cinématique是什么意思_cinématique的常见用法_近义词

词典释义

运

；运

n.f.

运

cinématique de la structure构造运

cinématique du point点

运

短语搭配

poise cinématique沲

viscosité cinématique运动黏度;运动黏[度、性]

chaîne cinématique传动链

couple cinématique运动副

relativité cinématique运动相对论

similitude cinématique运动相似性，运动相似

diagramme cinématique传动简图

cinématique des fluides流体动力学

Cinématique temps réel实时运动学

cinématique du point点的运动学

法语百科

Les six degrés de liberté dans un espace à trois dimensions : trois de translation et trois de rotation. Par convention les translations sont positives dans les directions Droite, Avant, et Haut (axes Ox, Oy et Oz). Chacun des mots Tangage (rotation autour de Ox), Roulis (autour de Oy) et Lacet (autour de Oz) a été placé près de la flèche indiquant le sens de rotation positif (trièdre direct Oxyz).

En physique, la cinématique (du grec kinêma, le mouvement) est l'étude des mouvements indépendamment des causes qui les produisent, ou, plus exactement, l'étude de tous les mouvements possibles. À côté de la notion d'espace qui est l'objet de la géométrie, la cinématique introduit la notion de temps. À ne pas confondre avec la cinétique , un terme plus général qui concerne la vitesse et les mécanismes d'une grande variété de processus ; en mécanique, cinétique est utilisé comme adjectif pour qualifier deux grandeurs impliquant aussi la masse : le moment cinétique et l'énergie cinétique.

On peut dater la naissance de la cinématique moderne à l'allocution de Pierre Varignon le 20 janvier 1700 devant l'Académie royale des sciences de Paris. À cette occasion il définit la notion d'accélération et montre comment il est possible de la déduire de la vitesse instantanée à l'aide d'une simple procédure de calcul différentiel.

Toute figure mobile peut être regardée comme un système de points mobiles, il est alors naturel de commencer par l'étude du mouvement du point mobile isolé.

Définitions de base

Cinématique du point

Il faut d'abord définir un référentiel, c'est-à-dire un repère de l’espace et une référence pour le temps, une horloge ; on utilise en général le référentiel lié au laboratoire, par exemple dont les axes suivent les arêtes des murs de la pièce, ou bien celle de la table, ou encore les directions géographiques Nord-Sud, Est-Ouest et haut-bas (si le laboratoire est immobile par rapport au sol). L'objet de base est le point, sans dimension. Un point M est défini par ses coordonnées (x,y,z,t) et noté M(x,y,z,t).

Un objet réel est un volume, constitué d'une infinité de points. La cinématique du point consiste donc à étudier un point particulier d'un solide. On choisit des points caractéristiques, dont l'étude est simple et/ou donne des renseignements pertinents ; ce sont typiquement le centre de gravité du solide, qui joue un rôle important en dynamique, ou bien le point de contact du solide avec un autre. Si le solide est de petite dimension par rapport à son déplacement, et que l'on ne s'intéresse pas à sa rotation propre dans le référentiel, alors on peut se contenter de cette étude du point ; c'est le cas par exemple de la révolution des planètes dans le système solaire.

Les coordonnées définissent le vecteur position, qui dépend ainsi de la position et du temps.

Le vecteur obtenu en dérivant les coordonnées par rapport au temps définit le vecteur vitesse. Le vecteur vitesse est indépendant du choix du point origine.

\vec{v}=\begin{pmatrix}\partial x/\partial t\\\partial y/\partial t\\\partial z/\partial t\end{pmatrix}

Le vecteur obtenu en dérivant les composantes du vecteur vitesse par rapport au temps définit le vecteur accélération

\vec{a}=\begin{pmatrix}\partial^2x/\partial t^2\\\partial^2y/\partial t^2\\\partial^2z/\partial t^2\end{pmatrix}

La mécanique du point permet de prévoir la position en fonction du temps, à partir de la vitesse initiale et des forces.

L'équation horaire du mouvement

\left\{\begin{matrix}x=f_1(t)\\y=f_2(t)\\z=f_3(t)\end{matrix}\right.

correspond à l’équation paramétrique d'une courbe ; on peut souvent réduire ceci à un système de trois équations cartésiennes

g_i(x,y,z)=0

qui, dans le cas le plus simple, sont du type linéaire :

a\,x+b\,y+c\,z+d=0.

Définition de l'abscisse curviligne

Cette courbe est l’ensemble des points par où passe le centre d'inertie du mobile. On définit alors l'abscisse curviligne, notée s, la distance parcourue sur la courbe par rapport à un point de référence (la position du centre d'inertie du mobile à t = 0). Pour un petit déplacement de M(x,y,z,t) à M(x+dx, y+dy, z+dz, t+dt), l'abscisse curviligne est assimilable à un segment, d'où :

\mathrm{d}s=\sqrt{\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2}=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2}\,\mathrm{d}t.

On a donc :

s=\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}}{\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2}\mathrm\,\mathrm dt}.

La notion commune de vitesse est en fait la dérivée de l'abscisse curviligne. On parle souvent de « vitesse scalaire » :

v = \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}

On a en fait

\|\vec{v}\| = \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}

Cinématique du solide

Il est souvent important de prendre en compte la rotation du solide. Le premier modèle est celui du solide indéformable : si l'on considère deux points M₁ et M₂ quelconque du solide, alors la distance M₁M₂ reste constante au cours du temps.

On peut étudier la trajectoire de chaque point du solide, mais on peut aussi définir le mouvement du solide de manière globale. Pour cela, on attache un repère au solide, (O₁, x₁, y₁, z₁) ; l'origine O₁ est un point présentant un intérêt particulier, comme le centre de gravité, le centre d'un pivot (centre du cylindre d'un perçage), un sommet. La position du solide est alors définie par six paramètres :

les coordonnées de O1 dans le repère du référentiel ;

les angles d'Euler, pour l'orientation dans l'espace.

Cinématique des fluides

Un fluide — liquide ou gaz — est constitué de nombreuses particules microscopiques, des molécules. Ces particules ont un mouvement chaotique, dit « mouvement brownien ». À ce mouvement se superpose un mouvement d'ensemble, le courant. Il serait illusoire de vouloir étudier chaque particule, on utilise donc une description statistique du mouvement.

Description qualitative des mouvements

a - Translation rectiligne. b - Translation circulaire. c - Translation curviligne. d - Rotation.

Le mouvement d'un solide est en général caractérisé par deux termes : son type et sa nature. Le type de mouvement indique la manière dont la position évolue. Les termes typiquement employés sont :

mouvement quelconque ;

mouvement plan : les trajectoires des points sont planes, les plans sont tous parallèles (voir ci-dessous), mouvement de translation : les trajectoires de tous les points du solide sont des segments courbes identiques, parallèles entre eux, le solide garde la même orientation au cours du mouvement, mouvement de translation circulaire (schéma b ci-contre) : c'est le cas du balai d'essuie-glace d'autocar, et de manière générale le mouvement obtenu avec un parallélogramme déformable ; les trajectoires sont des arcs de cercle qui ont même rayon, même longueur (ouverture angulaire), mais projetés sur un plan, ils ont des centres différents, mouvement de translation rectiligne de direction (Δ) : la trajectoire de tous les points du solide sont des segments de droite parallèles ) à la droite (Δ), mouvement de rotation d'axe (Δ) : les trajectoires de tous les points du solide sont des arcs de cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite (Δ), et dont le centre est sur la droite (Δ) ; projetés sur un plan, les arcs de cercle sont concentriques.

mouvement de translation : les trajectoires de tous les points du solide sont des segments courbes identiques, parallèles entre eux, le solide garde la même orientation au cours du mouvement, mouvement de translation circulaire (schéma b ci-contre) : c'est le cas du balai d'essuie-glace d'autocar, et de manière générale le mouvement obtenu avec un parallélogramme déformable ; les trajectoires sont des arcs de cercle qui ont même rayon, même longueur (ouverture angulaire), mais projetés sur un plan, ils ont des centres différents, mouvement de translation rectiligne de direction (Δ) : la trajectoire de tous les points du solide sont des segments de droite parallèles ) à la droite (Δ),

mouvement de translation circulaire (schéma b ci-contre) : c'est le cas du balai d'essuie-glace d'autocar, et de manière générale le mouvement obtenu avec un parallélogramme déformable ; les trajectoires sont des arcs de cercle qui ont même rayon, même longueur (ouverture angulaire), mais projetés sur un plan, ils ont des centres différents,

mouvement de translation rectiligne de direction (Δ) : la trajectoire de tous les points du solide sont des segments de droite parallèles ) à la droite (Δ),

mouvement de rotation d'axe (Δ) : les trajectoires de tous les points du solide sont des arcs de cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite (Δ), et dont le centre est sur la droite (Δ) ; projetés sur un plan, les arcs de cercle sont concentriques.

La nature du mouvement donne une indication sur l'évolution de la vitesse :

mouvement uniforme : la norme des vecteurs vitesse est constante ; cela ne peut être valable que pour une durée définie, puisqu'un mouvement a toujours une phase de démarrage et d'arrêt ;

mouvement varié : la norme des vecteurs vitesse varie, mouvement uniformément varié : la norme des vecteurs vitesse varie de manière linéaire avec le temps ; cela ne peut être valable que pour une durée définie, puisque la norme finit par croître de manière infinie ; cette situation est une approximation des phases de démarrage et d'arrêt des machines.

mouvement uniformément varié : la norme des vecteurs vitesse varie de manière linéaire avec le temps ; cela ne peut être valable que pour une durée définie, puisque la norme finit par croître de manière infinie ; cette situation est une approximation des phases de démarrage et d'arrêt des machines.

On a ainsi quatre mouvements solides simples.

Mouvements solides simples
Type	Nature
Type	Translation rectiligne	Rotation
Uniforme	Translation rectiligne uniforme	Rotation uniforme
Uniformément varié	Translation rectiligne uniformément variée	Rotation uniformément variée

En cinématique du point, on ne parle pas de mouvement de rotation, mais de mouvement circulaire.

Si l'on considère maintenant la trajectoire d'un point donné, on la caractérise par un « élément géométrique caractéristique », c'est-à-dire la courbe mathématique qu'il suit, si tant est qu'on puisse la définir de manière simple. Typiquement, c'est un « arc de cercle de entre A », un « segment de droite de direction $\vec u$ », ou une courbe plus complexe (ellipse, parabole, hyperbole).

Mouvement plan et repère de Frenet

Le moteur est un mécanisme modélisable par un mécanisme plan : l'axe de rotation du vilebrequin (en rouge) est perpendiculaire à l'axe de translation des pistons

Modélisation plane du système moteur vilebrequin (2)-bielle (3)-piston (4)

Définition du repère de Frenet

Considérons un plan P, muni d'un repère (O, x, y). On s'intéresse à la distance de chaque point du solide par rapport à ce plan. Si, au cours du mouvement, cette distance reste constante pour chacun des point du solide, alors on dit que le solide a un mouvement plan. Ce plan peut être horizontal, vertical ou bien incliné. Ainsi, toutes les trajectoires sont plane, dans un plan parallèle à P. Tous les vecteurs vitesse et accélération sont parallèles à P. Tous les axes de rotation sont perpendiculaires à P.

On peut ainsi ne travailler qu'avec deux coordonnées spatiales, x et y ; on projette les positions et trajectoires sur le plan P.

Les exemples typiques de mouvement plan sont :

les mouvement à accélération centrale, dont les mouvements des planètes et des comètes autour du Soleil ;

les mouvements balistiques et de chute libre sans vent de travers ;

les mouvements de rotation autour d'un axe immobile (Δ) ; le plan P est perprendiculaire à l'axe (Δ) (qui est donc l'axe z ) ;

les mouvements des solides restant en contact avec un plan, horizontal ou incliné, par exemple une voiture sur une route plane ;

les mouvement des mécanismes dont les axes des pivots sont tous parallèles à une même droite (Δ), et dont les axes des glissières sont perpendiculaires à (Δ) ; le plan P est perprendiculaire à l'axe (Δ) (qui est donc l'axe z ).

Pour simplifier les calculs, on définit souvent un repère local dit « de Frenet » pour chaque instant ; en un point de la courbe, l'axe des x est la tangente à la courbe et orienté dans le sens du mouvement, et l'axe des y est la normale à la courbe orienté de sorte que le repère soit direct. Ce n'est pas un référentiel mobile par rapport au référentiel de l'étude, c'est un repère instantané, défini juste à un instant t pour simplifier l'écriture des grandeurs à cet instant donné. Le référentiel reste celui du laboratoire, seule change la manière dont on exprime les composantes des vecteurs.

Mouvement simple en cinématique du point

Le problème est donc ramené à trouver la fonction donnant la position sur la courbe en fonction du temps, soit s(t). On appelle diagramme horaire le graphe de [t,s(t)] : de tels diagrammes sont très utilisés pour les trains (par exemple en France, le CHAIX donne pour l'ensemble du réseau les diagrammes horaires, ce qui permet de calculer les tableaux de correspondance de transport de gare en gare).

Mouvement rectiligne

Le cas le plus simple est celui du mouvement rectiligne : la trajectoire décrite est une droite. Mouvement dans lequel tout segment reliant deux points du solide reste parallèle à lui-même au cours du temps est aussi une définition classique du mouvement rectiligne.

Évolution de la position, de la vitesse et de l'accélération d'un corps dans un mouvement rectiligne uniforme.

Évolution de la position, de la vitesse et de l'accélération d'un corps dans un mouvement rectiligne uniformément accéléré.

Mouvement rectiligne uniforme (MRU)

Le mouvement est dit rectiligne uniforme si la vitesse $v$ est constante ; cela correspond au mouvement d'un objet lancé dans l'espace hors de toute interaction, ou encore au mouvement d'un objet glissant sans frottement. On a :

s=v\ t.

L'abscisse curviligne $s$ est alors une fonction linéaire du temps.

En étude des vitesses, ce type de mouvement a une propriété fondamentale : tous les points d'un solide en translation rectiligne uniforme ont le même vecteur vitesse. On considère de plus qu'un solide immobile est en translation rectiligne uniforme : L'immobilité est un cas particulier du mouvement rectiligne uniforme.

Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA)

Le mouvement peut être rectiligne uniformément accéléré — MRUA — (on dit aussi rectiligne uniformément varié) ; le vecteur accélération est constant. Ceci correspond à la chute libre (sans frottement) d'un objet lâché avec une vitesse initiale nulle ou dirigée verticalement ; ou bien un mouvement sans frottement sur un plan incliné d'un mobile lâché avec une vitesse initiale nulle ou dirigée par la pente du plan incliné. On a l'accélération

a = \|\vec{a}\| = \frac{\mathrm d v}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d^2 x}{\mathrm dt^2}

qui est constante, soit :

v=\|\vec{v}\|=a\,t+v_0

où $v_0$ est la vitesse à $t = 0$ (elle est nulle si l'objet est lâché sans vitesse initiale), et

x(t)=\frac12\,a\,t^2+v_0\,t+x_0

(on prend $x (t = 0) = x 0$ ). La vitesse est une fonction linéaire du temps, et l'abscisse curviligne est une fonction parabolique du temps.

Dans le cas de la chute d'un corps, a = –g, où g est l'accélération de la pesanteur au lieu considéré.

Le temps nécessaire au solide pour atteindre une position, se calcule en fonction de l'accélération et en fonction des conditions initiales.

Exemple

Prenons une fusée dont la position $x$ varie à chaque instant $t$ ; elle suit une trajectoire rectiligne A–B. Elle subit une accélération $a$ de 6 m/s, et on prend $x (t = 0) = 0$ et $v (t = 0) = 0$ :

x=\frac12 a\,t^2.

Donc, après 5 secondes de vol depuis A, la fusée est à (6/2)·(5²) = 75 mètres de A. Maintenant pour connaître sa vitesse, on calcule :

v=a\,t.

Donc si la fusée est en vol depuis 5 secondes, sa vitesse est de 30 m/s.

Mouvement circulaire

Le centre d'inertie du mobile décrit un cercle. Cela peut être un mobile contraint à suivre cette trajectoire comme une bille dans une gouttière circulaire, un pendule à fil dont le fil reste tendu, ou un train sur un rail circulaire.

Le vecteur vitesse varie, donc le mobile subit une accélération. Ceci justifie la distinction entre la notion de mouvement varié (dont la norme de la vitesse varie) et de mouvement accéléré (dont le vecteur vitesse varie, en norme et/ou en direction).

Mouvement circulaire uniforme

Le mouvement est dit circulaire uniforme si la norme $v\,$ de la vitesse est constante. L'équation horaire est alors du type :

\left\{\begin{matrix} x=x_\mathrm{C}+r\,\cos\theta(t) \\ y=y_\mathrm{C}+r\,\sin\theta(t) \\ \theta(t)=\theta_0+\omega\,t \\ \end{matrix}\right.

où , sont les coordonnées du centre du cercle, le rayon du cercle et la vitesse angulaire du centre d'inertie du mobile, exprimée en radians par seconde (rad/s ou rad·s). La plupart du temps, on choisit , l'équation horaire devient alors :

\left\{\begin{matrix} x=x_\mathrm{C}+r\,\cos(\omega\,t) \\ y=y_\mathrm{C}+r\,\sin(\omega\,t) \\ \end{matrix}\right.

On a :

v=r\,\omega.

Le vecteur vitesse est tangent au cercle ; on a :

s=v\,t=r\omega\, t=r\,\theta.

On voit aussi que l'accélération est toujours dirigée vers le centre du cercle (on parle d’accélération centrale centripète), et sa norme vaut

a=\frac{v^2}{r}

Ceci explique que lorsque l'on tourne en voiture, plus le virage est serré ( $r$ est faible), plus l'accélération est importante.

Mouvement circulaire uniforme : la vitesse est tangentielle et l'accélération est centripète — accélération et vitesse n'étant pas homogènes, on utilise une échelle différente pour ces deux types de vecteur.

Dans le repère de Frenet, on a :

\vec{v}=\begin{pmatrix}v\\0\end{pmatrix}

\vec{a}=\begin{pmatrix}0\\-v^2/r\end{pmatrix}.

Mouvement circulaire uniformément varié

Le mouvement est dit circulaire uniformément varié si la vitesse angulaire varie selon une loi affine :

\omega(t)=\omega_0+\alpha\,t.

Ce modèle permet de décrire le mouvement d'un point d'une machine tournante au démarrage ou à l'arrêt.

La grandeur constante α est l'accélération angulaire, elle s'exprime en radians par seconde au carré (rad/s ou rad·s). L'angle de rotation suit une loi quadratique :

\theta(t)=\theta_0+\omega_0\,t+\frac 12\,\alpha\,t^2.

L'abscisse curviligne vérifie $s(t)=R\,\theta(t)$ , soit $v(t)=R\,\omega(t)$ et donc une accélération tangentielle $a_\mathrm t=R\,\alpha.$ Les équations horaires sont :

v(t)=v_0+a_\mathrm t\,t

s(t)=s_0+v_0\,t+\frac12\,a_\mathrm t\,t^2

avec $s_0=R\,\theta_0,$ $v_0=R\,\omega_0$ et $a_\mathrm t=R\,\alpha.$ Le mobile subit toujours une accélération normale centripète $a_\mathrm n=v^2/R.$

Dans le repère de Frenet, on a :

\vec{v}=\begin{pmatrix}v\\0\end{pmatrix}

\vec{a}=\begin{pmatrix}a_\mathrm{t}\\-v^2/R\end{pmatrix}.

Attention ! Le mouvement du pendule à fil ou d'une bille dans une gouttière est circulaire mais ni uniforme, ni uniformément varié.

Mouvement elliptique

Le centre d'inertie du mobile décrit une ellipse (le mouvement circulaire est un cas particulier de mouvement elliptique). Cela peut être le mouvement d'une voiture sur une courbe suivant un arc d'ellipse, ou bien celui d'un satellite autour d'une planète dans un référentiel galiléen dans lequel la planète est fixe, ou encore le mouvement d'une planète ou d'une comète autour d'une étoile ; le centre de gravité du système est alors à un des foyers de l'ellipse (ce centre de gravité se confond quasiment avec le plus massif des deux objets quand le rapport des deux masse est très élevé).

On définit la vitesse aréolaire comme étant l'aire balayée par un rayon joignant le foyer au centre d'inertie du mobile.

Dans le cas des mouvements orbitaux, le moment cinétique par rapport à un foyer est constant (ceci peut se déduire du principe de conservation du moment cinétique d'un système isolé) :

\vec{L_\mathrm F}=\vec{r}\wedge\vec{p}

où

est le vecteur reliant le foyer au mobile ;

est la quantité de mouvement du mobile ( est la masse, le vecteur vitesse)

désigne le produit vectoriel.

Mouvement quelconque en cinématique du point

Pour considérer les mouvement quelconques, on peut travailler de deux manières :

considérer localement la tangente au mouvement, et utiliser les notions développées avec les trajectoires rectilignes uniformes

considérer localement que l'on a un mouvement circulaire uniforme.

Ces deux approximations sont valables si l'on considère des temps courts.

Approximation tangentielle

Détermination de la vitesse et de l'accélération à partir d'un relevé des positions à des instants séparés de

\delta t.

En général, le mouvement du centre d'inertie d'un mobile est enregistré de manière échantillonnée, c'est-à-dire que l'on a des points discrets correspondant à des positions à des instants séparés d'une durée $\delta t.$ Si l'on considère trois points consécutifs $\mathrm M_1,$ $\mathrm M_2$ et $\mathrm M_3,$ correspondant à des instants $t_1-\delta t,$ $t_1$ et $t_1+\delta t$ .

La première approximation consiste à dire que la tangente en est parallèle à la corde Ceci est légitimé par un théorème mathématique disant que pour une fonction continue et dérivable sur un intervalle, il existe un point de cet intervalle dont la dérivée vaut la pente entre les points extrêmes de la courbe sur cet intervalle (voir Théorème des accroissements finis). On peut aussi rapprocher cela du fait que sur un cercle, la médiatrice d'une corde passe par le milieu de la corde et est perpendiculaire à la tangente au milieu de la corde (puisque c'est un rayon).

La deuxième approximation consiste à estimer la norme de la vitesse constante entre $\mathrm M_1$ et $\mathrm M_3,$ ce qui est acceptable si la durée est petite par rapport à l'accélération tangentielle. On estime donc que l'on a :

v(t_1) = \frac{s_3 - s_1}{2\,\delta t} \,

La variation de ce vecteur vitesse donne le vecteur accélération. La composante tangentielle vaut :

a_x = \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}

ou, par approximation :

a_x = \frac{v_x (t_1 + \delta t) - v_x (t)}{\delta t} = \frac{v(t_1 + \delta t) - v(t)}{\delta t};

en effet, dans le repère de Frenet, on a $v_x(t)=v(t),$ et on fait l'approximation $v_x (t+\delta t)=v(t+\delta t)$ (approximation d'ordre 0). La composante normale est donnée par la variation de direction du vecteur vitesse ; on a $v_y(t_1)=0$ par définition du repère de Frenet, soit :

a_y = \frac{v_y (t_1 + \delta t)}{\delta t}

(approximation d'ordre 1, puisque l'ordre 0 est nul).

Dans le cas où le mouvement est lent par rapport à la précision de la mesure, la position enregistrée va avoir des variations dues aux incertitudes de mesure ; ainsi, au lieu d'avoir une courbe lisse, on va avoir une courbe présentant des oscillations (du bruit). Si l'on prend les points tels quels, on va calculer des vitesses instantanées incohérentes qui vont se répercuter sur les calculs des accélérations. Si les données sont traitées de manière informatique, on effectue donc un lissage des données.

Rayon de courbure

Choisissons sur une courbe C un point M0 comme origine, puis désignons par M(t) la position du mobile à l'instant t, et par s = M0M l'abscisse curviligne du point M. La vitesse du mobile peut s'écrire :

\vec{v}=v\;\vec{u}

où

\vec u

désigne le vecteur unitaire tangent à

C

On définit en tout point le rayon de courbure ρ de la trajectoire par :

\rho =\frac {\mathrm ds}{\mathrm d\theta}\,\!

où $d θ$ est l'angle formé entre les deux vecteurs vitesse aux points $M(t)$ et $M(t + d t)$ .

Exemple

Dans le repère $\{\mathrm O,\vec{i},\vec{j}\},$ considérons le mouvement d'équation horaire :

\left\{\begin{matrix}x=x_0+R\,\cos\omega t\\y=R\,\sin\omega t\end{matrix}\right.

Le vecteur position s'écrit :

\vec{r}=x\;\vec{i}+y\;\vec{j}=(x_0+R\,\cos\omega t)\;\vec{i}+R\,\sin\omega t\;\vec{j}.

Le vecteur vitesse s'écrit :

\vec{v}=\frac{\mathrm d\vec{r}}{\mathrm dt}=R\,\omega\,(-\sin\omega t\;\vec{i}+\cos\omega t\;\vec{j}).

Le module du vecteur vitesse est :

\|\vec v\|=R\,\omega,

c'est une constante.

L'accélération tangentielle est :

a_\mathrm t=\frac{\mathrm d\|\vec v\|}{\mathrm dt}=0.

Le vecteur accélération totale est :

\vec a=\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}=-R\,\omega^2\,(\cos\omega t\;\vec{i}+\sin\omega t\;\vec{j}).

Son module est :

\|\vec a\|=R\,\omega^2,

c'est une constante.

Les accélérations totale, tangentielle et normale forment un triangle rectangle ayant l'accélération totale pour hypoténuse ; alors d'après le théorème de Pythagore on a $a^2=a_\mathrm t^2+a_\mathrm n^2,$ ce qui donne ici :

a_\mathrm n=R\,\omega^2.

Or on a :

\rho=\frac{v^2}{a_\mathrm n},

donc :

\rho=R,

c'est une constante. Cette courbe n'est autre qu'un cercle.

Enregistrement du mouvement

L'enregistrement du mouvement, c'est-à-dire le relevé de la position et de la vitesse, est le fondement de l'étude cinématique.

Enseignement et travaux pratiques

Le pré-requis pour faire une étude cinématique consiste à enregistrer le mouvement. Dans le cadre de l'enseignement, on étudie en général le mouvement de palets autoporteurs. Ce sont des appareils cylindriques sur coussin d'air (un jet d'air les maintient quelques millimètres au-dessus de la table), ce qui leur permet de glisser sans frottement (on néglige les frottements de l'air). On utilise une table conductrice d'électricité avec un papier spécial ; reliés à une base de temps (une horloge qui délivre des impulsions électriques à des instants espacés de $\delta t\,$ ), les palets autoporteurs provoquent des étincelles qui marquent le papier spécial. Ainsi, chaque point sur le papier correspond à la position du centre d'inertie à un instant donné. Ceci permet d'étudier le mouvement sur un plan horizontal et incliné, éventuellement avec deux palets (indépendants, reliés par un élastique ou s'entrechoquant).

Pour étudier la chute libre, on utilise un objet lourd et profilé, une sorte d'obus métallique, que l'on fait tomber verticalement dans une cage (afin qu'il ne bascule pas après l'impact sur la zone de réception). On colle une feuille de papier dessus, et la cage est munie d'une « lance rotative », projetant un fin jet d'encre. La lance tournant selon une fréquence constante, chaque trait sur le papier marque le point présent au niveau de la lance à un moment donné.

Grâce à la réduction du coût du matériel informatique, on peut maintenant disposer d'un caméscope numérique. On peut donc filmer le mouvement (le caméscope étant fixe, posé sur un pied), puis en affichant les images une par une, relever la position de l'objet pour chaque image (en France, la vidéo enregistre 25 images par seconde).

Sur la route

Les forces de police s'intéressent en général uniquement à la vitesse et disposent de cinémomètres à effet Doppler-Fizeau, improprement appelés « radars ». Ceux-ci permettent de mesurer directement la vitesse instantanée. Lorsque s'est produit un accident, les traces de freinage, et les éventuelles traces d'impact sur le mobilier urbain ou les rails de sécurité, permettent de recomposer la trajectoire des véhicules. Notamment, la longueur des traces de freinage permet d'estimer la vitesse avant le début du freinage (la force de freinage étant constante).

Le conducteur, quant à lui, dispose d'un tachymètre (indicateur de vitesse) sur son tableau de bord, qui lui permet de connaître également sa vitesse instantanée. Il se base en général sur la fréquence de rotation des roues ; par exemple, une pastille réfléchissante est collée sur l'arbre de transmission, et une cellule photo-détectrice permet de connaître le temps qui s'écoule entre deux passage de la pastille, donc la fréquence de rotation et par là la vitesse.

Les cyclistes mettent un aimant sur un rayon de la roue avant et un détecteur magnétique sur la fourche, ce qui leur permet, de la même manière, de mesurer la vitesse et le chemin parcouru. D'anciens systèmes étaient basés sur une petite roue tournant, entraînée par la roue du vélo.

Les marcheurs disposent de podomètres qui détectent les vibrations caractéristiques du pas. Le marcheur ayant rentré la longueur moyenne de son pas, l'appareil peut déterminer la distance parcourue ainsi que la vitesse (produit de la longueur du pas par la fréquence de pas).

La vidéo couplée à l'analyse informatisée des images permet également de déterminer la position et la vitesse des véhicules. Ceci est utilisé pour estimer le trafic et détecter les embouteillages, et pourrait faire son apparition dans les véhicules dans un avenir proche, afin de fournir une aide à la conduite (par exemple évaluation des distances de sécurité en fonction de la vitesse, détection de trajectoires anormales et de freinage d'urgence).

Navigation maritime et aérienne

Aux débuts de la navigation maritime côtière, les marins se repéraient grâce aux reliefs de la côte. Les éléments caractéristiques (villes, phares, églises…), appelés amers, sont toujours utilisés et permettent une localisation rapide et simple, facilement exploitable en cas de demande de secours (voir Navigation par relèvements).

La navigation au long cours fut rendue possible grâce au développement des horloges ; en effet, elle utilisait la position des astres, or celle-ci varie avec l'heure. Connaissant la date et l'heure, et muni d'un éphéméride (relevé des positions des étoiles selon la date et l'heure), les astres jouaient alors le même rôle que les repères côtiers (voir Navigation astronomique).

La boussole permet de déterminer le cap que l'on suit, et pour un navire, la vitesse peut être estimée par la vitesse du vent et les courants. Ceci permet d'anticiper la trajectoire.

Pour se repérer, les aviateurs et marins naviguant aux instruments disposent des signaux émis par des satellites (système GPS et futur système Galileo) ou des balises radio au sol. Des satellites émettent des signaux synchronisés, et le décalage entre la réception des signaux permet de déterminer la position sur le globe terrestre (voir Système de positionnement) ; ces systèmes sont également accessibles aux véhicules terrestres et aux piétons. Pour le décollage et l'atterrissage, les avions disposent de balises radio posées au sol leur donnant un repérage précis par rapport à la piste, permettant des manœuvres sans visibilité (de nuit ou par mauvais temps).

Les systèmes de surveillance aérienne (tour de contrôle, aviation civile, armée) ou nautique (CROSS, centre régional opérationnel de surveillance et de sauvetage), ainsi que certains avions et navires, sont munis de radars. Ces dispositifs émettent une impulsion radio dans toutes les directions (en général avec une antenne tournante). Une impulsion revient si elle rencontre un obstacle ; le temps qu'elle met à revenir permet de déterminer la distance de l'obstacle, et le décalage en fréquence permet de déterminer la vitesse de l'obstacle (effet Doppler-Fizeau).

中文百科

挂在重力式摩天轮边缘的乘客座舱在做平移运动。

运动学（kinematics）是力学的一门分支，专门描述物体的运动，即物体在空间中的位置随时间的演进而作的改变，完全不考虑作用力或质量等等影响运动的因素。运动学与力动学、动力学不同。力动学专门研究造成运动或影响运动的各种因素。动力学综合运动学与力动学在一起，研究力学系统由于力的作用随着时间演进而造成的运动。

在开始研讨经典力学时，很自然地应该先思考各种可能的运动样式，而暂时不将任何造成运动的因素纳入考量。这初步探询的知识就是运动学的学术领域。
——爱德蒙·维特克，《质点与刚体分析动力学通论》

任何一个物体，像是车子、火箭、星球等等，不论其尺寸大小，假若能够忽略其内部的相对运动，假若其内部的每一部份都是朝相同的方向、以相同的速度移动，那么，可以简易地将此物体视为质点，将此物体的质心的位置当作质点的位置。在运动学里，这种质点运动，不论是直线运动或是曲线运动，都是最基本的研究对象。

假若不能忽略物体内部的相对运动，则当解析其运动时，必须先将物体理想化为刚体，即一群彼此之间距离不变的质点。涉及刚体的问题比较困难。刚体可能会进行平移运动、旋转运动或两者的综合。更困难的案例是多刚体系统的运动。在这系统内，几个刚体由机械连杆连结在一起。运动学分析某连杆设备的可能运动范围，或反过来，设计满足预定运动范围的连杆设备。起重机或引擎活塞系统都是简单的运动系统。起重机是一种开运动链。活塞系统是四连杆组的一部分。

质点运动学

质点运动学研究关於单独质点的运动。从这方面得到的知识可以应用于研究质点动力学、一群质点的研究和其它力学领域。按照路径的弯曲与否，质点运动可以分为直线运动与曲线运动。位置、参考系在三维空间里，详细设置一个点P的位置需要完成三件事，找到参考点O（通常称为原点）、给出从点O到点P的距离、给出从点O到点P的直线方向；缺少其中任何数据，都会使得位置的描述不完全。例如，试想在您住家的南方，距离50公尺之远，有一座巨塔。从这句话，可以知道，参考点是住家，距离是50公尺，方向是朝南方。假设，游客问您：「巨塔在哪里？」您只回答说：「巨塔是在南方，距离有50公尺之远的地方。」很自然地，游客会疑问：「在哪里的南方50公尺？」假若您只回答说：「巨塔是在住家的南方。」游客立刻就会问到：「离住家有多远？」假若您只回答说：「巨塔离住家有50公尺远。」则游客紧接地就会问到：「是朝哪个方向？」所以，这三个数据维一地决定了点P的位置。将上述的数据数学化，用矢量来描述位置。首先，为了要能够一致地表示距离或方向，必须选择一个三维坐标系，设置坐标系的原点O为参考点，以三维坐标系为参考系。这样，位置矢量的大小就是点P离参考点的距离，而位置矢量的方向就是从参考点到点P的直线方向。质点的位置矢量是从参考系的原点到质点的位置的矢量。这矢量表达了从原点到质点位置的距离和方向。在三维空间里，点P的位置矢量表达为；其中，、、分别为点P的直角坐标。位置矢量的大小是点P与原点之间的距离：。从不同的参考系观测点P的位置，可以得到不同的位置矢量。静止与移动从某参考系观测，假若质点的位置矢量随着时间的演进而改变，则称此质点处于「移动状态」；假若质点的位置矢量保持不变，则称此质点处于「静止状态」。请注意，不论是移动状态或是静止状态，都依赖选择的参考系而定。对于某参考系，处于静止状态的质点，对于另一个参考系，可能处于移动状态。所以，移动状态或静止状态都不是绝对的，都跟选择的参考系有关。例如，假设在一辆移动中的火车内部有一位乘客。相对于火车，这乘客处于静止状态；但相对于火车外面的山岭，这乘客处于移动状态。路径、路径距离、位移一个质点的移动「路径」是从初始点移动到终极点所经过的轨迹。假设这初始点就是终结点，而移动时，其它每一个经过的点都只经过一次，则称此路径为「闭合回路」。路径的样子与参考系的选择有关。对于某参考系，路径可能是直线；对于另一个参考系，同样的路径可能是曲线。位移矢量与路径距离之间的关系：位移矢量的大小是距离的最小值位移矢量表达两点之间位置的矢量差。它可以表达一个质点在某时间间隔内由于运动而造成的位置改变。假设，点P的位置为，点Q的位置为，则从点Q到点P的位移为。位移矢量的大小是点P与点Q之间的最短距离。位移矢量与位置矢量不同，位移矢量不会因为选择不同的参考系而改变。但是，在相对论里，假设两个参考系的相对速度不为零，则分别从这两个参考系测量得到的位移矢量也不相等。距离是一种纯量，表达一个质点从某一位置移动到另外一位置，所经过的路径的长度。例如，一部跑车从初始点行驶到终结点，一共行驶了10公里距离的路程。但是，假若这路程是个闭合回路，初始点与终结点相同，则这跑车的最终位移的大小（径向距离）是０，这跑车最终回到了初始点。假设质点的位置是时间的函数，，则从时间到时间，这质点所移动的距离为。这方程序应用到一个论据：在一段无穷小时间间隔内，位移的大小等于经过的路径的长度。这论据类似于几何论据：曲线的一段无穷小曲弧与对应这曲弧的直弦重叠在一起。速度、加速度平均速度是在一段时间间隔内的速度的平均值，以方程序定义为；其中，是平均速度，是质点的位移，是时间间隔。由于时间间隔大于零，平均速度与位移同向。速度是一种矢量，表达随着时间的演进而发生的位移改变。瞬时速度定义为，当变得越来越小时，平均速度的极限值。注意到，在这里，与都会趋向于零，但是它们的比例会趋向于非零极限：。以微分形式定义，速度是位移对于时间的导数。由于无穷小位移正切于实际路径，速度也正切于实际路径。速率是速度的数值大小，是一种纯量：。一个质点移动所经过的路径距离是一种单调递增物理量。因此，是个非负数，速率是个非负数。平均加速度是在一段时间间隔内的加速度的平均值，以方程序定义为；其中，是平均加速度，是质点在微小时间间隔内的微小速度改变。加速度是一种表达质点移动速度随着时间的演进而改变的矢量。瞬时加速度定义为当趋向于零时，平均加速度的极限值，以方程序表达，。以微分形式定义，加速度是速度对于时间的导数。上述速度和加速度的定义式可以逆反过来，以积分形式表达为、；其中，是初始时间，是初始速度，是初始位置。相对运动假设，已知质点P、质点Q对于某参考点G的相对运动，应用矢量代数，就可以描述质点P对于质点Q的相对运动。假设，从某参考系观测，质点P、质点Q、参考点G的位置分别为、、，则质点P、质点Q对于参考点G的相对位置分别为、。质点P对于质点Q的相对位置为。换句话说，质点P对于参考点G的相对位置为。上述这些位移关系式，通过取时间导数，可以得到速度关系式：。取时间导数于这些速度关系式，可以得到加速度关系式：。特别注意，当速度接近光速时，上述这些位移关系式或速度关系式并不正确，必须改用狭义相对论推导出的关系式计算。直线运动在直线运动中，质点沿着直线移动。如果将一个一维坐标系的坐标轴放在这直线上，那么，就可以用其坐标来设置位置，从而计算出速度和加速度等等。假设，在时间是时，质点P的位置是；经过时间间隔后，时间是，质点P的位置是。那么，位移是。质点P的平均速度和瞬时速度分别为∶ 、。质点P的平均加速度和瞬时加速度分别为：、。假设，质点P的位置是时间的函数，则其速度、加速度分别为、。等速直线运动的加速度是零，速度是常数，位置是；其中，是初始位置，是终结位置。等加速直线运动的加速度是常数，位移与速度分别是、、、；其中，是初始位置，是终结位置，是初始速度，是终结速度。实例：等加速直线运动思考一个向上发射的物体；它将会往上直升，然后又落回到地面；它的轨迹全部都包含于同一条直线。假若认定朝上的方向为正值，那么，这物体将会体验到 -9.81m/s的等加速度。这物体的运动是等加速直线运动。现在，请问几个关于这运动的有趣的问题：这物体会在空中运动多久时间？在它开始往下落以前，它会升到多高？当它碰到地面时，它的最终速度是多少？输入实际的数值，假设物体的最初速度是 +50 m/s。它会在空中多久时间？应用位移公式来计算时间：因为这物体先飞离开地面，然后又落回到地面，净位移是零：从这程序，可以求解到两个答案。第一个答案是零；虽然这明显解是正确的答案；但是，它代表的时间间隔是那物体开始移动前的时间间隔。离开地面与回到地面所需要的时间为在它开始往下落以前，它会飞到多高呢？当这物体升到最高点的时候，它的速度是零。所以可以应用速度平方公式，假设以地面为座标系统的原点，那么，是零。则是最高高度：当它碰到地面时，它的最终速度会是多少？正当这物体从最高点往回落的时候，它的速度是零。因此，可以同样的用速度平方公式。带进的数质 127.55m：注意到初始速度与最终速度是等值的。这结果跟能量守恒定律相符合。曲线运动质点随时间演进而移动的曲线运动定义质点在空间中沿着曲线的运动为「曲线运动」。曲线运动的位置、速度、加速度等等，皆须用矢量来表示。参考右图，假设质点在时间的位置是；在间隔时间后，位移是、位置是，则质点的速度是。在极限得到的速度矢量，正切曲线于质点的位置。定义速率为速度的大小。假设这曲线从到的路径长度是，则速率为。假设质点在间隔时间的速度差是，则加速度是。求解曲线运动问题时，选择合适的坐标系是一项非常重要的步骤。运动所遭遇到的约束、或作用力的几何特性，往往是决定合适坐标的主要因素。假设，限制一粒串珠只能绕圆环移动，那么，以圆心为顶点，包含串珠与圆环的另一点的角，其角弧可能是合适的坐标。类似地，假设施加于质点的作用力是连心力，则合适的坐标系可能是极坐标系。直角坐标系直角坐标系。x-轴的方向是亲近读者。三维空间的直角坐标系有三个坐标轴：x-轴、y-轴、z-轴。采用直角坐标系，位置、速度、加速度表示为、、；其中，、、分别是质点的位置的三个分量，速度和加速度的三个分量分别为，。极坐标系在极点为O、极轴为L的极坐标系里，点、点的坐标分别以绿色、蓝色展示。在二维空间里，极坐标系用半径坐标、角坐标来表示质点的位置。半径坐标是极点与质点的直线距离；角坐标是极点与质点的连线对于极轴的角弧。位置、速度、加速度分别表示为、、；其中，是半径单位矢量，是角单位矢量。质点的「角位置」就是它的角坐标，「角位移」则是质点在运动时前后角位置的差值，角速度的大小是角位置对于时间的导数，角加速度的大小是角速度对于时间的导数：。类似等加速直线运动，假设曲线运动的角加速度是常数，则角位移与角速度分别是、、、；其中，是初始角位置，是终结角位置，是初始角速度，是终结角速度。实例：等加速曲线运动如果一个物体不是垂直向上发射，而是与地平面呈角度射出，那么，这物体会按照抛物线轨迹移动，它的水平运动与垂直运动可以各自独立计算。假设，这物体是以最初速率，与地平面呈角度射出。请问在碰到地面以前，它会在空中飞行多远？垂直方向，这物体会感觉到加速度；水平方向，不会感觉到有任何加速度。所以，水平位移是为要解答这问题，必须找到值。这是可以做到的，只需分析垂直的运动。假设垂直位移为零，用类似前面直线运动的方法来找值：现在求解的表达式，代入原先的水平位移方程序。二维旋转参考系在三维空间内，设置两个参考系：空间参考系S与旋转参考系R。空间参考系S的标准正交基为、、。旋转参考系R的标准正交基为、、。两个参考系的原点共点。空间参考系S静止不动，旋转参考系R绕着固定轴旋转。四个单位矢量、、、共平面。这旋转运动可以简化为一个二维平面运动。单位矢量的时间变化率当计算质点的位置、速度、加速度之时，必须特别注意到旋转参考系R是在持续地旋转，单位矢量、也跟着旋转。在取这些单位矢量对于时间的导数时，必须顾虑到旋转运动。假设和以角速度绕着旋转，在初始时间，、，则在时间，、。两个单位矢量、对于时间的导数分别为、。对于含时矢量，其对于时间的导数为。设置、分别为从空间参考系S、旋转参考系R观测到的矢量对于时间的导数，上述方程序可以表达为。这方程序的叉积项目可以这样理解：假设矢量的尾部与空间参考系S的原点同点，矢量以角速度绕着固定轴旋转，则矢量的头部的速度是。矢量是任意矢量，因此可以将、当作算符，这样，对应的算符方程序的形式为：。位置、速度、加速度假设，从空间参考系S观测，质点P的位置为，而从旋转参考系R观测，同一质点P的位置为。从空间参考系S观测，质点P的速度为；其中，是从旋转参考系R观测到的质点P的速度。质点P的加速度为；其中，是从空间参考系S观测到的旋转参考系R的角加速度。应用算符方程序，；其中，是从旋转参考系R观测到的质点P的加速度。总合起来，质点P的加速度是。这方程序右手边第一个项目是从旋转参考系R观测到的质点P的加速度项目，第二个是科里奥利力项目，第三个是从空间参考系S观测到的旋转参考系R的角加速度项目，第四个是向心力项目。

刚体运动学

刚体的「位置」：挑选刚体内部一点G来代表整个刚体，通常会设置物体的质心或形心为这一点。从空间参考系S观测，点G的位置就是整个刚体在空间的位置。位置可以应用矢量的概念来表示：矢量的起点为参考系S的原点，终点为点G。

刚体的取向：描述刚体取向的方法有好几种，包括方向余弦、欧拉角、四元数等等。这些方法设置一个附体参考系B的取向（相对于空间参考系S）。附体参考系是固定于刚体的参考系。相对于刚体，附体参考系的取向固定不变。由于刚体可能会呈加速度运动，所以附体参考系可能不是惯性参考系。空间参考系是某设置惯性参考系，例如，在观测飞机的飞行运动时，附著于飞机场控制塔的参考系可以设置为空间参考系，而附著于飞机的参考系则可设置为附体参考系。

运动约束

单摆：将一根无伸缩性绳子的一端固定，另外一端系住一个锤。这就形成了一个简单摆。在基础动力学里，简单摆问题研究锤的摆动运动跟绳子长度、锤重量之间的关系。

溜溜球：在两片圆盘之间链接的卷轴，系着一根无伸缩性绳子。这就是古今中外、广为流行的溜溜球玩具。

悬链线：将无伸缩性绳子的两端分别固定于两点，由于均匀引力作用于绳子的每一部份而形成的曲线形状称为悬链线。

法法词典

cinématique nom commun - féminin ( cinématiques )

1. mécanique partie de la mécanique qui étudie les mouvements, indépendamment de ce qui les provoque

des travaux fondés sur la cinématique

cinématique adjectif ( même forme au masculin et au féminin, pluriel cinématiques )

1. mécanique des mouvements ou de l'étude des mouvements

la théorie de la relativité cinématique