En mathématiques, le résultant est une notion qui s'applique à deux polynômes. Elle est utilisée en théorie de Galois, en théorie algébrique des nombres, en géométrie algébrique et dans bien d'autres domaines utilisant les polynômes. Le résultant de deux polynômes est un scalaire qui s'annule si les deux polynômes ont un facteur commun. Il peut être calculé à partir des coefficients des polynômes à l'aide d'un déterminant. On peut aussi l'obtenir à partir des racines des polynômes si ceux-ci sont scindés.

Définition et expression

Définition

Soient A un anneau intègre, P et Q deux polynômes de degrés respectifs n et m à coefficients dans A. Les coefficients des polynômes sont notés ai et bj, afin d'avoir les égalités :

Le résultant des deux polynômes P et Q est le déterminant de leur matrice de Sylvester. Il est noté dans cet article R(P, Q).

Expression

Avec les notations ci-dessus, le résultant est le déterminant de la matrice suivante :

La représentation choisie ici diffère de l'article détaillé. Elle évite une transposition pour exprimer les propriétés du résultant. Comme la transposition ne modifie pas le déterminant, les deux conventions peuvent être choisies.

Propriétés

Expressions à l'aide du déterminant

La matrice M ci-dessus est de taille n + m, avec les m premières colonnes linéaires en le polynôme P, et les n suivantes en le polynôme Q :

Le résultant vérifie les formules :

La modification de l'ordre des colonnes modifie le signe du déterminant en fonction de sa signature :

Le résultant vérifie la formule :

L'endomorphisme φ de l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n + m – 1 et de matrice M peut être vu comme une application de l'identité de Bézout. Si U (resp. V) est un polynôme de degré m – 1 (resp. n – 1) :

Si P et Q ne sont pas premiers entre eux, ils ont un facteur commun C. Dès lors, P (resp. Q) est un multiple de C, donc un produit de la forme CP₁ (resp. CQ₁). L'égalité suivante :

montre qu'alors, φ n'est pas injectif et le résultant est nul. Réciproquement, une considération sur les degrés de P et Q montre que si P et Q sont premiers entre eux, l'endomorphisme est injectif donc de déterminant non nul :

Le résultant est non nul si et seulement si les deux polynômes P et Q sont premiers entre eux.

Expressions à l'aide des racines

La lettre F désigne le corps des fractions de A et K une extension de F contenant toutes les racines des deux polynômes, notées αi pour P et βj pour Q.

Quitte à travailler dans K et non plus dans A, les deux polynômes sont scindés, c'est-à-dire qu'ils se décomposent en produit de polynômes du premier degré et ils admettent chacun autant de racines que leur degré. L'usage de l'extension K offre une nouvelle expression du résultant.

Le résultant des polynômes P et Q s'exprime de la manière suivante :

Cette formule montre par exemple que translater les deux polynômes ne change pas leur résultant :

Si l'on ajoute à P un multiple de Q, seul le coefficient du second membre est susceptible d'être modifié.

En suivant un algorithme analogue à celui d'Euclide, on obtient un procédé de calcul de résultant en temps quadratique (soit plus efficace que le procédé trivial du calcul d'un déterminant).

Démonstration Supposons dans un premier temps que les deux polynômes soient unitaires, c'est-à-dire que an et bm soient égaux à 1. Chaque coefficient de P (resp. Q) s'exprime comme le produit d'un polynôme symétrique en les racines de P (resp. de Q). Si le p-ième polynôme symétrique d'ordre q est noté σpq : Le résultant peut être vu comme un polynôme en les différentes racines de P et Q : il existe un polynôme Rr en n + m variables, tel que : L'anneau des polynômes à coefficients dans K et à m + n indéterminées est factoriel ; le polynôme Rr possède comme facteur βj – αi ; il existe un polynôme λ(X1, ..., Xn+m) tel que : Une considération de degré montre que le polynôme λ(X1, ..., Xn+m) est constant. En choisissant par exemple P = X et Q = X, on trouve que la constante λ est égale à 1. Pour traiter le cas où les polynômes ne sont pas unitaires, la première proposition du paragraphe précédent permet de conclure.

Applications

Si x et y sont deux nombres algébriques tels que P(x) = Q(y) = 0 et si z = x + y, on vérifie aisément que le résultant des deux polynômes (en X) P(X) et Q(z – X) est nul, ce qui prouve que z est aussi algébrique. De même si t = xy, en considérant le résultant de P(X) et XQ(t/X), on montrerait également que t est algébrique, et en définitive que les nombres algébriques forment un corps (la même technique permet de montrer que, plus précisément, les entiers algébriques forment un anneau). Une application un peu plus élaborée de la même idée permet d'ailleurs de montrer que ce corps est algébriquement clos.

Une application naturelle du résultant est le discriminant. Cette notion correspond au résultant d'un polynôme et de sa dérivée. Par delà l'intérêt de la résolution d'une équation polynômiale de degré deux, le discriminant permet de déterminer si un polynôme admet des racines multiples ou non. Cette propriété est importante en théorie de Galois car la théorie est différente si une extension n'est pas séparable. En théorie algébrique des nombres, le mot "discriminant" désigne une autre notion : une propriété associée à un anneau de Dedekind et intimement liée à celle de norme arithmétique ; notons que ce discriminant peut également se calculer à l'aide d'un résultant.

Le résultant est un outil permettant de déterminer l'intersection de deux courbes algébriques (c'est le théorème de Bézout) ou la multiplicité d'un point sur une hypersurface. Si, par exemple, on a une courbe paramétrée (x(t) = A(t)/B(t), y(t) = C(t)/D(t)), où A, B, C et D sont des polynômes tels que l'une au moins des fractions A/B, C/D est irréductible, alors les points de la courbe vérifient R(x, y) = 0, où R est un polynôme non nul qui est le résultant des deux polynômes (en t) xB – A et yD – C. Plus généralement, dans un système d'équations algébriques à plusieurs inconnues, on élimine une des inconnues entre deux équations — de la forme P(x1, x2, … , xn) = 0 — en prenant le résultant de ces deux équations, considérées comme des polynômes en l'inconnue qu'on veut éliminer.

En théorie de l'information, le résultant est utilisé en arithmétique modulaire pour calculer des diviseurs communs à deux polynômes, en général sur un corps fini.

结式是数学中一个常用的不变量。考虑域 上两个多项式 ，设其首项系数分别为 ，则其结式定义为

其中 为 的给定代数闭包。由此定义的结式是 的元素，而与代数闭包的选取无关。

计算方式

结式亦可理解为西尔维斯特矩阵的行列式。

为简单起见，假设 首项系数为一；若 是可分多项式（换言之：无重根），则定义可改写为

承上，可透过辗转相除法求得结式。

性质

若 且，那幺。在论及计算方式时已利用此性质。

若 同次，，则有

，其中 。

应用

一多项式 与其导数 的结式可由判别式 表示：设 的首项系数为 ，则

在代数几何中，可用结式计算两条平面代数曲线之交。

在域论中，结式可用来计算范数。