Raisonnement mathématique sur un tableau.

Les mathématiques sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à des objets divers tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques sont aussi le domaine de recherche développant ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.

Elles possèdent plusieurs branches telles que : l'arithmétique, l'algèbre, l'analyse, la géométrie, la logique mathématique, etc. Il existe également une certaine séparation entre les mathématiques pures et les mathématiques appliquées.

Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel car l'observation et l'expérience ne s'y portent pas sur des objets physiques. Elles sont de nature entièrement intellectuelle, fondées sur des axiomes déclarés vrais ou sur des postulats provisoirement admis. Ces axiomes en constituent les fondements et ne dépendent donc d'aucune autre proposition. Un énoncé mathématique – dénommé généralement, après être validé, théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logico-déductif. Un énoncé présenté comme plausible, mais qui n'a pas encore été établi comme vrai (« démontré », en langage utilisé par les mathématiciens), s'appelle une conjecture.

Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles, ils trouvent cependant des applications dans les autres sciences et dans différents domaines de la technique. C'est ainsi qu'Eugene Wigner parle de « la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature ».

Étymologie

Le mot « mathématique » vient du grec, par l'intermédiaire du latin. Le mot μάθημα (máthēma) signifie « science, connaissance » puis « mathématiques » ; il a donné naissance à l'adjectif μαθηματικός (mathematikos), d'abord « relatif au savoir » puis « qui concerne les sciences mathématiques ». Cet adjectif a été adopté en latin (mathematicus) et dans les langues romanes par la suite (« mathématique » en français, matematica en italien, etc.), ainsi que dans de nombreuses autres langues.

La forme neutre de l'adjectif μαθηματικός a été substantivée en τα μαθηματικά (ta mathēmatiká) pour désigner les sciences mathématiques dans leur ensemble. Cette forme plurielle, utilisée par Aristote, explique l'usage du pluriel pour le substantif en latin chez Cicéron (mathematica) puis en français et dans certaines autres langues européennes. Le singulier (« la mathématique ») est parfois employé en français, mais « le mot donne alors au contexte une teinte d'archaïsme ou de didactisme ». Toutefois, certains auteurs, à la suite de Nicolas Bourbaki, insistent sur l'utilisation du singulier, pour montrer l'uniformisation apportée par l'approche axiomatique contemporaine : Jean Dieudonné semble être le premier à avoir lancé ce mot d'ordre : « La Mathématique est une » ; le vaste traité de Bourbaki s'intitule Éléments de mathématique, tandis que, par contraste, le fascicule historique qui l'accompagne a pour titre Éléments d'histoire des mathématiques.

Dans l'argot scolaire, le terme « mathématiques » est fréquemment apocopé en « maths ».

Histoire

Euclide.

Il est probable que l'homme ait développé des compétences mathématiques avant l'apparition de l'écriture. Les premiers objets reconnus attestant de compétences calculatoires sont les bâtons de comptage, tels que l'os d'Ishango (en Afrique) datant de 20 000 ans avant notre ère. Le développement des mathématiques en tant que connaissance transmise dans les premières civilisations est lié à leurs applications concrètes : le commerce, la gestion des récoltes, la mesure des surfaces, la prédiction des événements astronomiques, et parfois l'exécution de rituels religieux.

Les premiers développements mathématiques concernaient l'extraction des racines carrées, des racines cubiques, la résolution d'équations polynomiales, la trigonométrie, le calcul fractionnaire, l'arithmétique des entiers naturels… Ils s'effectuèrent dans les civilisations akkadiennes, babyloniennes, égyptiennes, chinoises ou encore de la vallée de l'Indus.

Dans la civilisation grecque, les mathématiques, influencées par les travaux antérieurs et les spéculations philosophiques, recherchent davantage d'abstraction. Les notions de démonstration et de définition axiomatique sont précisées. Deux branches se distinguent, l'arithmétique et la géométrie. Au III siècle av. J.-C., les Éléments d'Euclide résument et ordonnent les connaissances mathématiques de la Grèce.

Une page du traité de Al-Khwarismi.

Les chinoises et indiennes (Civilisation de l'Indus) sont parvenues en occident par la civilisation islamique à travers la conservation de l'héritage grec et l'interfécondation avec les découvertes, notamment en matière de représentation des nombres. Les travaux mathématiques sont considérablement développés tant en trigonométrie (introduction des fonctions trigonométriques) qu'en arithmétique. L'analyse combinatoire, l'analyse numérique et l'algèbre polynomiale sont inventées et développées.

Durant la « renaissance du XII siècle », une partie des textes grecs et arabes sont étudiés et traduits en latin. La recherche mathématique se concentre en Europe. Au XVI siècle se développe - avec notamment Pierre de La Ramée - l'idée qu'il existe une science universelle (mathesis universalis) sur laquelle il est possible de fonder l'ensemble des connaissances. Descartes voit dès 1629, dans les Règles pour la direction de l'esprit, les possibilités qu'offrent les mathématiques pour jouer ce rôle. Descartes souligne, dans le Discours de la méthode, l'attrait des mathématiques, « à cause de la certitude et de l'évidence de leurs raisons ». Le calcul algébrique se développe alors à la suite des travaux de Viète et de Descartes. Newton et Leibniz, indépendamment, inventent le calcul infinitésimal.

Au XVII siècle, Galilée se rend compte que les mathématiques sont l'outil idéal pour décrire le monde physique, ce qu'on peut résumer en disant que les lois de la Nature sont écrites en langage mathématique. Les mathématiques constituent donc, avec la démarche expérimentale, l'un des deux piliers du développement de la Science moderne.

David Hilbert, mathématicien allemand.

Au cours du XVIII siècle et du XIX siècle, les mathématiques connaissent de forts développements avec l'étude systématique des structures, à commencer par les groupes issus des travaux de Galois sur les équations polynomiales, et les anneaux introduits par Dedekind.

Le XIX siècle voit avec Cantor et Hilbert le développement d'une théorie axiomatique sur tous les objets étudiés, soit la recherche des fondements mathématiques. Ce développement de l'axiomatique conduira plusieurs mathématiciens du XX siècle à chercher à définir toutes les mathématiques à l'aide d'un langage, la logique mathématique.

Le XX siècle a connu un fort développement en mathématiques avec une spécialisation des domaines, et la naissance ou le développement de nombreuses nouvelles branches (théorie de la mesure, théorie spectrale, topologie algébrique et géométrie algébrique, par exemple). L'informatique a eu un impact sur la recherche. D'une part, elle a facilité la communication et le partage des connaissances, d'autre part, elle a fourni un formidable outil pour la confrontation aux exemples. Ce mouvement a naturellement conduit à la modélisation et à la numérisation.

Domaines

Un découpage des mathématiques en deux, trois ou quatre domaines différents est couramment utilisé : algèbre et analyse, ou bien algèbre, analyse et géométrie, ou bien algèbre, analyse, géométrie et probabilités. De tels découpages ne sont pas évidents et les frontières les séparant sont toujours mal définies. En effet, de nombreux résultats font appel à des compétences mathématiques variées. Le théorème de Wiles, établi en 1994, en est un exemple. Bien que l'énoncé en soit formulé de manière dite arithmétique, la preuve nécessite de profondes compétences en analyse et en géométrie.

Domaines fondamentaux

L'algèbre est l'ensemble des méthodes mathématiques visant à étudier et développer les structures algébriques et à comprendre les relations qu'elles entretiennent entre elles. L'algèbre, au sens actuel, trouve historiquement ses origines dans la compréhension des équations polynomiales et dans les développements des méthodes de résolution : les recherches dans ces domaines ont suscité l'émergence des notions qui fondent la théorie des groupes, de la théorie de Galois ou encore de la géométrie algébrique.

En un sens très restrictif, l'analyse est la partie des mathématiques s'intéressant aux questions de régularité des applications d'une variable réelle ou complexe : on parle alors plus volontiers d'analyse réelle ou d'analyse complexe. En un sens élargi, elle englobe toutes les méthodes mathématiques qui s'y apparentent, et un certain nombre de méthodes pour comprendre et analyser les espaces de fonctions.

La géométrie tente de comprendre en premier lieu les objets dans l'espace, puis par extension s'intéresse aux propriétés d'objets plus abstraits, à plusieurs dimensions, introduits selon plusieurs approches, relevant autant de l'analyse que de l'algèbre.

Les probabilités tentent de formaliser tout ce qui relève de l'aléatoire. Bien qu'anciennes, elles ont connu un renouveau avec la théorie de la mesure. La compréhension des lois aléatoires rendant compte au mieux des données déjà réalisées forme les statistiques.

Exemples de domaines transversaux

Charles Gustave Jacob Jacobi, connu pour ses développements en théorie analytique des nombres, entre analyse complexe et arithmétique.

De nombreux domaines de recherche se situent transversalement par rapport au découpage donné ci-dessus :

Les mathématiques discrètes (associées à l'essor de l'informatique) sont l'exemple le plus typique de découpage transversal car elles dressent un clivage dans presque toutes les branches des mathématiques (groupes finis, probabilités discrètes, géométrie discrète, optimisation linéaire en nombres entiers, nouvelles branches de l'algèbre : monoïdes, dioïdes…)

La théorie des nombres (qui généralise l'arithmétique élémentaire) utilise tout autant des méthodes analytiques que des méthodes algébriques avancées, pour résoudre des problèmes qui peuvent souvent être énoncés de façon élémentaire.

La topologie algébrique tend à associer à des objets géométriques de natures diverses des invariants de nature algébrique. Elle se situe donc à la frontière de la géométrie différentielle et de la géométrie algébrique. Toutefois, pour des objets géométriques présentant une certaine structure analytique, ces invariants algébriques peuvent parfois se définir ou se comprendre en faisant uniquement appel à des outils essentiellement d'analyse. La majeure partie de la recherche actuelle en topologie algébrique tend à oublier la structure topologique et à réduire les questions à des problèmes essentiellement d'algèbre.

En un certain sens, les systèmes dynamiques se situent entre la géométrie, l'analyse et les probabilités. Ils tendent à comprendre de manière qualitative ce qui s'assimile à une loi d'évolution. Les objets étudiés relèvent de l'analyse (équations différentielles par exemple), des probabilités (itération d'une bijection mesurable), ou de la géométrie (espaces homogènes). Le traitement qui y est consacré fait l'objet d'interprétations essentiellement de nature géométrique, tout en utilisant des outils avancés d'analyse fonctionnelle, de théorie des processus, de géométrie différentielle, etc. Des résultats d'arithmétique peuvent aussi être obtenus par des considérations relevant des systèmes dynamiques.

La géométrie différentielle se situe à la frontière de la géométrie et de l'analyse, et ce à plusieurs égards. La définition de ces objets d'étude fait appel aux théorèmes de calcul différentiel, mais l'étude elle-même est grande consommatrice d'analyse. Des liens entre géométrie différentielle et probabilités existent aussi.

La géométrie algébrique est l'exemple d'un domaine en un sens strict à la rencontre de l'algèbre et de la géométrie. Elle trouve ses origines dans les travaux sur la résolution des équations cubiques. Le premier objet d'étude de la géométrie algébrique est la variété algébrique, lieu d'annulation d'équations polynomiales : il a une signification à la fois algébrique et géométrique. Ce domaine connut un fort développement au XIX siècle, avec notamment le théorème de Bézout. Les développements récents initiés par Grothendieck connaissent de nombreuses applications en théorie des nombres, ce qui constitue la géométrie arithmétique.

La théorie des opérateurs relève plutôt de l'analyse, ou encore de l'analyse fonctionnelle (par exemple, pour les problèmes de régularité des solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques, notamment le problème de Poisson). Mais cette théorie connaît de nombreuses applications en géométrie différentielle où le langage des opérateurs s'avère particulièrement adapté. Le développement de la théorie des opérateurs a fait appel à des méthodes de nature probabiliste, notamment pour ce qui s'appelle le calcul fonctionnel. Cette théorie trouve des extensions en géométrie non commutative. Les objets d'études se trouvent être des généralisations d'algèbres d'opérateurs.

Mathématiques appliquées et pures

Simulation numérique d'un crash d'une voiture. - L'analyse numérique : domaine applicatif des mathématiques.

On fait parfois la distinction entre mathématiques pures et mathématiques appliquées :

Les mathématiques pures ont pour objectif le développement des connaissances mathématiques pour elles-mêmes sans aucun intérêt a priori pour les applications, sans aucune motivation d'autres sciences. L'objet de la recherche mathématique peut ainsi être une meilleure compréhension d'une série d'exemples particuliers abstraits, sur lesquels s'appuie et se développe la réflexion mathématique, la généralisation d'un aspect d'une discipline ou la mise en évidence de liens entre diverses disciplines des mathématiques.

Au contraire, les mathématiques appliquées sont la mise en œuvre des connaissances mathématiques pour les besoins de formalisme d'autres sciences (physique, informatique, biologie, astrophysique…), et pour des applications industrielles (ingénierie par exemple). Elles tendent à développer ces outils mathématiques pour répondre à ces demandes, pour résoudre des problèmes posés en termes concrets.

En France, cette distinction structure souvent les équipes de recherche, sans forcément hypothéquer les possibilités d'interactions entre elles. Toutefois, la pertinence de cette distinction est remise en cause par un certain nombre de mathématiciens. L'évolution des domaines et de leurs objets d'étude peut également contribuer à déplacer une éventuelle frontière ou notion de séparation. Selon une boutade d'Ian Stewart, auteur de nombreux ouvrages portant sur les mathématiques populaires, dans son œuvre intitulée Mon cabinet des curiosités mathématiques, « La relation entre les mathématiciens purs et appliqués est fondée sur la confiance et la compréhension. Les mathématiciens purs ne font pas confiance aux mathématiciens appliqués, et les mathématiciens appliqués ne comprennent pas les mathématiciens purs. »

Les mathématiques appliquées, en un sens mal définies, comprennent entre autres l'analyse numérique, les statistiques appliquées et la théorie de l'optimisation mathématique. Certains domaines de recherche des mathématiques sont nés à la frontière avec d'autres sciences (voir ci-dessous).

Philosophie

Gauss, « le prince des mathématiciens ».

Les questions traditionnelles que se pose la philosophie au sujet des mathématiques peuvent se classer selon trois thèmes :

La nature des objets mathématiques : s'ils existent par eux-mêmes, ou bien s'ils sont des constructions mentales ? Quelle est la nature d'une démonstration ? Quels sont les liens entre la logique et les mathématiques ?

L'origine de la connaissance mathématique : d'où vient la vérité des mathématiques, et de quelle nature est-elle ? Quelles sont les conditions pour que des mathématiques existent, et leur lien avec l'homme ? Quels sont les impacts de la structure de la pensée humaine sur la forme et le développement des mathématiques actuelles ? Les limites qu'elle induit ?

La relation des mathématiques avec la réalité : quelle relation les mathématiques abstraites entretiennent-elles avec le monde réel ? Quels sont les liens avec les autres sciences ?

Les mathématiques sont parfois surnommées « reine des sciences ». Cependant, l'expression remonte à Carl Friedrich Gauss : Regina Scientiarum et le mot scientiarium signifie en réalité « des connaissances ».

Fondements

Aristote : le fondateur de la logique formelle (peinture par Raphaël).

Censément, les mathématiques utilisent la logique comme outil pour démontrer des vérités organisées en théories. Une première analyse laisse espérer qu'une utilisation puissante de cet outil tellement sûr, une réduction toujours plus poussée des bases, les axiomes, sur lesquelles s'échafaude l'édifice mathématique, finissent par mener à un corpus de faits incontestables. Plusieurs obstacles se dressent pourtant.

D'une part, en tant qu'activité humaine, les mathématiques s'éloignent du modèle d'une construction suivant scrupuleusement les lois de la logique et indépendante du réel. Citons un fait et un phénomène pour illustrer cela. Tout d'abord, les démonstrations que rédigent les mathématiciens ne sont pas formalisées au point de suivre en détail les lois de la logique, car cela est impossible en un temps raisonnablement court. Comme pour n'importe quelle science. l'acceptation de la véracité d'une démonstration, et donc d'un théorème, repose in fine sur un consensus de spécialistes au sujet de la validité de l'approximation de démonstration formelle proposée (La structure des révolutions scientifiques de Thomas Samuel Kuhn). L'avènement de l'informatique a cependant changé la donne, au moins marginalement, puisque celle-ci permet de formaliser et de vérifier des démonstrations de plus en plus complexes.

Augustin Louis Cauchy.

Cependant l'activité mathématique est loin de se réduire à la recherche de démonstrations et à la vérification de celles-ci. La confiance que la communauté mathématique place dans un de ses membres qui propose un résultat nouveau intervient dans la réception qu'aura ce résultat, et ce d'autant plus s'il est inattendu ou modifie la façon de voir les choses. On peut prendre pour exemple historique les controverses sur les géométries non euclidiennes au XIX siècle, durant lequel les travaux de Lobatchevski ont été largement ignorés ; ou bien, dans un autre ordre d'idée, la difficulté de la réception des travaux du jeune républicain Galois au début du même siècle, notamment par Cauchy. La sociologie des mathématiques étudie de tels phénomènes (voir sociologie des sciences).

D'autre part, la solidité même des bases ne peut reposer sur les seules mathématiques. En effet les théorèmes d'incomplétude, démontrés par Kurt Gödel dans la première moitié du XX siècle, montrent que, contrairement à ce qu'espérait David Hilbert, il est impossible de réduire formellement les bases des mathématiques en un système dont la sûreté se démontre à partir de celles-ci, et cela entraîne que certaines propriétés considérées « vraies » resteront inaccessibles à la démonstration, quels que soient les axiomes choisis.

Enseignement

L'enseignement des mathématiques peut aussi bien désigner l'apprentissage des notions mathématiques fondamentales ou élémentaires de base que l'apprentissage et l'initiation à la recherche (enseignement supérieur des mathématiques). Suivant les époques et les lieux, les choix des matières enseignées et les méthodes d'enseignement changent (mathématiques modernes, méthode de Moore, éducation classique…). Dans certains pays, le choix des programmes scolaires dans l'éducation publique est fait par des institutions officielles.

Cédric Villani, dans une conférence TED, rappelle une difficulté importante et que l'enseignement des mathématiques ne résoudra pas à lui seul : le processus d'une découverte mathématique ne relève pas lui-même des mathématiques. George Pólya indiqua en revanche vers le milieu du 20ème siècle quelques techniques permettant de résoudre des problèmes existants, dans son livre Comment poser et résoudre un problème ("How to solve it").

Vers la même époque quelques ouvrages proposaient d'acquérir les mécanismes de résolution par une multitude d'exercices proposés avec leur correction détaillée en regard. En France et pour les mathématiques, il y eut dans le secondaire les ouvrages de Pierre Louquet. Dans le monde anglophone et concernant un grand nombre de disciplines la série des Schaum's Outlines.

Pratique

Activité de recherche

La recherche mathématique ne se limite pas qu'à la démonstration des théorèmes. L'une des méthodes les plus fructueuses de recherche mathématique est la mise en rapprochement de domaines a priori éloignés en mettant en lumière des phénomènes analogues (par exemple, la géométrie euclidienne et les équations différentielles linéaires). Voir des phénomènes analogues se produire peut conduire à vouloir adapter des résultats d'un domaine des mathématiques à un autre, à reformuler des éléments de démonstration en termes équivalents, à tenter une axiomatisation d'un objet (par exemple, ce pourrait être la notion d'espace vectoriel) qui regrouperait les deux domaines… Dans ce dernier cas, ce nouvel objet deviendrait alors un objet d'étude par lui-même. Dans certains cas, l'identification d'objets a priori différents devient nécessaire : le langage des catégories permet de faire ce genre de choses.

Une autre méthode de recherche est la confrontation aux exemples et aux cas particuliers. Cette confrontation peut permettre de réfuter des propriétés qu'on pensait ou espérait être vraies (conjectures). Au contraire, elle peut permettre de vérifier des propriétés ou d'amener à les formaliser. Par exemple, en géométrie riemannienne, l'étude des surfaces (donc des objets en dimension 2) et de leurs géodésiques a finalement conduit Anosov à formaliser le difféomorphisme d'Anosov, une transformation possédant d'intéressantes propriétés dynamiques.

Langage

Les mathématiques utilisent un langage qui leur est propre. Certains termes du langage courant, comme groupe, anneau, corps ou variété peuvent être empruntés et redéfinis pour désigner des objets mathématiques. Mais souvent des termes sont formés et introduits selon les besoins : isomorphisme, topologie, itération… Le nombre élevé de ces termes rend difficile la compréhension des mathématiques par les non mathématiciens.

Le langage mathématique s'appuie aussi sur l'usage de formules. Elles comportent des symboles, les uns en rapport avec le calcul propositionnel comme le connecteur binaire d'implication ou le connecteur unaire de négation , d'autres en rapport avec le calcul des prédicats, comme le quantificateur universel ou le quantificateur existentiel . La plupart des notations utilisées au XXI siècle ont été introduites après le XVII siècle seulement.

Il existe un langage mathématique qui décrit les mathématiques. En ce sens, on dit qu'il s'agit d'un métalangage : il s'agit de la logique mathématique.

Rapport avec les autres sciences

Les mathématiques entretiennent des rapports particuliers avec toutes les sciences, au sens large du terme. L'analyse de données (interprétation graphique, données statistiques…) fait appel à des compétences mathématiques variées. Mais des outils avancés de mathématiques interviennent dans les modélisations.

Toutes les sciences dites dures, à l'exception des mathématiques, tendent à une compréhension du monde réel. Cette compréhension passe par la mise en place d'un modèle, prenant en compte un certain nombre de paramètres considérés comme causes d'un phénomène. Ce modèle constitue un objet mathématique, dont l'étude permet une meilleure compréhension du phénomène étudié, éventuellement une prédiction qualitative ou quantitative quant à son évolution future.

La modélisation fait appel à des compétences relevant essentiellement de l'analyse et des probabilités, mais les méthodes algébriques ou géométriques s'avèrent utiles.

Physique

Les mathématiques sont nées d'une volonté de compréhension de l'espace ambiant : la géométrie naît de la modélisation de formes idéalisées, et l'arithmétique des besoins des gestions des quantités. Astronomie et géométrie se sont longtemps confondues, jusque dans les civilisations islamiques. Les mathématiques et la physique, après s'être différenciées, ont gardé d'étroits liens. Dans l'histoire contemporaine de ces deux sciences, les mathématiques et la physique se sont influencées mutuellement. La physique moderne use abondamment des mathématiques, en faisant une modélisation systématique pour comprendre les résultats de ses expériences :

Schéma de pendule.

Cette modélisation peut faire appel à des outils mathématiques déjà développés. Ainsi l'usage des métriques en géométrie différentielle est un outil essentiel sur lequel repose notamment la relativité générale, développée par le mathématicien Minkowski puis par le physicien Einstein. Cet usage est aussi utilisé dans les autres théories post-newtoniennes.

Cette modélisation encourage les mathématiciens à s'intéresser davantage à telle ou telle structure mathématique pour les besoins de la physique.

Cette modélisation demande parfois au contraire des outils mathématiques non encore développés et ouvre des nouvelles perspectives mathématiques. Ainsi, Isaac Newton a-t-il développé le calcul différentiel pour pouvoir écrire les lois (classiques) du mouvement ; s'intéressant à la diffusion de la chaleur dans les corps, Joseph Fourier découvre les séries qui portent son nom, porte ouverte sur la théorie de Fourier ;… Plus récemment, citons les problèmes de quantification géométrique, d'intégrales de Feynman, de polynômes de Donaldson…

Un domaine de recherche spécifique, la physique mathématique, tend précisément à développer les méthodes mathématiques mises à l'usage de la physique.

Le lien étroit entre mathématiques et physique se reflète dans l'enseignement supérieur des mathématiques. L'enseignement de la physique fait appel à des cours de mathématiques pour physiciens ; et il n'est pas rare que les cursus de mathématiques dans les universités incluent une initiation facultative à la physique.

Néanmoins, Albert Einstein est un des premiers à relativiser le domaine des mathématiques en rappelant que la physique en utilise plusieurs formes, au gré de ses besoins, et non une seule. Sa Théorie de la relativité générale utilise par exemple une géométrie non euclidienne formalisée par Minkowski. Il énoncera : « En tant que se rapportant à la réalité, la géométrie euclidienne n'est pas exacte. En tant qu'exacte, elle ne se rapporte pas à la réalité » (conférence berlinoise de 1921, la géométrie et l'expérience).

Informatique

L'essor des techniques au XX siècle a ouvert la voie à une nouvelle science, l'informatique. Celle-ci est étroitement liée aux mathématiques, de diverses manières : certains pans de la recherche en informatique théorique peuvent être considérés comme d'essence mathématique, d'autres branches de l'informatique faisant plutôt usage des mathématiques. Les nouvelles technologies de communication ont quant à elles ouvert la voie aux applications à des branches des mathématiques parfois très anciennes (arithmétique), notamment en ce qui concerne les problèmes de sécurité des transmissions : cryptographie et théorie des codes.

En contrepartie, les sciences informatiques influencent l'évolution moderne des mathématiques.

Les mathématiques discrètes forment un domaine de recherche actuel des mathématiques visant à développer les méthodes utilisées en science informatique, incluant la théorie de la complexité, la théorie de l'information, la théorie des graphes… Parmi les problèmes ouverts, citons notamment le célèbre P=NP en théorie de la complexité, qui fait partie des sept problèmes du prix du millénaire. Celui qui arrivera à décider si P et NP sont différents ou égaux recevra un montant de 1 000 000 USD.

L'informatique est également devenu un outil essentiel à la découverte ou à la démonstration de certains théorèmes mathématiques. L'exemple le plus célèbre est celui du Théorème des quatre couleurs, démontré en 1976 à l'aide d'un ordinateur, car certains des calculs nécessaires sont trop complexes pour être réalisés à la main. Cette évolution bouleverse les mathématiques traditionnelles, où la règle était que le mathématicien puisse vérifier de lui-même chaque partie de la démonstration. En 1998, la Conjecture de Kepler semble avoir également été démontrée par ordinateur, et une équipe internationale travaille depuis sur la rédaction d'une preuve formelle.

En effet, si la preuve est rédigée de façon formelle, il devient alors possible de la vérifier à l'aide d'un logiciel particulier, appelé assistant de preuve. C'est la meilleure technique connue pour être (presque) certain qu'une démonstration assistée par ordinateur ne souffre d'aucun bug. En l'espace d'une trentaine d'années, le rapport entre les mathématiciens et l'informatique s'est donc complètement renversé : d'abord instrument suspect à éviter si possible dans l'activité mathématique, l'ordinateur est devenu au contraire un outil incontournable.

Biologie, chimie et géologie

La biologie est grande consommatrice de mathématiques et notamment de probabilités. La dynamique d'une population se modélise couramment par des chaînes de Markov (théorie des processus discrets) ou par des équations différentielles couplées. Il en va de même pour l'évolution des génotypes : le principe de Hardy-Weinberg, souvent évoquée en génétique, relève de propriétés générales sur les processus à temps discret (existence de lois limites). Plus généralement, la phylogéographie fait appel à des modélisations probabilistes. De plus, la médecine use de tests (statistiques) pour comprendre la validité de tel ou tel traitement. Un domaine spécifique de recherche à la frontière de la biologie est né : la biomathématique.

Depuis le début du XXI siècle, la chimie organique a fait appel à l'informatique pour pouvoir modéliser les molécules en trois dimensions : il s'avère que la forme d'une macromolécule en biologie est variable et détermine son action. Cette modélisation fait appel à la géométrie euclidienne ; les atomes forment une sorte de polyèdre dont les distances et les angles sont fixés par les lois d'interaction.

Les géologies structurales et climatologiques font appel à des modèles mêlant des méthodes probabilistes et analytiques, pour pouvoir prédire du risque de catastrophe naturelle. La complexité des modèles est telle qu'une branche de recherche est née à la frontière des mathématiques et de la géophysique, à savoir la géophysique mathématique. De même, la météorologie, l'océanographie et la planétologie sont grandes consommatrices de mathématiques car elles nécessitent des modélisations.

Sciences humaines

Son rapport avec les sciences humaines se fait essentiellement par les statistiques et les probabilités, mais aussi par des équations différentielles, stochastiques ou non, en économie et en finance (sociologie, psychologie, économie, finance, gestion, linguistique…).

La logique est depuis l'Antiquité l'une des trois grandes disciplines de la philosophie, avec l'éthique et la physique. Des philosophes comme Pythagore et Thales de Milet ont inventé les célèbres théorèmes géométriques portant leur nom. « Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre », était-il gravé sur le portail de l'Académie de Platon pour qui les mathématiques sont un intermédiaire pour accéder au monde des Idées.

Notamment, les mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées visant à la compréhension de l'évolution des marchés financiers et de l'estimation des risques. Cette branche des mathématiques se développe à la frontière des probabilités et de l'analyse et use des statistiques.

Beaucoup plus subtil est le cas de l'économie mathématique. Le postulat fondamental de cette discipline est que l'activité économique peut se comprendre à partir d'un axiome de nature anthropologique, celui de l'acteur individuel rationnel. Dans cette vision, chaque individu cherche par ses actions à accroître un certain profit, et ce de façon rationnelle. Cette sorte de vision atomiste de l'économie permet à celle-ci de mathématiser relativement aisément sa réflexion, puisque le calcul individuel se transpose en calcul mathématique. Cette modélisation mathématique en économie permet de percer à jour des mécanismes économiques qui n'auraient pu être découverts que très difficilement par une analyse « littéraire ». Par exemple, les explications des cycles économiques ne sont pas triviales. Sans modélisation mathématique, on peut difficilement aller au-delà du simple constat statistique ou des spéculations non prouvées. Toutefois, certains sociologues, comme Bourdieu, et même certains économistes, refusent ce postulat de l'homo œconomicus, en remarquant que les motivations des individus comprennent non seulement le don, mais dépendent également d'autres enjeux dont l'intérêt financier n'est qu'une partie, ou tout simplement ne sont pas rationnelles. La mathématisation est donc selon eux un habillage permettant une valorisation scientifique de la matière.

On assiste également au début du XX siècle, à une réflexion pour mettre les mouvements historiques en formule, comme le fait Nikolaï Kondratiev qui discerne un cycle de base pour expliquer les phases d'expansion et de crise en économie politique, ou Nicolas-Remi Brück et Charles Henri Lagrange qui, dès la fin du XIX siècle, ont amplifié leur analyse jusqu'à pénétrer dans le domaine de la géopolitique en voulant établir l'existence, dans l'histoire, de mouvements de vaste amplitudes qui mènent les peuples à leur apogée, puis à leur déclin

Cependant une mathématisation des sciences humaines n'est pas sans danger. Dans l'essai polémique Impostures intellectuelles, Sokal et Bricmont dénoncent la relation non fondée ou abusive d'une terminologie scientifique, en particulier mathématique et physique, dans le domaine des sciences humaines. L'étude de systèmes complexes (évolution du chômage, capital d'une entreprise, évolution démographique d'une population…) fait appel à des connaissances mathématiques élémentaires mais le choix des critères de comptage, notamment dans le cas du chômage, ou de la modélisation peut être sujet à polémique.

Rapport avec l'astrologie, l'ésotérisme

Les mathématiques ont entretenu pendant longtemps des liens très étroits avec l'astrologie. Celle-ci, par le biais de thèmes astraux, a servi de motivation dans l'étude de l'astronomie. Des mathématiciens de renom furent également considérés comme des grands astrologues. On peut citer Ptolémée, les astronomes de langue arabe, Regiomontanus, Cardan, Kepler, ou encore John Dee. Au Moyen Âge, l'astrologie est considérée comme une science se rangeant dans les mathématiques. Ainsi Theodor Zwingler signale dans sa grande encyclopédie, concernant l'astrologie, que c'est une science mathématique traitant du « mouvement actif des corps en tant qu'ils agissent sur d'autres corps » et réserve aux mathématiques le soin de « calculer avec probabilité les influences [des astres] » en prévoyant leur « conjonctions et oppositions ». Les théories astrologiques occidentales contemporaines se targuent de suivre des méthodes scientifiques. En particulier, l'astrologie statistique utilise les tests statistiques pour mettre en évidence d'éventuelles corrélations entre la position des astres et le devenir des hommes. Toutefois, ces études initiées par Choisnard et Gauquelin, menées à la marge de la recherche scientifique, n'ont, en date de 2009, pas été productives et n'ont réussi à donner aucune preuve recevable d'un lien de cause à effet.

Les mathématiques sont aussi une composante de l'ésotérisme. Très fréquemment, les mathématiciens eux-mêmes ont été tentés de trouver dans la figure ou le nombre un sens caché servant de clé dans la découverte du monde. Dans l'école pythagoricienne, chaque nombre a une signification symbolique et le serment des initiés se serait énoncé devant une tretraktys De même Platon ne se contente pas d'énumérer les solides qui portent son nom il attribue à chacun d'eux une nature (eau, terre, feu, air, univers). L'arithmosophie, la numérologie, la gématrie, l'arithmancie tentent, à travers des calculs sur les nombres, de trouver des significations cachées à des textes ou d'en extraire des propriétés prédictives. On retrouve cette fascination pour le nombre et la figure encore de nos jours où certains attribuent des vertus cachées à un pentacle ou un nombre d'or.

Au XXIe siècle, ces disciplines ne sont plus considérées comme des sciences.

Impact culturel

Expression artistique

Page couverture du Traité de l’harmonie réduite à ses principes naturels de Jean-Philippe Rameau.

Les notes qui sonnent bien ensemble à une oreille occidentale sont des sons dont les fréquences fondamentales de vibration sont dans des rapports simples. Par exemple, l'octave est un doublement de fréquence, la quinte une multiplication par 3/2.

Ce lien entre les fréquences et l'harmonie a été notamment détaillé dans le Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels de Jean-Philippe Rameau, compositeur baroque français et théoricien de la musique. Il repose en partie sur l'analyse des harmoniques (notées 2 à 15 dans la figure suivante) d'un son fondamental Do grave (noté 1), les premières harmoniques et leurs octaves sonnant bien entre elles.

Les harmoniques sur une portée.

Si la courbe tracée en rouge, qui suit les notes harmoniques, a une allure logarithmique, cela correspond au rapport entre deux phénomènes :

d'une part, la représentation de la hauteur d'un son par notre système auditif qui est proportionnelle au logarithme de la fréquence du son (une fréquence double correspond toujours à la même « distance sonore » appelée octave) ;

d'autre part, les fréquences harmoniques qui sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale.

Fractale possédant une symétrie d'échelle et une symétrie centrale.

Les Occidentaux associent une certaine beauté aux figures symétriques. Une symétrie d'une figure géométrique est, intuitivement, l'existence d'un motif de la figure qui se répète suivant une règle précise, tout en étant partiellement transformé. Mathématiquement, une symétrie est l'existence d'une action non triviale d'un groupe, très souvent par isométrie, c'est-à-dire qui préserve les distances sur la figure. En d'autres termes, l'intuition de la règle est mathématiquement réalisée par le fait que c'est un groupe qui agit sur la figure, et le sentiment qu'une règle régit la symétrie est précisément dû à la structure algébrique de ce groupe.

Par exemple, le groupe lié à la symétrie miroir est le groupe cyclique à deux éléments, ℤ/2ℤ. Un test de Rorschach est une figure invariante par cette symétrie, de même qu'un papillon et plus généralement le corps des animaux, du moins en surface. Lorsqu'on dessine la surface de la mer, l'ensemble des vagues possède une symétrie par translation : bouger notre regard de la longueur séparant deux crêtes de vagues ne change pas la vue que l'on a de la mer. Un autre cas de symétrie, cette fois non isométrique et presque toujours seulement approximative, est celui présenté par les fractales : un certain motif se répète à toutes les échelles de vision.

Vulgarisation

La vulgarisation mathématique a pour objectif de présenter les mathématiques en un langage dénué de termes techniques. Comme l'objet d'études des mathématiques n'est pas réel, elle use souvent d'un vocabulaire imagé, et de comparaisons ou analogies non rigoureuses, pour faire sentir l'idée des développements mathématiques. Parmi les ouvrages qui se fixent ce but, citons Oh, les maths de Yakov Perelman et Le livre qui rend fou de Raymond Smullyan. Toutefois, les mathématiques font rarement l'objet de vulgarisation dans des journaux écrits ou télévisés.

La revue Tangente, l'aventure mathématique est le principal magazine de vulgarisation mathématique édité en France.

La revue Images des mathématiques, soutenue par le Centre national de la recherche scientifique (CNRS), relève également le défi. Elle fait découvrir au plus grand nombre la recherche mathématique contemporaine et son environnement.

La revue Accromαth est soutenue par l'Institut des sciences mathématiques et le Centre de recherches mathématiques de Montréal. Elle s'adresse principalement aux élèves et enseignants d'école secondaire et de cégep et est distribuée gratuitement au Québec.

Littérature et filmographie

Si nombre de biographies portent sur les mathématiciens, les mathématiques sont un thème certes peu exploité dans la littérature ou la filmographie, mais présent.

Romans

Plusieurs livres de Denis Guedj, dont :

Le Théorème du Perroquet Zéro, ou les cinq vies d'Aémer

Le Théorème du Perroquet

Zéro, ou les cinq vies d'Aémer

Le Démon des maths de Hans Magnus Enzensberger

Mathématique du crime de Guillermo Martinez

Oncle Petros et la conjecture de Goldbach d'Apóstolos Doxiádis

Flatland, d'Edwin Abbott Abbott

La Formule préférée du professeur, de Yōko Ogawa

2 + 2 = 5

Le Planivers

Films

Will Hunting (1997)

Un homme d'exception, film de Ron Howard (2001)

Pi, film de Darren Aronofsky (1998)

Proof (2005)

Crimes à Oxford (2008)

C'est la tangente que je préfère, film de Charlotte Silvera (1998)

Las Vegas 21, film de Robert Luketic (2008)

L'Amour en équation, film de Fred Schepisi (1995)

Théâtre

Pièces de théâtre

La Preuve de David Auburn, 2000 (Proof, éd. Dramatist's Play Service, 2002)

One zéro show et Du point à la ligne de Denis Guedj (Paris, Seuil, 2001, (ISBN 9782020373791))

Spécialistes de théâtre de sciences

Le Théâtre scientifique de Louis Figuier, Fabienne Cardot, Romantisme, 1989

Théâtre et sciences, Le double fondateur, Jacques Baillon, L'Harmattan, 1998

La Recherche théâtrale dans un institut technologique et scientifique, Ouriel Zohar, dans Théâtre et Science, éd. P Lucile Garbagnati, F. Montaclair et D. Vingler, Presses du Centre Unesco de Besançon et du Théâtre de l'Université de Franche-Comté, Besançon, 1998.

Théâtre et matière, Les moteurs de représentation, Jacques Baillon, L'Harmattan, 2002

Le Théâtre de sciences, Michel Valmer, CNRS Éditions, 2006

Science on stage, from D Faustus to Copenhagen, Kirsten Sheperd-Barr, Princeton University Press, 2006.

Le Modèle scientifique dans le théâtre de Tom Stoppard, Liliane Campos, dans Epistémocritique, Revue d'études et de recherches sur la littérature et les savoirs, vol. II, 2008

L'île logique, théâtre et clowns sur la logique, les mathématiques et la physique théorique (CNRS, école Polytechnique), Cédric Aubouy. 2008.

Séries télévisées

Numb3rs, série de Nicolas Falacci et Cheryl Heuton.

Eureka, série télévisée créée par Andrew Cosby et Jaime Paglia.

Stargate Universe, série télévisée créée par Brad Wright et Robert C. Cooper.

Bibliographie

Jean-Pierre Kahane (ed.), L'enseignement des sciences mathématiques : Commission de réflexion sur l'enseignement des mathématiques[détail des éditions]

欧几里得，西元前三世纪的希腊数学家，现在被认为是几何之父，此画为拉斐尔的作品《雅典学院》。

数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。数学透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察而产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从选定的公理及定义中创建起严谨推导出的定理。

基础数学的知识与运用总是个人与团体生活中不可或缺的一环。对数学基本概念的完善，早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本便可观见，而在古希腊那里有更为严谨的处理。从那时开始，数学的发展便持续不断地小幅进展，至16世纪的文艺复兴时期，因为新的科学发现和数学革新两者的交互，致使数学的加速发展，直至今日。数学并成为许多国家及地区的教育范畴中的一部分。

今日，数学使用在不同的领域中，包括科学、工程、医学和经济学等。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展，例如物理学的实质性发展中创建的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。数学家也研究纯数学，就是数学本身的实质性内容，而不以任何实际应用为目标。虽然许多研究以纯数学开始，但其过程中也发现许多应用之处。

词源

西方语言中“数学”（希腊语：μαθηματικά）一词源自于古希腊语的μάθημα（máthēma），其有学习、学问、科学，以及另外还有个较狭义且技术性的意思－「数学研究」，即使在其语源内。其形容词μαθηματικός（mathēmatikós），意思为和学习有关的或用功的，亦会被用来指数学的。其在英语中表面上的复数形式，及在法语中的表面复数形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数mathematica，由西塞罗译自希腊文复数τα μαθηματικά（ta mathēmatiká），此一希腊语被亚里士多德拿来指「万物皆数」的概念。 「数学」一词大约产生于宋元时期。多指象数之学，但有时也含有今天上的数学意义，例如，秦九韶的《数学九章》（《永乐大典》记，即《数书九章》也被宋代周密所着的《癸辛杂识》记为《数学大略》）、《数学通轨》（明代柯尚迁着）、《数学钥》（清代杜知耕着）、《数学拾遗》（清代丁取忠撰）。直到1939年，经过中国数学名词审查委员会研究“算学”与“数学”两词的使用状况后，确认以“数学”表示今天意义上的数学含义。

历史

奇普，印加帝国时所使用的计数工具。 数学有着久远的历史。它被认为起源于人类早期的生产活动；中国古代的六艺之一就有「数」，数学一词在西方有希腊语词源μαθηματικός（mathematikós），意思是“学问的基础”，源于μάθημα（máthema，“科学，知识，学问”）。 史前的人类就已尝试用自然的法则来衡量物质的多少、时间的长短等抽象的数量关系，比如时间单位有日、季节和年等。算术（加减乘除）也自然而然地产生了。古代的石碑及泥版亦证实了当时已有几何的知识。 更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统，如符木或于印加帝国内用来保存数据的奇普。历史上曾有过许多不同的记数系统。 玛雅数字 在最初有历史记录的时候，数学内的主要原理是为了做税务和贸易等相关计算，为了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究。 到了16世纪，算术、初等代数以及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换，微积分的概念也在此时形成。随着数学转向形式化，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始发展。数学的重心从求解实际问题转变到对一般形式上的思考。 从古至今，数学便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，两者的发展都受惠于彼此。在历史上有着许多数学发现，并且直至今日都不断地有新的发现。据Mikhail B. Sevryuk于美国数学会通报2006年1月的期刊中所说，「存放于数学评论数据库中论文和书籍的数量自1940年（数学评论的创刊年份）现已超过了一百九十万份，而且每年还增加超过七万五千份。此一学海的绝大部份为新的数学定理及其证明。」

形成、纯数学与应用数学及美学

牛顿（1**3-1727），微积分的发明者之一。 每当有涉及数量、结构、空间及变化等方面的困难问题时，通常就需要用到数学工具去解决问题，而这往往也拓展了数学的研究范畴。一开始，数学的运用可见于贸易、土地测量及之后的天文学。今日，所有的科学都存在着值得数学家研究的问题，且数学本身亦给出了许多的问题。牛顿和莱布尼兹是微积分的发明者，费曼发明了费曼路径积分，这是推理及物理洞察二者的产物，而今日的弦理论亦引申出新的数学。一些数学只和生成它的领域有关，且用来解答此领域的更多问题。但一般被一领域生成的数学在其他许多领域内也十分有用，且可以成为一般的数学概念。即使是「最纯的」数学通常亦有实际的用途，此一非比寻常的事实，被1963年诺贝尔物理奖得主维格纳称为「数学在自然科学中不可想像的有效性」。 如同大多数的研究领域，科学知识的爆发导致了数学的专业化。主要的分歧为纯数学和应用数学。在应用数学内，又被分成两大领域，并且变成了它们自身的学科——统计学和计算机科学。 许多数学家谈论数学的优美，其内在的美学及美。「简单」和「一般化」即为美的一种。另外亦包括巧妙的证明，如欧几里得对存在无限多质数的证明；又或者是加快计算的数值方法，如快速傅里叶变换。高德菲·哈罗德·哈代在《一个数学家的自白》一书中表明他相信单单是美学上的意义，就已经足够作为纯数学研究的正当理由。

符号、语言与精确性

在现代的符号中，简单的表达式可能描绘出复杂的概念。此一图像即产生自x=cos ( y arccos sin〡x〡 + x arcsin cos〡y〡) 我们现今所使用的大部分数学符号在16世纪后才被发明出来的。在此之前，数学以文本的形式书写出来，这种形式会限制了数学的发展。现今的符号使得数学对于专家而言更容易掌握，但初学者却常对此感到怯步。它被极度的压缩：少量的符号包含着大量的消息。如同音乐符号一般，现今的数学符号有明确的语法，并且有效地对消息作编码，这是其他书写方式难以做到的。符号化和形式化使得数学迅速发展，并帮助各个科学领域创建基础支撑理论。 数学语言亦对初学者而言感到困难。如“或”和“只”这些字有着比日常用语更精确的意思。亦困恼着初学者的，如“开放”和“域”等字在数学里有着特别的意思。数学术语亦包括如“同胚”及“可积性”等专有名词。但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的：数学需要比日常用语更多的精确性。数学家将此对语言及逻辑精确性的要求称为「严谨」。但在现实应用中，舍弃一些严谨性往往会得到更好的结果。 严谨是数学证明中很重要且基本的一部份。数学家希望他们的定理以系统化的推理依着公理被推论下去。这是为了避免依着不可靠的直观而推出错误的「定理」，而这情形在历史上曾出现过许多的例子。在数学中被期许的严谨程度因着时间而不同：希腊人期许着仔细的论证，但在牛顿的时代，所使用的方法则较不严谨。牛顿为了解决问题所做的定义，到了十九世纪才重新以小心的分析及正式的证明来处理。今日，数学家们则持续地在争论电脑辅助证明的严谨度。当大量的计算难以被验证时，其证明亦很难说是足够地严谨。 公理在传统的思想中是「不证自明的真理」，但这种想法是有问题的。在形式上，公理只是一串符号，其只对可以由公理系统导出的公式之内容有意义。希尔伯特计划即是想将所有的数学放在坚固的公理基础上，但依据哥德尔不完备定理，每一兼容且能蕴涵皮亚诺公理的公理系统必含有一不可决定的公式；因而所有数学的最终公理化是不可能的。尽管如此，数学常常被想像成只是某种公理化的集合论，在此意义下，所有数学叙述或证明都可以写成集合论的公式。

数学作为科学

卡尔·弗里德里希·高斯 卡尔·弗里德里希·高斯称数学为「科学的皇后」。在拉丁原文Regina Scientiarum，以及其德语Königin der Wissenschaften中，对应于「科学」的单字的意思皆为知识（领域）。而实际上，science一词在英语内本来就是这个意思，且无疑问地数学在此意义下确实是一门「科学」。将科学限定在自然科学则是在此之后的事。若认为科学是只指物理的世界时，则数学，或至少是纯数学，不会是一门科学。爱因斯坦曾如此描述：「数学定律越和现实有关，它们越不确定；若它们越是确定的话，它们和现实越不会有关。」 许多哲学家相信数学在经验上不具可否证性，且因此不是卡尔·波普尔所定义的科学。但在1930年代时，在数理逻辑上的重大进展显示数学不能归并至逻辑内，且波普尔推断「大部份的数学定律，如物理及生物学一样，是假设演绎的：纯数学因此变得更接近其假设为猜测的自然科学，比它现在看起来更接近。」然而，其他的思想家，如较著名的拉卡托斯，便提供了一个关于数学本身的可否证性版本。 另一观点则为某些科学领域（如理论物理）是其公理为尝试着符合现实的数学。而事实上，理论物理学家齐曼（John Ziman）即认为科学是一种公众知识，因此亦包含着数学。在任何的情况下，数学和物理科学的许多领域都有着很多相同的地方，尤其是从假设所得的逻辑推论之探索。直觉和实验在数学和科学的猜想建构上皆扮演着重要的角色。实验数学在数学中的重要性正持续地在增加，且计算和仿真在科学及数学中所扮演的角色也越来越加重，减轻了数学不使用科学方法的缺点。在史蒂芬·沃尔夫勒姆2002年的著作《一种新科学》中他提出，计算数学应被视为其自身的一科学领域来探索。 数学家对此的态度并不一致。一些研究应用数学的数学家觉得他们是科学家，而那些研究纯数学的数学家则时常觉得他们是在一门较接近逻辑的领域内工作，且因此基本上是个哲学家。许多数学家认为称他们的工作是一种科学，是低估了其美学方面的重要性，以及其做为七大博雅教育之一的历史；另外亦有人认为若忽略其与科学之间的关联，是假装没看到数学和其在科学与工程之间的交互促进了许多在数学上的发展此一事实。这两种观点之间的差异在哲学上产生了数学是「被创造」（如艺术）或是「被发现」（如科学）的争议。大学院系划分中常见「科学和数学系」，这指出了这两个领域被看作有紧密联系而非同一。实际上，数学家通常会在大体上与科学家合作，但在细节上却会分开。这亦是数学哲学众多议题的其中一个。

数学的各领域

数学物理

数学流体力学

数值分析

最佳化

概率论

统计学

计量金融

博弈论

数理经济学

生物数学

作业研究

控制论

数学奖项

菲尔兹奖，由**的国际数学家大会颁发的奖项。每四年颁奖一次，颁给有卓越贡献的**数学家，每次最多四人得奖。得奖者须在该年元旦前未满四十岁，是**数学家可以获得的最大奖项。它是据加拿大数学家约翰·查尔斯·菲尔兹的要求设立的。菲尔兹奖被视为数学界的诺贝尔奖。

沃尔夫奖，由沃尔夫基金会颁发，该基金会于1976年在以色列创立，1978年开始颁奖。创始人里卡多·沃尔夫是外交家、实业家和慈善家。而沃尔夫数学奖是沃尔夫奖的一个奖项，它和菲尔兹奖被共同誉为数学家的最高荣誉。

阿贝尔奖，由挪威王室向杰出数学家颁发的一种奖项，每年颁发一次。2001年，为了纪念2002年挪威著名数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔二百周年诞辰，挪威政府宣布将开始颁发此种奖金。奖金的数额大致同诺贝尔奖相近。设立此奖的一个原因也是因为诺贝尔奖没有数学奖项。2001年挪威政府拨款2亿挪威克朗作为启动资金。扩大数学的影响，吸引**人从事数学研究是设立阿贝尔奖的主要目的。