotentielles ».

Définition mathématique

Gradient d'une fonction réelle définie sur un espace euclidien

Contexte

Soit E un espace vectoriel euclidien et soit U un ouvert de E. Soit f : U → R {\displaystyle f:U\to \mathbb {R} } une fonction différentiable. Soit a un élément de U. On note alors D a f {\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}f} la différentielle en a, qui est une forme linéaire sur E. On note ( D a f , u ) {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{a}f,u)} l'image par cette différentielle d'un vecteur u de E.

Existence et unicité

Il existe un vecteur A tel que pour tout vecteur u de E, ( D a f , u ) = ⟨ A ∣ u ⟩ {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{a}f,u)=\langle A\mid u\rangle } , où l'on a noté ⟨ ⋅ ∣ ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot \mid \cdot \rangle \,\!} le produit scalaire dans E.

Le vecteur A est appelé gradient de f en a, et il est noté ${\displaystyle \nabla _{a}f}$. Il vérifie donc :

${\displaystyle \forall u\in E,\langle \nabla _{a}f\mid u\rangle =({\mathcal {D}}_{a}f,u).}$

Expression canonique (dérivées partielles)

Puisque le gradient est lui-même un vecteur de E, il est naturel qu'on cherche à l'exprimer dans une base orthonormée ${\displaystyle (e_{1},...,e_{n})}$ de cet espace vectoriel. On démontre qu'il s'exprime à l'aide des dérivées partielles sous la forme

${\displaystyle \nabla _{a}f=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\left(a\right)\mathbf {e} _{i}\right]}$

Par exemple, en dimension 3, on obtient :

${\displaystyle \nabla _{a}f={\frac {\partial f}{\partial x}}(a)\mathbf {e} _{x}+{\frac {\partial f}{\partial y}}(a)\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial f}{\partial z}}(a)\mathbf {e} _{z}}$

Changement de base

Lors d'un changement de base, au travers d'un C-difféomorphisme de E, l'écriture du gradient suit les règles usuelles des changements de base.

Attention, il ne faut pas confondre changement de base pour l'expression d'une fonction écrite en notations cartésiennes (canoniques) et écriture du gradient adaptée à une notation autre. Par exemple pour une fonction exprimée en coordonnées polaires on calcule l'écriture « polaire » du gradient en partant d'une fonction explicitée en fonction de l'abscisse polaire (ρ) et de l'argument (θ) f(ρ,θ).

coordonnées cylindriques (pour les coordonnées polaires, ne considérez pas la composante en z)

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}}$

coordonnées sphériques

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi }}$

les vecteurs de type ${\displaystyle \mathbf {e} _{r}}$ sont des vecteurs propres aux coordonnées polaires

Cas général

Gradient et espace de Hilbert

Soient ( H , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} un espace de Hilbert(de dimension finie ou non), U un ouvert de H et f une application de U dans ℝ, différentiable en un point a de U. La différentielle D a f {\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}f} étant, par définition, une forme linéaire continue sur H, il résulte alors du théorème de représentation de Riesz qu'il existe un (unique) vecteur de H, noté ∇ f ( a ) {\displaystyle \nabla f(a)} , tel que

Le vecteur ${\displaystyle \nabla f(a)}$ est appelé le gradient de f en a.

On montre que si ${\displaystyle \nabla f(a)\neq 0}$, alors ${\displaystyle f}$ croît strictement dans la direction ${\displaystyle \nabla f(a)}$, c'est-à-dire que pour tout ${\displaystyle t>0}$ suffisamment petit, ${\displaystyle f(a+t\nabla f(a))>f(a)}$.

Gradient et variété riemanniene

On peut encore étendre cette définition à une fonction différentiable définie sur une variété riemannienne (M,g). Le gradient de f en a est alors un vecteur tangent à la variété en a, défini par

${\displaystyle \forall h\in \mathrm {T} _{a}\mathrm {M} \qquad \mathrm {d} f(a)\left(h\right)=g\left(\nabla f{\big |}h\right)}$.

Enfin, si f est un champ scalaire indépendant du système de coordonnées, c'est un tenseur d'ordre 0, et sa dérivée partielle est égale à sa dérivée covariante : ( ∇ f ) i = ∂ i f = f , i = f ; i {\displaystyle (\nabla f)_{i}=\partial _{i}f=f_{,i}=f_{;i}} . En coordonnées contravariantes, on calcule le champ de vecteurs appelé gradient de f :

${\displaystyle (\nabla f)^{i}=g^{ij}~f_{;j}}$

Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement le gradient dans un système de coordonnées quelconque.

Développement limité

Si une application admet un gradient en un point, alors on peut écrire ce développement limité du premier ordre

${\displaystyle f(x+h)=f(x)+\langle \nabla f(x)\mid h\rangle +o(h)}$ ou alors :

${\displaystyle f(x-h)=f(x)-\langle \nabla f(x)\mid h\rangle +o(h)}$

Numériquement, il est très intéressant de faire ensuite la demi différence des 2 développements pour obtenir la valeur du gradient et on note que celui ci ne dépend pas en fait de la valeur de la fonction au point x : ${\displaystyle f(x)}$. Cette formule a l'avantage de tenir compte des gradients 2 et est donc beaucoup plus précise et numériquement robuste. L'hypothèse est bien sûr, en pratique, de connaitre les valeurs "passé et futur" de la fonction autour d'un petit voisinage du point x.

Propriétés géométriques en dimension 2 ou 3

Classiquement, on sait que le gradient permet de définir la « normale aux courbes de niveau », ce qui se traduit en 2D et en 3D par des propriétés géométriques intéressantes. La propriété de tangence étant liée à la convexité/concavité, il est aussi intéressant de voir le lien qui existe entre gradient et convexité, toujours en 2D ou 3D.

Dimension 2 : gradient normal à une courbe en un point, droite tangente

On considère ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ continûment différentiable. Soit une courbe définie par l'équation f(u)=k, où k est une constante. Alors, en un point v donné de cette courbe, le gradient s'il existe et n'est pas nul, donne la direction de la normale à la courbe en ce point v. La droite tangente à la courbe est alors orthogonale au gradient et passe par v.

Application au traitement d'image: Une image est en fait une fonction à 2 variables noté p(x,y), chaque valeur entière de x et y constitue un pixel de l'image et la valeur prise p(x,y) est appelé "niveau de gris" du pixel pour une image en "noir et blanc". Il est indispensable en pratique d'estimer "la droite tangente à la courbe" même si la fonction p n'est pas analytique (p est inconnue) et n'est peut être pas différentiable au point (pixel) d’intérêt. On calcule numériquement les 2 gradients notés gx et gy suivant x et y par exemple avec ces formules simples gx=(p(x+1,y)-p(x-1,y))/2 et gy=(p(x,y+1)-p(x,y-1))/2. Ces formules ne font appel qu'à seulement 2 pixels chacun pour le calcul et on doit supposer alors qu'il n'y a pas de bruit dans l'image. La fonction p n'étant pas analytique et de valeur numérique connue uniquement en des points discrets (les pixels voisins), on peut utiliser diverses formules pour estimer le mieux possible (c'est l'art de l'ingénieur de gérer le cas très difficile de l'image bruitée!) ces gradients de l'image. On cite par exemple le template de Prewitt qui permet , utilisant la proximité des autres pixels de l'image (3 par 3 soit 9 pixels et tout) d'évaluer les gradients gx et gy du pixel d’intérêt situé au centre par convention du template. Repérant dans une image donnée les pixels ayant des forts gradients, ceux ci peuvent servir d'amers, c'est à dire des points particuliers reconnaissables (notés dans une carte par exemple) permettant de se situer dans l'espace, autrement dit de recaler sa navigation. Les gradients gx et gy forment une direction (c'est en fait un vecteur) et on a aussi une information angulaire : Il est possible de recaler des angles de prise de vue, très utile pour le pilotage guidage des drones aériens par exemple.

Dimension 3 : gradient normal à une surface en un point, plan tangent

Soit une application ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ continûment différentiable. Soit une surface définie par l'équation f(u)=k, où k est une constante. Alors, en un point v donné de cette surface, le gradient s'il existe et n'est pas nul, donne la direction de la normale à la surface en ce point v : le plan tangent à la surface est alors orthogonal au gradient et passe par v.

Gradient et convexité

Soit une application f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } ( n ∈ { 2 , 3 } {\displaystyle n\in \{2,3\}} par exemple) continûment différentiable. Si l'application ∇ f : R n → R n {\displaystyle \mathbf {\nabla } f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} est monotone (resp. strictement monotone), alors f est convexe (resp. strictement convexe). C'est-à-dire, en utilisant la caractérisation par les cordes :

${\displaystyle \forall (u,v)\in \left(\mathbb {R} ^{3}\right)^{2},\mathbf {\nabla } _{u}f\cdot \mathbf {\nabla } _{v}f\geq 0\Rightarrow \forall (u,v,\lambda )\in \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times [0,1],f(\lambda u+(1-\lambda )v)\leq \lambda f(u)+(1-\lambda )f(v)}$

Cette propriété est intéressante parce qu'elle reste valable même quand f n'est pas deux fois différentiable.

Si f est deux fois différentiable, le hessien est positif si et seulement si le gradient est monotone.

Cas de la dimension 1

La monotonie telle que définie ci-dessus permet de définir une fonction croissante ou décroissante au sens usuel. Dans le premier cas, on parle de fonction convexe, dans le second de fonction concave.

Si la fonction est deux fois dérivable, la croissance de la dérivée (donc du gradient) est assurée par la positivité de la dérivée seconde (équivalent du hessien).

Relations vectorielles

En analyse vectorielle, le gradient peut être combiné à d'autres opérateurs. Soit f une fonction décrivant un champ scalaire, que l'on suppose de classe C par rapport à chaque paramètre, alors :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla f\right)=\nabla {\frac {\partial f}{\partial t}}}$ ;

${\displaystyle \mathrm {div} \left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}f\right)=\Delta f}$ ;

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}f\right)={\overrightarrow {0}}}$.

Sources et références

(en) Serge Lang, Fundamentals of Differential Geometry, Springer

(en) Barrett O'Neill, Elementary Differential Geometry, 2 éd. révisée (ISBN 9780120887354)

上面两个图中，标量场是黑白的，黑色表示大的数值，而其相应的梯度用蓝色箭头表示。

在矢量微积分中，标量场的梯度是一个矢量场。标量场中某一点的梯度指向在这点标量场增长最快的方向（当然要比较的话必须固定方向的长度），梯度的绝对值是长度为1的方向中函数最大的增加率，也就是说 ，其中 代表方向导数。以另一观点来看，由多变量的泰勒展开式可知，从欧几里得空间R到R的函数的梯度是在R某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅可比矩阵的一个特殊情况。

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。

梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取矢量梯度和所研究的方向的内积来得到斜度。梯度的数值有时也被称为梯度。

梯度的解释

假设有一个房间，房间内所有点的温度由一个标量场给出的，即点的温度是。假设温度不随时间改变。然后，在房间的每一点，该点的梯度将显示变热最快的方向。梯度的大小将表示在该方向上变热的速度。 考虑一座高度在点是的山。这一点的梯度是在该点坡度（或者说斜度）最陡的方向。梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。 梯度也可以告诉我们一个数量在不是最快变化方向的其他方向的变化速度。再次考虑山坡的例子。可以有条直接上山的路其坡度是最大的，则其坡度是梯度的大小。也可以有一条和上坡方向成一个角度的路，例如投影在水平面上是60°角。则，若最陡的坡度是40%，这条路的坡度小一点，是20%，也就是40%乘以60°的余弦。 这个现象可以如下数学的表示。山的高度函数的梯度点积一个单位矢量给出了表面在该矢量的方向上的斜率。这称为方向导数。

形式化定义

一个标量函数的梯度记为： 或 其中（nabla）表示矢量微分算子。 在三维直角坐标中表示为 （参看偏导数和矢量。） 虽然使用坐标表达，但结果是在正交变换下不变，从几何的观点来看，这是应该的。 范例 函数的梯度为： 。

实标量函数的梯度

线性法则：若和分别是矩阵A的实标量函数，c1和c2为实常数，则

乘积法则：若，和分别是矩阵A的实标量函数，则

商法则：若，则

链式法则：若A为m×n矩阵，且和分别是以矩阵A和标量y为变元的实标量函数，则

流形上的梯度

一个黎曼流形上的对于任意可微函数的梯度是一个矢量场，使得对于每个矢量 ， 其中代表上的内积（度量）而 是在点，方向为的方向导数。换句话说，如果为附近的局部座标，在此座标下有,则将成为： 。 函数的梯度和外微分相关，因为，实际上内积容许我们可以用一种标准的方式将1-形式和矢量场创建联系。由的定义，，这样的梯度可以"等同"于0-形式的外微分，这里"等同"意味着：两集合和之间有1对1的满射。 由定义可算流形上的局部座标表达式为： 。 请注意这是流形上对黎曼度量 的公式，跟 里直角座标的公式不同。常常我们写时会省略求和符号，不过为了避免混淆，在这里的公式还是加上去了。

柱坐标下的梯度（）算符

球坐标下的梯度（）算符