Un triangle.

En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points appelés sommets, par les trois segments qui les relient, appelés côtés, délimitant un domaine du plan appelé intérieur. Lorsque les sommets sont distincts deux à deux, en chaque sommet les côtés délimitent un angle intérieur, d'où vient la dénomination de « triangle ».

Le triangle est aussi le polygone le plus simple qui délimite une portion du plan et sert ainsi d'élément fondamental pour le découpage et l'approximation de surfaces.

De nombreuses constructions géométriques de points, droites et cercles associés à un triangle sont liées par des propriétés qui étaient en bonne part déjà énoncées dans les Éléments d'Euclide, près de 300 ans avant Jésus-Christ. Les relations entre les mesures des angles et les longueurs des côtés sont notamment à l'origine de techniques de calcul de distances par triangulation. Le développement de ces techniques constitue d'ailleurs une branche des mathématiques appelée trigonométrie.

Hors de la géométrie euclidienne, les côtés d'un triangle sont remplacés par des arcs géodésiques et beaucoup de ses propriétés sont modifiées (voir Trigonométrie sphérique).

La forme triangulaire se retrouve dans de nombreux objets, mathématiques ou non, et s'est chargée de symboliques diverses. De nombreux caractères typographiques présentent une telle forme.

Description

Notations

Notations usuelles pour un triangle ABC.

Un triangle est complètement déterminé par la donnée de ses trois sommets et il se note en général en juxtaposant les trois lettres (a priori capitales) qui les désignent. L'ordre de ces lettres importe peu même si l'ordre d'énonciation correspond en général à un parcours dans le sens trigonométrique autour du triangle. La longueur d'un côté est classiquement notée avec la lettre minuscule correspondant au sommet opposé.

Si tous les sommets sont distincts, chaque angle géométrique peut être identifié par la lettre du sommet correspondant, surmontée d'un accent circonflexe. Au cas où la figure comprend d'autres segments passant par les sommets, les côtés de l'angle sont précisés par les lettres désignant les deux autres sommets de part et d'autre sous l'accent circonflexe. Ces angles peuvent aussi être notés à l'aide de lettres grecques en minuscule et en italique.

Premières propriétés

Inégalité triangulaire

Le postulat euclidien selon lequel « la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre » s'illustre par le fait que dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés :

${\displaystyle {\rm {BC\leq BA+AC,~~AB\leq AC+CB~~et~~AC\leq AB+BC.}}}$

Le cas d'égalité caractérise les triangles plats, dans lequel l'un des sommets appartient au segment qui relie les deux autres.

Réciproquement, étant données trois longueurs (données par trois nombres réels positifs) dont aucune n'est supérieure à la somme des deux autres, il est possible de construire un triangle ayant ces longueurs de côté. La vérification de ces inégalités peut être faite en comparant seulement la plus grande des trois longueurs avec la somme des deux autres, car les deux autres inégalités sont nécessairement vraies.

Il suffit alors de construire d'abord un segment d'une des trois longueurs souhaitées, puis de tracer deux cercles centrés sur les extrémités de ce segment avec pour rayon chacune des deux autres longueurs. Les deux cercles ont alors deux points d'intersection et n'importe lequel de ces deux points définit le triangle de dimensions voulues avec le segment initial.

Somme des angles

La somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°.

La somme des angles d'un triangle est égale à un angle plat, autrement dit la somme de leurs mesures vaut 180° (degrés) c'est-à-dire π radians. Cette propriété est une caractéristique de la géométrie euclidienne. Il existe d'autre géométries, dites géométries non euclidiennes, dans lesquelles la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à 180° (on parle alors de géométrie elliptique) ou au contraire inférieure (la géométrie est alors dite géométrie hyperbolique).

Réciproquement, étant données trois mesures (non nulles) d'angles géométriques dont la somme vaut un angle plat, il existe un triangle ayant ces mesures d'angles. Il suffit de tracer un segment d'une longueur quelconque et de tracer une demi-droite en chaque extrémité mais du même côté du segment, de façon à former deux des angles voulus avec le segment initial. Les deux demi-droites auront un point d'intersection en lequel l'angle intérieur sera le troisième angle voulu.

Cas particuliers

Un triangle dans lequel au moins deux sommets sont confondus est dit dégénéré (ou parfois en aiguille).

Un triangle plat est un triangle dont les sommets sont alignés.

Un triangle isocèle est un triangle ayant au moins deux côtés de même longueur. Les deux angles adjacents au troisième côté sont alors de même mesure. Réciproquement, tout triangle ayant deux angles de même mesure est isocèle. Les triangles isocèles sont les seuls à admettre un axe de symétrie en dehors des triangles plats. Anciennement, en géométrie euclidienne, un triangle isocèle possédait exactement deux côtés égaux.

Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. Ses trois angles ont alors la même mesure qui vaut donc 60° et il admet trois axes de symétrie.

Un triangle qui n'est ni isocèle (ce qui exclut également le cas équilatéral) ni plat est dit quelconque ou scalène (du grec σκαληνός (skalenos) : boiteux, inégal, déséquilibré, oblique…) Il s'agit donc d'un triangle ayant trois côtés de longueurs différentes, trois angles de mesures différentes et aucun axe de symétrie.

Triangle isocèle.

Triangle équilatéral.

Triangle scalène.

Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit, c'est-à-dire de mesure 90°. Il satisfait alors le théorème de Pythagore. Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, il ne peut y avoir plus d'un angle obtus (supérieur à l'angle droit). S'il y en a un, le triangle est obtusangle ou ambligone. S'il n'y en a pas, il est acutangle ou oxygone (il a alors trois angles aigus).

Triangle obtusangle ou ambligone

Triangle rectangle

Triangle acutangle ou oxygone

Certains triangles ont reçu une dénomination particulière qui détermine leurs angles :

le demi-carré est un triangle isocèle rectangle, qui peut s'obtenir en reliant trois sommets d'un carré ;

le triangle des arpenteurs ou triangle « 3-4-5 » est un triangle rectangle dont les côtés sont de longueurs 3, 4 et 5 en fonction d'une unité fixée ;

le triangle de l'écolier ou triangle hémi-équilatéral est un triangle rectangle dont les mesures des angles sont de 30°, 60° et 90° ;

le triangle d'or est un triangle isocèle dont les angles à la base valent deux cinquièmes de l'angle plat, soit 72° ;

un triangle de Kepler est un triangle rectangle dont les longueurs de côté suivent une progression géométrique.

Demi-carré.

Triangle des arpenteurs.

Triangle de l'écolier.

Triangle d'or.

Triangle de Kepler.

Un triangle est dit bisocèle si l'une de ses bissectrices le partage en deux triangles isocèles. Il ne peut s'agir que du demi-carré ou d'un triangle d'or.

Aire

L'aire d'un triangle est donnée par diverses formules, la première étant fonction de la longueur d'un côté, appelée base, et de la distance du sommet opposé à la droite qui porte ce côté, appelée hauteur.

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{2}}\times \mathrm {base} \times \mathrm {hauteur} .}$

Cette formule est dérivée de celle de l'aire d'un parallélogramme et démontrée dans les Éléments d'Euclide.

D'autres formules font appel à la longueur des côtés (formule de Héron) ou aux coordonnées des sommets dans un repère orthonormé.

Périmètre

Le périmètre d'un triangle est simplement la somme des trois longueurs de côté. Pour un périmètre p donné, l'aire intérieure du triangle est majorée par celle du triangle équilatéral correspondant :

${\displaystyle {\mathcal {A}}\leq {\frac {p^{2}{\sqrt {3}}}{36}}.}$

Relations trigonométriques

Les longueurs de côté d'un triangle et les mesures de ses angles satisfont plusieurs relations qui permettent de toutes les calculer à partir de certaines d'entre elles.

Il s'agit d'une part, outre la formule de la somme des angles, d'une relation entre l'aire, la mesure d'un angle et la longueur des deux côtés adjacents :

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\dfrac {1}{2}}bc\,\sin {\hat {A}}}$

laquelle permet d'obtenir la formule des sinus :

${\displaystyle {\dfrac {a}{\sin {\hat {A}}}}={\dfrac {b}{\sin {\hat {B}}}}={\dfrac {c}{\sin {\hat {C}}}}=2R}$ où R est le rayon du cercle circonscrit ;

d'autre part, du théorème d'Al-Kashi (ou théorème de Carnot ou encore loi des cosinus) qui généralise le théorème de Pythagore :

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{22bc\cos {\hat {A}}}$.

Utilisations

Triangulation

Les relations métriques dans le triangle permettent d'évaluer des distances à partir de mesures angulaires, comme en navigation maritime, en géodésie et en astronomie. C'est selon ce principe qu'a été mesuré le méridien terrestre pour la définition du mètre.

Décomposition de surface

Les trois polyèdres réguliers convexes à faces triangulaires

Dans le plan, le calcul de l'aire d'un domaine peut être évalué en approchant ce domaine par une réunion de triangles disjoints.

Plus généralement, des surfaces de l'espace peuvent être approchées par une réunion de triangles appelées facettes. Cette technique est utilisée en analyse numérique dans la méthode des éléments finis, mais aussi en imagerie numérique. L'analyse vectorielle permet d'ailleurs de calculer rapidement l'orientation d'une telle facette et d'en déduire la réflexion du rayonnement lumineux d'une source ponctuelle dans une direction donnée.

Plusieurs polyèdres (réguliers ou non) ont des faces triangulaires, comme le tétraèdre, l'octaèdre, l'icosaèdre et le grand icosaèdre. Les polyèdres dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux sont appelés deltaèdres.

D'autre part, tout polygone peut être découpé en un nombre fini de triangles qui forment alors une triangulation de ce polygone. Le nombre minimal de triangles nécessaire à ce découpage est n-2, où n est le nombre de côtés du polygone. L'étude des triangles est fondamentale pour celle des autres polygones, par exemple pour la démonstration du théorème de Pick.

Constructions géométriques associées

Triangle médian

Triangle médian, médianes et centre de gravité.

Si on joint les trois milieux des côtés d'un triangle on obtient quatre triangles semblables au triangle initial, l'aire de chacun des triangles est le quart de celle du triangle initial.

On appelle triangle médian le triangle central dont les sommets sont les milieux des côtés du triangle initial. Ce triangle médian se trouve « inversé » par rapport aux trois autres.

D'après le théorème des milieux, ce triangle médian a ses côtés parallèles à ceux du triangle initial et des longueurs de côté proportionnelles dans un rapport de 1/2.

Médianes et centre de gravité

Dans un triangle, une médiane est un segment qui relie un sommet au milieu du côté opposé. Chaque médiane divise un triangle en deux triangles d'aires égales.

Si le triangle est non plat, les trois médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité. Ce point, souvent noté G et situé aux deux-tiers de chaque médiane en partant du sommet, est à la fois l'isobarycentre des trois sommets et le centre de masse de l'intérieur du triangle.

Les trois médianes concourantes divisent le triangle en six triangles de même aire.

La longueur de la médiane est reliée aux longueurs des autres côtés par le théorème de la médiane ou théorème d'Apollonius.

Médiatrices et centre du cercle circonscrit

Médiatrices et cercle circonscrit.

Si le triangle est non plat, les trois médiatrices des côtés (les droites coupant les côtés à angle droit en leur milieu) sont concourantes en un point appelé centre du cercle circonscrit, car il est le seul équidistant des trois sommets, c'est-à-dire qu'il est le centre du seul cercle passant par les trois sommets. Ce centre est souvent noté O ou Ω (« oméga »).

Un triangle est rectangle si et seulement si le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'un de ses côtés (qui est alors son hypoténuse).

Pour un triangle acutangle, le centre du cercle circonscrit est à l'intérieur du triangle. Pour un triangle obtusangle, ce centre est à l'extérieur.

Le produit du rayon du cercle circonscrit et de l'aire du triangle est le quart du produit des longueurs de côtés du triangle.

Hauteurs et orthocentre

Hauteurs et orthocentre.

Si les trois sommets sont distincts, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Si le triangle est non plat, les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre, souvent noté H.

Un triangle est rectangle si et seulement si son orthocentre est l'un des sommets (en lequel se trouve alors l'angle droit). Pour un triangle acutangle, l'orthocentre est à l'intérieur du triangle. Pour un triangle obtusangle, il est à l'extérieur.

Les trois médiatrices d'un triangle sont les trois hauteurs de son triangle médian et par conséquent, le centre du cercle circonscrit à un triangle est l'orthocentre du triangle médian.

Le point de Longchamps est le symétrique de l'orthocentre par rapport au centre du cercle circonscrit.

Bissectrices et cercle inscrit

Bissectrices et cercle inscrit.

Si le triangle est non plat, les trois bissectrices de ses angles (les demi-droites qui partagent les angles en deux angles de même mesure) sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit, car il est le centre du seul cercle tangent aux trois côtés. Ce centre est en général noté I ou J.

D'après le théorème de Steiner-Lehmus, les longueurs de deux bissectrices dans un triangle sont égales si et seulement si les angles correspondants ont même mesure.

Les points de contact de ce cercle inscrit avec les côtés forment le triangle de Gergonne. Les segments reliant ces points de contact avec les sommets opposés dans le triangle sont concourantes en un point appelé point de Gergonne.

Chaque bissectrice divise le côté opposé en deux segments dont les longueurs sont reliées à celles des côtés de l'angle grâce à la loi des sinus.

Le rayon du cercle inscrit est le quotient de l'aire du triangle par son demi-périmètre.

Droite et cercle d'Euler

Droite et cercle d'Euler.

Le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre sont alignés sur une droite appelée droite d'Euler et satisfont la relation vectorielle :

${\displaystyle {\overrightarrow {\Omega \mathrm {H} }}=3\,{\overrightarrow {\Omega \mathrm {G} }}.}$

En outre, les milieux des côtés, les pieds des hauteurs et les milieux des segments reliant l'orthocentre aux sommets sont tous sur un même cercle appelé cercle d'Euler, dont le centre est également sur la droite d'Euler.

Relations

Triangles isométriques

Deux triangles sont dits isométriques, superposables ou, anciennement égaux, s'ils ont les mêmes longueurs de côté. Dans ce cas il est possible de faire correspondre les sommets de l'un avec les sommets de l'autre par une isométrie (par exemple une translation, une rotation ou une symétrie) et cette correspondance relie alors des angles de même mesure. Ces triangles ont donc aussi la même aire.

Cette première définition est équivalente à chacune des trois suivantes :

les trois longueurs des côtés du premier triangle sont les mêmes que celles du second (abrégé par CCC) ;

les deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de mêmes longueurs (abrégé par CAC) ;

les deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de mêmes mesures (abrégé par ACA).

Triangles semblables

Deux triangles ayant les mêmes mesures d'angle sont dits semblables. Ils ne sont pas nécessairement isométriques, mais leurs longueurs de côté sont proportionnelles avec un même coefficient de proportionnalité k. Leurs aires sont alors reliées par un facteur k.

Il existe en effet une similitude (qui est la composée d'une isométrie et d'une homothétie) qui transforme l'un en l'autre. Cette définition équivaut à :

les trois angles du premier ont mêmes mesures que ceux du second (abrégé par AAA), (en fait deux angles suffisent : le troisième s'en déduit)

ou encore à :

les trois longueurs des côtés du premier sont proportionnelles à celles du second.

Deux triangles isométriques sont toujours semblables. Deux triangles équilatéraux (non nécessairement isométriques) aussi.

Autres figures relatives

Il existe trois autres cercles tangents aux droites qui portent les côtés d'un triangle, et sont tous trois extérieurs à ce triangle. Les points d'intersection de ces cercles avec les côtés du triangle forment le triangle de Nagel. Les segments reliant ces points de contact avec les sommets du triangle sont concourants en un point appelé point de Nagel.

Le cercle dont un diamètre relie le point de Nagel à l'orthocentre est appelé cercle de Fuhrmann et son rayon est égal à la distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit.

Les centres des trois cercles forment le triangle de Bevan, qui est homothétique au triangle de Gergonne. Le centre de son cercle circonscrit est appelé point de Bevan.

Les trois cercles exinscrits sont tangents intérieurement à un cercle appelé cercle d'Apollonius. Les droites reliant les points de contact aux sommets correspondants du triangle sont concourantes en un point appelé point d'Apollonius.

Le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits sont tous tangents au cercle d'Euler. Les points de contact sont appelés points de Feuerbach.

Symédianes et point de Lemoine

Une symédiane est une droite symétrique de la médiane par rapport à une bissectrice issue du même sommet. Les trois symédianes sont concourantes en un point appelé point de Lemoine.

Point de Fermat

Dans un triangle acutangle, il existe un unique point qui minimise la somme des distances aux sommets. En ce point, appelé point de Fermat, les angles formés par les segments vers les sommets du triangle sont tous de 120°.

Points, droite et cercle de Brocard

Points de Brocard

Si un triangle est non plat, il existe deux points appelés points de Brocard pour lesquels les segments vers les sommets subdivisent le triangle en trois triangles ayant un angle de même mesure par permutation des sommets du triangle initial. La mesure de cet angle est alors la même pour les deux points.

La droite de Brocard est la droite qui passe par ces deux points.

Les points de Brocard appartiennent au cercle de Brocard dont un diamètre a pour extrémités le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine.

D'après le théorème d'Alasia, la droite de Brocard est parallèle à l'un des côtés si et seulement si le triangle est isocèle avec ce côté pour base.

Ellipse de Steiner

Dans un triangle non plat, il existe une unique ellipse tangente à chaque côté en son milieu.

Autres résultats

Le théorème de Thalès relie les longueurs de côtés de deux triangles semblables ayant un sommet commun et les côtés opposés parallèles.

Le théorème de Napoléon affirme que les centres des triangles équilatéraux formés extérieurement sur les côtés d'un triangle sont eux-mêmes les sommets d'un triangle équilatéral.

Le « théorème japonais de Carnot » établit que la somme des rayons des cercles inscrit et circonscrit est égale à la somme des distances du centre du cercle circonscrit aux côtés du triangle.

Le théorème de Ménélaüs donne une condition nécessaire et suffisante pour l'alignement de trois points alignés respectivement avec les côtés d'un triangle.

Le théorème de Morley affirme que les intersections des trissectrices des angles d'un triangle forment un triangle équilatéral.

Le théorème de Nagel montre que la bissectrice d'un angle d'un triangle est la même que celle de l'angle en ce sommet dont les côtés passent par l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit.

Le théorème de Neuberg établit que les centres de trois carrés obtenus par une construction géométrique particulière sur un triangle sont les milieux des côtés de ce triangle.

Le théorème de Hamilton stipule que le cercle d'Euler est le même pour les quatre triangles formés par un groupe orthocentrique.

Le théorème d'Euler en géométrie exprime la distance d entre les centres des cercles inscrit et circonscrit en fonction de leurs rayons respectifs r et R par d=R(R-2r). Il en découle que le rayon du cercle inscrit est au moins deux fois plus petit que celui du cercle circonscrit (inégalité d'Euler).

Avec des céviennes

Le théorème de Ceva donne une condition nécessaire et suffisante pour que trois droites (appelées céviennes) passant respectivement par les trois sommets d'un triangle soient parallèles ou concourantes.

Le théorème de Gergonne donne alors une relation entre les longueurs des céviennes et les longueurs des segments qui relient leur point d'intersection aux sommets.

Le théorème de Stewart relie la longueur d'une cévienne aux longueurs des côtés des deux triangles qu'elle forme.

Le théorème de Terquem montre que le cercle pédal, circonscrit au triangle pédal formé par les trois pieds de céviennes concourantes, coupe les côtés du triangle en trois points qui sont également les pieds de céviennes concourantes.

Avec des cercles

Le théorème des six cercles montre qu'une suite de cercles successivement tangents extérieurement et tangents intérieurement à deux côtés d'un triangle (les côtés variant par permutation circulaire) est 6-périodique.

La réciproque du théorème des trois cercles de Miquel montre que trois cercles passant respectivement par les sommets d'un triangle et sécants le long des côtés correspondants sont concourants en un point appelé point de Miquel.

Généralisations

Polygones

Un quadrilatère, avec ses diagonales

Un triangle étant un polygone à trois côtés, certaines propriétés se généralisent pour un plus grand nombre de côtés, comme l'inégalité triangulaire ou la somme des angles (pour un polygone non croisé), mais l'aire et les angles ne dépendent plus seulement des longueurs des côtés. Il y a aussi moins de résultats valables en toute généralité sur les droites ou points remarquables. Cependant, certaines conditions permettent d'en retrouver comme dans le cas de quadrilatères particuliers (parallélogrammes notamment) ou inscriptibles dans un cercle.

En plus grande dimension

Un tétraèdre

Dans l'espace, trois points sont toujours coplanaires et ne suffisent donc pas pour définir un élément de volume. Mais quatre points non coplanaires forment un tétraèdre. Plus généralement, un simplexe est une figure géométrique convexe engendré par n points dans un espace à au moins n−1 dimensions.

Histoire

Problèmes R49→R55 du papyrus Rhind

figure du triangle représentée dans le problème R51 du papyrus Rhind

Aucun document mathématique de l'Ancien Empire ne nous est parvenu. Mais l'architecture monumentale des III et IV dynastie constitue une preuve remarquable que les Égyptiens de cette époque détenaient des connaissances relativement élaborées en géométrie, et en particulier dans l'étude des triangles.

Le calcul de l'aire de cette figure est étudié dans les problèmes R51 du papyrus Rhind, M4, M7 et M17 du papyrus de Moscou et datant tous du Moyen Empire. Le problème R51 constitue, dans l'histoire mondiale des mathématiques, le premier témoignage écrit traitant du calcul de l'aire d'un triangle.

Énoncé du problème R51 du papyrus Rhind

« Exemple de calcul d'un triangle de terre. Si quelqu'un te dit : un triangle de 10 khet sur son mryt et de 4 khet sur sa base. Quelle est sa superficie ? Calcule la moitié de 4 qui est 2 pour en faire un rectangle. Tu fais en sorte de multiplier 10 par 2. Ceci est sa superficie. »

Le terme mryt signifie probablement hauteur, ou côté. Mais la formule utilisée pour le calcul de l'aire fait pencher l'interprétation en faveur de la première solution. Le scribe prenait la moitié de la base du triangle et calculait l'aire du rectangle formé par ce côté et la hauteur, soit

équivalente à la formule générale utilisée de nos jours :

Euclide, dans le livre I de ses Éléments, vers 300 av. J.-C., énonce la propriété sur la somme des angles du triangle et les trois cas d'égalité des triangles (voir ci-dessus le paragraphe sur les triangles isométriques).

三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形，是最基本的多边形。

一般用大写英语字母、和为三角形的顶点标号；用小写英语字母、和表示边；用、和给角标号，又或者以这样的顶点标号表示。

分类

以角度分类 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 锐角三角形的所有内角均为锐角（即小于90°）。 钝角三角形 钝角三角形是其中一角为钝角（大于90°）的三角形，其余两角均小于90°。 直角三角形 有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角边」（cathetus），直角所对的边是「斜边」（hypotenuse）；或最长的边称为「弦」，底部的一边称作「勾」（又作「句」），另一边称为「股」。 直角三角形各边与角度的关系，可以三角比表示。详见三角函数。 以边长分类 不等边三角形 等边三角形 等腰三角形 不等边三角形 三条边边长皆不相等的三角形称为不等边三角形。 等边三角形 等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三个内角相等，均为60°。它是锐角三角形的一种。设其边长是 ，则其面积公式为 。 等边三角形是正四面体、正八面体和正二十面体这三个正多面体面的形状。六个边长相同的等边三角形可以拼成一个正六边形。 等腰三角形 等腰直角三角形只有一种形状，其中两个角为45度。 等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中两只内角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」，而另一条边被称为「底边」，两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」，它们组成的角被称为「顶角」。 等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。 退化三角形 退化三角形是指面积为零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，这是由于它介乎于三角不等式之间，在一些数据中已否定了其中一条边等于其余两条边之和的情况。

一般性质

三角边长不等式

三角内外角不等式

三角形外角

三角形内角和

勾股定理

勾股定理逆定理

正弦定理：

余弦定理：

全等及相似

SSS（Side-Side-Side，边、边、边）：各三角形的三条边的长度都对应地相等。

SAS（Side-Angle-Side，边、角、边）：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等。

ASA（Angle-Side-Angle，角、边、角）：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等。

HL（Hypotenuse-Leg，斜边、直角边）：在直角三角形中，斜边及另外一条直角边对应地相等。又名为RHS（Right angle-Hypotenuse-Side，直角、斜边、边）

AAS（Angle-Angle-Side，角、角、边）：各三角形的其中两个角都对应地相等，且其中一组对应角的对边也对应地相等。

AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中两个角的都对应地相等。（或称AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角）。）

三边成比例：各三角形的三条边的长度都成同一比例。

两边成比例及夹角相等：各三角形的两条边的长度都成同一比例，且两条边夹着的角都对应地相等。

特殊线段

中线：三角形一边中点与这边所对顶点的连线段。

高线：从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。

角平分线：平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。

垂直平分线：通过三角形一边中点与该边所垂直的线段，又称中垂线。

三角形的心

三角形的内心、外心、垂心及形心称为三角形的四心，定义如下： 名称 定义 图示 备注 内心 三个内角的角平分线的交点 该点为三角形内切圆的圆心。 外心 三条边的垂直平分线的交点 该点为三角形外置圆的圆心。 垂心 三条高线的交点 形心（重心） 三条中线的交点 被交点划分的线段比例为1:2（靠近角的一段较长）。 关于三角形的四心，有这样的一首诗： “ 内心全靠角平分， 外心中点垂线伸， 垂心垂直画三高， 形心角连接中心。 ” 垂心（蓝）、形心（黄）和外心（绿）能连成一线，且成比例1:2，称为欧拉线。 连同以下的旁心，合称为三角形的五心： 名称 定义 图示 备注 旁心 外角的角平分线的交点 有三个，为三角形某一边上的旁切圆的圆心。

外置圆和内切圆半径

面积

基本公式 三角形的面积 是底边 与高 乘积的一半，即： ， 其中的高是指底边与对角的垂直距离。 证明 三角形的面积可表示为一长方形面积的一半。 从右图可知，将两个全等三角形相拼，可得一平行四边形。而将该平行四边形分割填补，正好能得到一个面积等于 的长方形。因此原来的三角形面积为 。 证毕。 已知两边及其夹角 设 、 为已知的两边， 为该两边的夹角，则三角形面积是： 。 证明 三角形的高h能以正弦的定义表示。 观察右图，根据正弦的定义： 。 因此： 。 将此式代入基本公式，可得： 。 证毕。 已知两角及其夹边 、 为已知的两角， 为该两角的夹边，则三角形面积是： 。 证明 三角形的面积能从两角及其夹边求得。 从正弦定理可知： 代入 ，得： 。 注意到，因此： 证毕。 已知三边长 希罗公式，又称海伦公式，其表示形式为： ， 其中 等于三角形的半周长，即： 秦九韶亦求过类似的公式，称为三斜求积法： 也有用幂和来表示的公式： 亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式： 基于希罗公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定，有一个变化的计法。设 ，三角形面积为： 。 证明 设 、 、为三角形三条边， 、 、 为相应边的对角。从余弦定理可知： 以毕氏三角恒等式可得： 。 将此式代入，得： 。 因式分解及简化后可得： 代入，即可证毕。 已知坐标系中三顶点坐标 由 、 及 三个顶点构成的三角形，其面积可用行列式的绝对值表示： 证明 无论三角形的顶点位置如何，该三角形总可以用一个直角梯形（或矩形）和两个直角三角形面积的和差来表示，而在直角坐标系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的顶点的坐标，该三角形的面积容易求出，即用上述的行列式表示。 若三个顶点设在三维座标系上，即由 、 及 三个顶点构成三角形，其面积等于各自在主平面上投影面积的毕氏和，即： 已知周界及内切圆或外置圆半径 设三角形三边边长分别为 、 及 ，三角形半周长（ ）为 ，内切圆半径为 ，则： 若设外置圆半径为 ，则： 证明 内切圆半径公式 三角形被三条角平分线分成三分。 根据右图，设 ， ， ，则三角形面积可表示为： 外置圆半径公式 根据正弦定理： 因此： 已知两边矢量 设从一角出发，引出两边的矢量为 及 ，三角形的面积为： 证明 根据矢量积定义，， 其中 是两支矢量的夹角。 因此： 证毕。

半角定理

在三角形中，三个角的半角的正切和三边有如下关系： 证明 以正弦及余弦之比表示正切： 因为 所以 而 所以 即 同理可得

其他三角形有关的定理

拿破仑三角形

费马点

欧拉线

梅涅劳斯定理