La théorie des bifurcations, en mathématiques et en physique est l'étude de certains aspects des systèmes dynamiques. Une bifurcation intervient lorsqu'un petit changement d'un paramètre physique produit un changement majeur dans l'organisation du système.

Cas concrets

Des exemples classiques d'une bifurcation en sciences pures sont par exemple les rythmes circadiens de populations animales en biologie théorique et les solutions de météo en mathématique et physique non-linéaire, en sciences de l'ingénieur il y a aussi le flambage d'une poutre élastique (l'expérience peut être faite avec une règle d'écolier) ou les transitions de phase de matériaux (température critique de bifurcation, concentration critique).

Cas de la poutre: si on compresse la poutre légèrement, elle va rester droite. Tout à coup, au delà d'une limite bien définie, la poutre va se plier de plus en plus lorsqu'on augmente la force exercée. Il y a donc bifurcation, ou brisure de symétrie, où l'on passe de l'état "poutre droite" à l'état "poutre courbée", soit dans un sens, soit dans l'autre, avec une certaine probabilité (d'où l'idée de bifurcation). Avant la bifurcation, l'état "poutre droite" était stable, après la bifurcation, il devient instable.

Un exemple en magnétisme est la température de Curie pour une transition de phase: au delà de cette température, un matériau perd son aimantation spontanée.

Définition

Soit un système d'équations différentielles :

est ici le paramètre contrôlant la bifurcation (la force exercée dans l'exemple précédent). On dit qu'il y a bifurcation en si, en une valeur de arbitrairement proche de , il existe une dynamique topologiquement non-équivalente à celle en .

Types de bifurcation

La théorie des bifurcations consiste à classer les différents types de bifurcation en classes. Chaque classe correspond à une certaine symétrie dans le problème. Parmi les différents types de bifurcations, on trouve :

Les bifurcations « de fourche » (en anglais: « pitchfork »). Un équilibre stable se déstabilise en un équilibre instable, et deux équilibres stables sont créés. Cette transition peut se faire de façon supercritique (de façon continue et prévisible) ou sous-critique (discontinue, avec des phénomènes d'hystérèse)

Les bifurcations col-nœud (en anglais: « saddle-node »). Deux points d'équilibres existent (un stable et un instable) avant la bifurcation. Après la bifurcation, plus aucun équilibre n'existe.

Les bifurcations de Hopf. Ce sont des bifurcations oscillantes, comme l'attracteur de Lorenz.

Les bifurcations de dédoublement de période. Ce sont des bifurcations qui mènent à des comportements chaotiques. Elles peuvent par exemple s'obtenir en faisant rebondir une balle de ping-pong sur une surface oscillante, et en augmentant la fréquence d'oscillation.

Chacune de ces bifurcations est caractérisée par une forme normale, qui est l'équation générale typique de ce type de bifurcation. Par exemple, la forme normale d'une bifurcation pitchfork supercritique est :

Bifurcation supercritique, les lignes pleines représentent des équilibres stables, les lignes en pointillés les équilibres instables.

Pour des valeurs négatives de r, x=0 est la seule solution. Pour r>0, il y a deux solutions stables .

鞍结分岔的相图

分岔理论或分歧理论（bifurcation theory）是数学中研究一群曲线在本质或是拓扑结构上的改变。一群曲线可能是矢量场内的积分曲线，也可能是一群类似微分方程的解。

分岔（bifurcation）常出现在动态系统的数学研究中，是指系统参数（分岔参数）小而连续的变化，结果造成系统本质或是拓扑结构的突然改变。分岔会出现在连续系统（以常微分方程、时滞微分方程或偏微分方程来描述）或是离散系统中 （以映射来描述）。

bifurcation一词最早是由儒勒·昂利·庞加莱在1885年的论文中提出，这也是第一篇提到类似特性的数学论文，庞加莱后来也为许多不同的驻点命名而且分类。

分岔类型

局部分岔（Local bifurcations）是指分岔特性可以用局部稳定性完全分析的分岔，一般会用参数通过临界值时，平衡点、周期性轨迹或其他固定点的局部稳定性。

全域分岔（Global bifurcations）是指分岔特性无法用局部稳定性完全分析的分岔，一般是指较大的不变集彼此重叠，或是和系统的平衡点重叠，这无法只靠平衡点的稳定性分析来求得。

鞍结分岔（fold分岔）

跨临界分岔

叉式分岔

周期加倍分岔（flip分岔）

霍普夫分岔

Neimark–Sacker分岔（二次霍普夫分岔）

同宿分岔是指极限环和一个鞍点重叠。

异宿分岔是指极限环和二个或多个鞍点重叠。

无限周期分岔是指在极限环上有稳定节点和鞍点同时出现。

蓝天突变是指极限环和一个nonhyperbolic cycle重叠。

分岔的余维数

分岔的余维数是指动态系统中需变动几个参数，才会使分岔现象出现。鞍结分岔及霍普夫分岔是常见的局部分岔中，实际余维数为1的二个分岔（其他分岔的余维数都大于1）。不过跨临界分岔及叉式分岔的正规式可以写成只有一个参数的形式，因此也可以视为余维数为1的分岔。 Bogdanov-Takens 分岔是一个有较多研究，余维数为2分岔的一个例子。

在半经典力学及量子力学上的应用

分岔理论已用在链接量子系统及经典力学系统的动态中，可以用在原子系统、分子系统及谐振隧穿二极管。分岔理论已用到雷射动力学的研究中，也用在许多在实验上难以处理的理论例子中，例如kicked top及耦合量子阱。将量子系统及古典力**动方程中分岔相链接的主要原因是在分岔时，古典力学轨道的signature会变大，正如Martin Gutzwiller在有关量子混沌中的研究所提出的一样。许多分岔都研究来链接古典力学和量子力学，像是鞍结分岔、霍普夫分岔、umbilic分岔、周期加倍分岔、重新连接分叉（reconnection bifurcation）、切线分叉（tangent bifurcation）及尖分叉（cusp bifurcation）。