En mathématiques, une condition aux limites est une contrainte sur les valeurs que prennent les solutions des équations aux dérivées ordinaires et des équations aux dérivées partielles sur une frontière.

Il existe un grand nombre de conditions aux limites possibles, en fonction de la formulation du problème, du nombre de variables en jeu, et (de manière plus importante) de la nature de l'équation.

Les conditions imposées au temps sont appelées conditions initiales. On peut aussi imposer des conditions aux limites, par exemple, dans la limite pour .

Dans l'exemple physique d'une corde vibrante attachée aux deux extrémités, la condition aux limites prend la forme : « quel que soit le temps t, le déplacement des points extrémaux est nul ».

Les conditions aux limites de Dirichlet et de Neumann sont utilisées pour les équations différentielles partielles elliptiques, telles que l'équation de Helmholtz.

Il existe d'autres types de conditions aux limites, telles la condition aux limites de Robin (aussi appelée de Fourier, d'impédance ou troisième condition), la condition aux limites mêlée (ou mixte), ou la condition aux limites dynamique.

Articles connexes

Condition initiale

Condition aux limites de Dirichlet

Condition aux limites de Neumann

Condition aux limites de Robin

Condition aux limites dynamique

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图中的区域为微分方程有效的区域，且函数在边界上的值已知

在微分方程中，边值问题是一个微分方程和一组称之为边界条件的约束条件。边值问题的解通常是符合约束条件的微分方程的解。

物理学中经常遇到边值问题，例如波动方程等。许多重要的边值问题属于Sturm-Liouville问题。这类问题的分析会和微分算子的本征函数有关。

在实际应用中，边值问题应当是适定的（即：存在解，解唯一且解会随着初始值连续的变化）。许多偏微分方程领域的理论提出是为要证明科学及工程应用的许多边值问题都是适定问题。

最早研究的边值问题是狄利克雷问题，是要找出调和函数，也就是拉普拉斯方程的解，后来是用狄利克雷原理找到相关的解。

说明

边值问题类似初值问题，边值问题的条件是在区域的边界上，而初值问题的条件都是在独立变量及其导数在某一特定值时的数值（一般是定义域的下限，所以称为初值问题）。 例如独立变量是时间，定义域为[0,1]，边值问题的条件会是在及时的数值，而初值问题的条件会是时的及 之值。 若铁棒的一端为绝对零度，另一端温度为水的凝固点，要找到铁棒温度随位置的变化即为一个边值问题。 若问题和时间和空间都有关，边界条件需为某一个特定点下所有时间对应的值，以及某一个特定时间时所有位置对应的值。 以下是一个边值问题的例子 要求解满足以下边界条件的函数 若没有边界条件，以上微分方程的通解是 根据边界条件，可得 可以得到的结论。根据边界条件，可得 因此。因此可以找到满足上述边界条件的唯一解，即为

边值问题的种类

第一类边值条件：也称为狄利克雷边界条件，直接描述物理系统边界上的物理量，例如振动的弦两端与平衡位置的距离；

第二类边值条件：也称为诺伊曼边界条件，描述物理系统边界上物理量垂直边界的导数的情况，例如导热细杆端点的热流；

第三类边值条件：物理系统边界上物理量与垂直边界导数的线性组合，例如，细杆端点的自由冷却，温度、热流均不确定，但是二者的关系确定，即可列出二者线性组合而成的边值条件。