Une sphère dans un espace euclidien.

Usage de la sphère en architecture : voûte demi-sphérique côtelée d'un dôme de la Grande Mosquée de Kairouan (en Tunisie).

En géométrie dans l'espace, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé centre. La valeur de cette distance au centre est appelée le rayon de la sphère. La géométrie sphérique est la science qui étudie les propriétés des sphères. La Terre peut, en première approximation, être modélisée par une sphère dont le rayon est environ 6 371 km.

Plus généralement en mathématiques, dans un espace métrique, une sphère est l'ensemble des points situés à même distance d'un centre. Leur forme peut alors être très différente de la forme ronde usuelle. Une sphère est également un ellipsoïde dégénéré.

Les points dont la distance au centre est inférieure ou égale au rayon constituent une boule.

Sphère euclidienne de dimension 2

Représentation

En géométrie cartésienne, une sphère de centre ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} et de rayon r {\displaystyle r} est l'ensemble des points ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} tels que :

${\displaystyle \displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}}$.

Les points de la sphère de rayon r et de centre l'origine du repère peuvent être paramétrés par :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&=&r\cos \theta \;\cos \phi \\y&=&r\cos \theta \;\sin \phi \\z&=&r\sin \theta \end{matrix}}\right.\qquad \left({\frac {-\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}{\mbox{ et }\pi \leq \phi \leq \pi \right)}$

On peut voir θ {\displaystyle \displaystyle \theta } comme la latitude et ϕ {\displaystyle \displaystyle \phi } comme la longitude. (Voir fonctions trigonométriques et coordonnées sphériques.)

Formules

L'aire d'une sphère de rayon r {\displaystyle r} est :

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$.

Le volume de la boule qu'elle renferme est :

${\displaystyle V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}}$.

Sa compacité, c'est-à-dire le rapport entre son volume et sa surface est de

${\displaystyle C={\frac {V}{A}}={\frac {r}{3}}}$.

Le moment d'inertie d'une boule homogène de rayon r {\displaystyle r} , de masse volumique ρ {\displaystyle \rho } et de masse M, par rapport à un axe passant par son centre est :

${\displaystyle I={\frac {2Mr^{2}}{5}}={\frac {8\pi \rho r^{5}}{15}}}$.

Le moment d'inertie d'une sphère homogène de rayon ${\displaystyle r}$ et de masse M, par rapport à un axe passant par son centre est :

${\displaystyle I={\frac {2Mr^{2}}{3}}={\frac {8\pi \rho r^{5}}{9}}}$.

L'élément d'aire de la sphère de rayon r {\displaystyle r} dans les coordonnées latitude-longitude est d σ = r 2 cos ⁡ θ d θ d ϕ {\displaystyle \mathrm {d} \sigma =r^{2}\cos \theta \mathrm {d} \theta d\phi } . On en déduit que l'aire d'un fuseau (portion limitée par deux demi-cercles joignant les pôles et faisant un angle α {\displaystyle \alpha } exprimé en radians) est 2 α r 2 {\displaystyle 2\alpha r^{2}} .

Cela permet aussi de calculer l'aire d'une calotte sphérique (on dit aussi segment de sphère), c’est-à-dire d'une portion de sphère limitée par deux plans parallèles de distance h {\displaystyle h\,} l'un pouvant être tangent à la sphère. On trouve 2 π r h {\displaystyle 2\pi rh} : l'aire est la même que celle d'un cylindre circulaire de même hauteur tangent à la sphère (cylindre circonscrit). Ce résultat remarquable est démontré par Archimède dans son traité De la sphère et du cylindre. Selon Cicéron, Archimède aurait demandé que soient gravés sur son tombeau, en mémoire de ce résultat, une sphère et son cylindre circonscrit.

Le cylindre circonscrit à une sphère donnée a un volume égal à 3/2 fois le volume de la sphère.

La sphère a la plus petite aire parmi les surfaces renfermant un volume donné et renferme le volume le plus élevé parmi les surfaces d'une aire donnée. Elle est la réponse à la question d'isopérimétrie pour l'espace euclidien de dimension 3. Pour cette raison, la sphère apparaît dans la nature, par exemple les bulles et gouttes d'eau (en l'absence de gravité) sont des sphères car la tension superficielle essaie de minimiser l'aire.

Sphère circonscrite à un tétraèdre

Par quatre points non coplanaires A, B, C et D (ABCD est un tétraèdre non aplati), il passe une seule et unique sphère, appelée sa sphère circonscrite (en).

Les plans médiateurs des arêtes du tétraèdre se coupent au centre de la sphère.

Développement

On peut démontrer que la sphère est une surface non développable. Il n'existe pas de patron de la sphère. Néanmoins il est possible, en pratique, d'obtenir des surfaces développables approchant la sphère très fidèlement, c'est le cas de tous les ballons cousus. Voir : ballon de football (icosaèdre tronqué), ballon de volley-ball, et ballon fantaisie (en fuseaux de pôle à pôle.)

Notez que la pression interne gauchit les surfaces et fidélise l'approche… Plus on gonfle plus la sphère s'approche de la perfection.

Sphères euclidiennes de dimensions supérieures

On peut généraliser le concept de sphère à un espace de dimension entière quelconque. Pour tout entier naturel n, une n-sphère de rayon r est l'ensemble des points de l'espace euclidien à (n+1) dimensions qui sont à distance fixée r d'un point de cet espace (r est un réel strictement positif). Par exemple :

une 0-sphère est la paire des points extrémités de l'intervalle [−r, r] de la ligne réelle ;

une 1-sphère est un cercle de rayon r ;

une 2-sphère est une sphère ordinaire.

Les sphères de dimension n > 2 sont parfois appelées hypersphères. La n-sphère de rayon 1 est notée S.

L'aire d'une (n−1)-sphère de rayon r est

${\displaystyle 2{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}r^{n-1}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n-1}}{2\cdot 4\cdots (n-2)}},&{\text{si }}n{\text{ est pair ;}}\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1\cdot 3\cdots (n-2)}},&{\text{si }}n{\text{ est impair}},\end{cases}}}$

où Γ est la fonction gamma d'Euler

et le volume d'une n-boule de rayon r est égal au produit de cette aire par ${\displaystyle {r \over n}}$, donc à

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n}}{2\cdot 4\cdots n}},&{\text{si }}n{\text{ est pair ;}}\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n}}{1\cdot 3\cdots n}},&{\text{si }}n{\text{ est impair}}.\end{cases}}}$.

La sphère comme espace topologique

Selon le contexte, en particulier en topologie, le mot sphère (ou n-sphère si on veut rappeler la dimension) peut être utilisé pour désigner n'importe quel espace topologique homéomorphe à une n-sphère au sens défini dans la section précédente.

La caractéristique d'Euler d'une n-sphère vaut 2 si n est pair, et 0 si n est impair.

一个球面。

球面是在三维几何空间内理想的对称体。在数学上，这个项目是一个球体的表面或是边界；但是在非数学的使用上，这是三维空间中一个球或是只是他的表面。在物理学中，球（通常被简化与理想化）是能碰撞或堆积与占有空间的一个物体。

几何学

在三维空间、欧几里得、几何学，球面被设置为是在R空间中与一个定点距离为r的所有点的集合，此处r是一个正的实数，称为半径，固定的点称为球心或中心，并且不属于球面的范围。r = 1是球的特例，称为单位球。 方程序 在解析几何，球是中心在，半径是r的所有点(x, y, z)的集合： . 使用极座标来表示半径为r的球面： （可以参考三角函数和球座标） 对球心在座标原点任意半径的球面可以用微分方程表示为： 这个方程序显示在球面上移动的任何一个点的位置和速度矢量彼此都是正交（互相垂直）的。 半径为r的球面表面积为： 其所包围（封闭）的体积为： 球面的面积是包围一定体积的表面中最小的，同样的，以一定面积表面能包围住的体积以球面为最大。也就是这个原因，在自然界中出现的气泡或小水滴的形状都接近球形，因为表面张力会使局部的表面积趋向最小。 球面的外置圆柱体体积是球体体积的，面积也是球面的。