Illustration d’une décomposition arborescente d’un calcul arithmétique faisant intervenir l’addition (symbole +), la soustraction (symbole -), la multiplication (symbole *), le quotient (symbole /) et le reste (symbole %) de la division euclidienne.

L’arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la « science des nombres ». Son étymologie provient du mot grec « ἀριθμός » qui signifie « nombre ».

Autrefois, l'arithmétique se limitait à l'étude des propriétés des entiers naturels, des entiers relatifs et des nombres rationnels (sous forme de fractions), et aux propriétés des opérations sur ces nombres.

Les opérations arithmétiques traditionnelles sont l'addition, la division, la multiplication, et la soustraction.

Cette discipline fut ensuite élargie par l'inclusion de l'étude d'autres nombres comme les réels (sous forme de développement décimal illimité), ou même de concepts plus avancés, comme l'exponentiation ou la racine carrée.

Une arithmétique est une manière de représenter formellement (autrement dit, coder) les nombres (sous la forme d'une liste de chiffres, par exemple) ; et (grâce à cette représentation) définir les opérations de bases : addition, multiplication, etc.

Histoire

Allégorie de l'arithmétique.

Dans l'école pythagoricienne, à la deuxième moitié du VI siècle av. J.-C., l'arithmétique était, avec la géométrie, l'astronomie et la musique, une des quatre sciences quantitatives ou mathématiques (Mathemata). Celles-ci furent regroupées au sein des sept arts libéraux par Martianus Capella (V siècle) et plus précisément désignées sous le nom de quadrivium par Boèce. Les trois autres disciplines étaient littéraires (grammaire, rhétorique, dialectique) et firent l'objet des travaux de Cassiodore et, plus tard, Alcuin qui leur donna le nom de trivium.

Différentes arithmétiques

Arithmétique élémentaire

L'expression « arithmétique élémentaire » désigne parfois la forme la plus basique des mathématiques, apprise à l’école élémentaire. Il s’agit essentiellement de l'étude des nombres et des opérations élémentaires (soustraction, addition, division, multiplication).

Ce terme désigne aussi les rudiments des techniques de l'arithmétique. Les outils utilisés sont la division euclidienne, le lemme d'Euclide, le théorème de Bachet-Bézout ou encore le théorème fondamental de l'arithmétique. Il permet de démontrer des théorèmes comme celui de Wilson ou encore le petit théorème de Fermat.

Cette deuxième acception du terme est traitée dans l'article détaillé.

Arithmétique modulaire

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) étudie l'ensemble des classes de congruence des entiers relatifs modulo un entier donné. Chaque classe correspond à un reste de la division euclidienne par cet entier, et l'ensemble est naturellement muni d'une addition et d'une multiplication.

L'étude de cette structure porte le nom d'arithmétique modulaire. Elle permet de généraliser les résultats de l'arithmétique élémentaire. Le théorème d'Euler, correspondant à un résultat plus fort que celui du petit théorème de Fermat, illustre une généralisation.

L'arithmétique modulaire est utilisé en cryptologie ou pour la construction de codes correcteurs en informatique.

Théorie algébrique des nombres

De nombreuses questions ne trouvent pas de réponse, même avec les techniques de l'arithmétique modulaire. Des exemples proviennent d'équations diophantiennes, c'est-à-dire d'équations dont les coefficients sont entiers et dont les solutions recherchées sont entières. Une méthode consiste à élargir l'ensemble des entiers à une nouvelle structure qualifiée d'anneau d'entiers algébriques, comme celui des entiers de Gauss.

L'étude de ces structures, plus générales que celles de l'arithmétique modulaire qui se limite aux anneaux euclidiens, constitue le premier chapitre de la théorie algébrique des nombres.

Arithmétique des polynômes

L'étude de l'arithmétique, au sens des nombres entiers, suppose d'établir des théorèmes. Ces théorèmes se démontrent à l'aide de techniques qui ne se limitent pas aux nombres entiers. Il est possible de faire usage de la même démarche sur d'autres structures, comme celle des polynômes. À travers l'étude des polynômes cyclotomiques, Gauss parvient à trouver un nouveau polygone régulier constructible à la règle et au compas, de 17 côtés.

Sa démarche est de nature arithmétique, pour cette raison, on parle d'arithmétique des polynômes.

Ensembles utilisés en arithmétique

La totalité des nombres a été subdivisée en divers ensembles. Les plus connus sont :

: l'ensemble des entiers naturels ().

: l'ensemble des entiers relatifs ().

: l'ensemble des nombres décimaux, c'est-à-dire qui s'écrivent sous la forme d'un quotient d'un nombre entier relatif et d'une puissance positive de 10, c'est-à-dire, où x est un nombre entier relatif et n un nombre entier naturel .

: l'ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire des nombres pouvant s'écrire comme un quotient (résultat d'une division) de deux nombres entiers relatifs. En posant la division, il peut y avoir une infinité de chiffres après la virgule dans le résultat, mais ces chiffres finiront par se répéter; dans ce cas on dit que l'écriture décimale est illimitée périodique. .

: l'ensemble des nombres réels, mesurant toutes les distances entre deux points d'une droite, peuvent se voir comme limite de nombres rationnels, peuvent s'écrire avec des chiffres après la virgule mais les chiffres ne se répètent plus nécessairement (, soit ).

: nombres complexes de la forme où x et y sont réels et imaginaire tel que .

Certains de ces ensembles sont des sous-ensembles des autres ; Tous les éléments de appartiennent aussi à , par exemple. Mais à l'inverse, un élément de n'est pas forcément élément de . On peut représenter ces ensembles par des cercles concentriques: le plus petit est , puis viennent , , , et .

Il est possible de ne considérer qu'une partie d'un ensemble. Ainsi, on notera l'ensemble des nombres positifs de . De même on notera l'ensemble privé de 0. On remarque entre autres que et que (il s'agit de « privé de » .).

Propriétés

De nombreux nombres entiers ont des propriétés particulières. Ces propriétés font l'objet d'une théorie appelée Théorie des nombres. Parmi ces nombres particuliers les nombres premiers sont sans doute les plus importants.

Nombres premiers

C'est le cas des nombres dits premiers. Ce sont des éléments de ℕ possédant uniquement deux diviseurs positifs distincts, à savoir 1 et eux-mêmes. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 etc. 1 n'est pas premier car il n'a pas deux diviseurs distincts, mais un seul. Il existe une infinité de nombres premiers. En complétant une grille de taille 10 × 10 avec les 100 premiers entiers non nuls, et en rayant ceux qui ne sont pas premiers, on obtient les nombres premiers appartenant à { 1, … , 100 } par un procédé appelé un crible d'Ératosthène, du nom du savant grec qui l'inventa.

Nombres pairs et impairs

Les entiers naturels sont divisés en deux catégories bien connues des joueurs de roulette: les pairs et les impairs.

Un entier pair est un multiple de 2 et peut être noté , avec . Un nombre impair n'est pas multiple de 2 et se note , avec .

On montre que tout entier est soit pair soit impair, et au moins l'un des deux, et ce pour un unique  : on note
Les premiers entiers pairs sont 0, 2, 4, 6, 8, 10 ... Les premiers entiers impairs sont 1, 3, 5, 7, 9, 11 ...

Bibliographie

En mathématiques

Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique[détail des éditions]

En philosophie

Gottlob Frege, Les Fondements de l'arithmétique, 1884

Richard Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen?, 1888

Edmund Husserl, Philosophie de l'arithmétique (en), 1891

1835年儿童的算术表

算术（arithmetics）是数学最古老且最简单的一个分支，几乎被每个人使用着，从日常生活上简单的算数到高深的科学及工商业计算都会用到。一般而言，算术这一词指的是记录数字某些运算基本性质的数学分支。常用的运算有加法、减法、乘法、除法，有时候，更复杂的运算如指数和平方根，也包括在算术运算的范畴内。算术运算要按照特定规则来进行。

自然数、整数、有理数（以分数的形式）和实数（以十进制指数的形式）的运算主要是在小学和中学的时候学习。用百分比形式进行运算也主要是在这个时候学习。然而，在成人中，很多人使用计算器，计算机或者算盘来进行数学计算。

专业数学家有时会使用高等算术来指数论，但这不应该和初等算术相搞混。另外，算术也是初等代数的重要部份之一。

十进制计数法

算术运算

算术运算指加法、减法、乘法和除法，但有时也包括较高级的运算（例如百分比、平方根、取幂和对数)。算术按运算次序进行，只要集合可以进行加减乘除四则运算（除以零除外），而四则运算合乎基本公理，都可称之为一个域（Field）。 加法 (+) 加法是基本算术运算。简单来说，加法将两个数字结合，成为一个数字，称之为「和」。把多于两个数相加，可以视为重复的加法；这个过程称为求和，包括在级数中把无穷多个数相加。1的重复加法是计数的最基本的形式。 加法满足交换律和结合律。加法的单比特是0，也就是说，把任何数加上0都得到相同的数。另外，加法的逆元素就是相反数，也就是说，把任何数加上它的相反数都得出单比特0。例如，7的相反数是(-7)，所以7 + (-7) = 0。 减法 (−) 减法是加法的相反。减法是求出两个数（被减数和减数）的差。如果被减数大于减数，那幺差为正数；如果被减数小于减数，那幺差为负数；如果它们相等，那幺差为0。 减法既不满足交换律又不满足结合律。由于这个原因，把减法视为被减数和减数的相反数的加法通常是很有帮助的，也就是说，a − b = a + (−b)。当写成加法时，所有加法的性质都成立。 乘法 (× 或 ·) 乘法本质上是一组相同数字的重复累加或总和。乘法运算可得出乘数与被乘数（有时被通称为因数）的乘积。 乘法运算（由于其本质是重复累加）具有交换性和结合性；进而，它对加法和减法运算具有分配性。乘法单位为1，即，用1乘以任意数的结果仍为该数。并且，任意数字的乘法逆元素是其倒数，即，用一个数的倒数乘以该数，其结果为乘法单位：1。 除法 (÷ 或 /) 除法是乘法的逆运算。除法运算得到两个数的商＝被除数除以除数。任何被除数被零除是没有定义的。对于正数，如果被除数大于除数，其商大于1，否则商小于1（对于负数和-1有类似的规则）。商乘以除数其结果总是被除数。 除法运算不具有交换性和结合性。正如可以将减法视为加法，除法亦可被视作被除数和除数的倒数之间的乘法运算，即，a ÷ b = a × ⁄b 。当被写为乘积形式，运算遵循乘法的所有特性。 例子 加法表 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 乘法表 × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 8 16 24 32 40 48 56 ** 72 80 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

数论

在十九世纪以前，数论（number theory）是算术的同义词。数论后来演变成研究整数的性质，以及一些有关质数、因数以及变量为整数的方程，例如费马最后定理。其中一些问题很容易陈述，但问题的本质相当困难，需要用到许多其他数学分支的定理才能证明。 数论中的问题也带来一些新的数学分支，例如解析数论、代数数论、丢番图几何及算术代数数论（arithmetic algebraic geometry）。像费马最后定理就是这类的复杂问题，问题可以用基本的算术来描述，可是其证明远超过传统算术的方法。从原始猜想提出到安德鲁·怀尔斯证明经过了三百多年的时间，证明中用到代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗瓦理论和黑克代数等。

历史

在布鲁塞尔自然科学比利时皇家学院展出的伊尚戈骨头 史前时代的算术只能用少部份人造物品来确认当时有加法与减法等明确概念，最著名的一件是在非洲发现的伊尚戈骨头，距今约有两万年的时间。 最早的历史记载埃及人及巴比伦人在西元前二千年就已使用到所有的四则运算。留下来的人造物品不一定能看出求解某一特定问题的方式，但可以看出其使用的记数系统的特征。像古埃及数字的象形系统，像罗马数字一様，是由计数符号演变而来。二种系统都是用十进制的数字，但不是采用进制。复杂的罗马数字计算需要计数板或罗马算盘的辅助才能计算结果。 比较清楚的是，巴比伦尼亚在西元前1850年已有关于各方面初等算术的坚实知识，但历史学家也只能依其算术成果来推断其使用的方式（例如巴比伦楔形泥版322）。同样地，乘法和单位分数的运用的可靠算法也在古埃及的莱因德数学纸草书中被发现，其约在西元前1650年的时期。 早期的记数系统也包括一些非十进制的进制，例如巴比伦数字的六十进制及玛雅数字的二十进制。因为使用进制，可以将同一个数字放在不同位置表示不同数值，可以简化计算，也可以较有效率的进行计算。 西元前六世纪中叶，毕达哥拉斯学派的时代，算术已被视为学问的四种分类（算术、音乐、几何、天文）中的一类了。但古希腊数学也和许多哲学及神秘的信仰重叠，尼各马可就在《算术简介》中整理了毕达哥拉斯学派对数字的研究，和其他学科的关系。 阿基米德及丢番图使用的希腊数字是采用进制，已经和现代的十进制有些接近。古希腊没有代表零的符号（一直到希腊化时代才加入），当时有三组不同的数字符号，分别表示个位数、十位数及百位数。万位数则会重复使用个位数那一组的符号，以此类推。希腊数字的加法算法和现在的相同，乘法算法只和现在的有一点不同，当时开平方根的方法只在学校教授，可能是由阿基米德发明的，他没有使用希罗提出的佚迭代法，阿基米德作法的好处是在计算后，高位数的数字不会再变化，而且完全平方数（例如7485696）的平方根，可以直接算出是2736。针对有小数的数字，其小数部份会用1/60的各次方和表示0.934，而不是用1/10的各次方和。 古代中国也用类似的进制，当时也没有代表零的数字，因此有一组表示个位数的数字，一组表示十位数的数字，百位数则再重复使用表示个位数的那一组数字，以此类推，其符号来自古代的算筹。有关中国开始使用进制计算的问题相当复杂，但确定是在西元四百年前。 叙利亚的主教Severus Sebokht（650 AD）说 「印度人有一个计算方式是没有言语足以称赞的，他的的数学系统或是计算方式中只用到九个符号。」而十二世纪的斐波那契在《计算书》中提到：「印度人的计算方式比任何已知的方式都好，他们的系统用九个符号以及符号0。」 逐渐发展的印度-阿拉伯数字系统是由位值（place-value）及进制的概念而来，再加上十进制下比较简单的计算方式，以及表示0的数字。因此可以用此系统以较一致的方式表示很大的数字及很小的数字，这种数字系统最后取代了其他数字系统，在第六世纪早期，印度数学家阿耶波多在著作中使用这样的数字系统，并且尝试许多不同的标示方式。第七世纪的婆罗摩笈多将0用来表示一个数字，并且定义此数字和其他数字加减乘除的结果（但不包括除以零）。当时叙利亚主教Severus Sebokht描述此系统是「一种超越任何说明的宝贵方式」。阿拉伯人也学了这种新的方式，称为hesab。

算术教育

小学时的数学通常专注在自然数、整数、有理数、分数和实数（使用十进位法）等算术的算法。此一学习有时被称为 algorism。 这种算法的困难性及无目的性的样貌已让教育学家们很长时间地去思考其课程内容，主张早期应该教导较中心且直觉的数学概念。在此一方向上的著名进展为1960年代至1970年代的「新数学运动」，它试图以集合论中公理化（高等数学的主流）的精神来教导算术。 乌理玛（伊斯兰教学者）也用算术来教导有关天课有关的规则。在Abd-al-Fattah-al-Dumyati所着的The Best of Arithmetic中有相关的介绍，从基础的算术开始，到后面的应用。 当能比人脑更有效地运行运算的电子计算机被发明后，有影响力的学校的教育家们开始声称标准算术演化法的机械化熟练已不再是必须的了。在他们的观点，一年级的数学可以花更多在了解更高等的概念上，如数字被使用来哪里和数字、数量和度量之间的关系等。但无论如何，许多的数学家依然认为手算的熟练会是学习代数和计算机科学的必要基础。这一争论主要集中在加州1990年代国小课程上头），称为数学战争，并且延续至今日。 **的教育改革在1999年起一度采用引起自北美，强调手算的建构式数学，当时对于算术教育要采「建构式数学」，亦或采**传统的「九九乘法表」也有一段的争议。