En mathématiques, une fraction continue ou fraction continue simple ou plus rarement fraction continuée est une expression de la forme :

comportant un nombre fini ou infini d'étages.

On montre qu'on peut « représenter » — en un sens qui sera précisé — tout nombre réel sous forme d'une fraction continue, finie ou infinie, dans laquelle a0 est un entier relatif et les autres aj sont des entiers strictement positifs.

Comme dans la notation décimale usuelle, où chaque réel est approché par des nombres décimaux de plus en plus précisément au fur et à mesure de la donnée des décimales successives, de même chaque réel est approché par des fractions étagées de la forme ci-dessus de plus en plus précisément au fur et à mesure qu'on rajoute des étages. En outre, s'il faut une infinité de décimales pour décrire exactement un nombre non décimal, il faut un développement infini en fraction continue pour décrire exactement un nombre irrationnel.

Les fractions continues sont utiles en approximation diophantienne, notamment parce qu'elles fournissent, en un certain sens, les « meilleures » approximations des réels par des rationnels. Cette propriété est à l'origine d'algorithmes pour l'approximation de racines carrées, mais aussi de démonstrations d'irrationalité voire de transcendance pour certains nombres comme π ou e. La périodicité des fractions continues des racines carrées d'entiers strictement supérieurs à 1 et sans facteur carré a des conséquences utiles pour l'étude de l'équation de Pell-Fermat.

Déjà usitées chez les mathématiciens indiens au Moyen Âge, les fractions continues sont étudiées en Europe dès le XVII siècle et constituent encore un vaste sujet de recherche, près de 3 000 articles ont été publiés sur ce sujet au XX siècle. Elles sont maintenant généralisées à d'autres expressions, appliquées aux approximations de séries entières appelées approximant de Padé, ou encore adaptées aux applications linéaires.

John Wallis, à la suite des travaux de William Brouncker, utilise pour la première fois l'expression « fraction continue ».

Tour d'horizon

La notion de fraction continue est vaste et se retrouve dans de nombreuses branches des mathématiques. Les concepts associés peuvent être relativement simples comme l'algorithme d'Euclide, ou beaucoup plus subtils comme celui de fonction méromorphe.

Il est possible, dans un premier temps, de voir une fraction continue comme une suite d'entiers qui « représente » un réel. Cette situation est un peu la même que celle du système décimal qui représente π par la suite d'entiers 3, 1, 4, 1, 5, 9… Sous forme de fraction continue, la suite est 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1… Un premier champ d'étude consiste à étudier la relation entre la suite 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1… et celle des nombres rationnels que propose la fraction continue, en l'occurrence 3, 22/7, 333/106, etc., il permet de savoir comment passer de la première suite à la deuxième, comment la deuxième converge et répond à d'autres questions de cette nature. Tel est essentiellement l'objet de cet article.

Joseph-Louis Lagrange établit de manière rigoureuse les propriétés des fractions continues des entiers quadratiques.

Les fractions continues ont une relation particulière avec les racines carrées ou plus généralement les nombres, dits irrationnels quadratiques, de la forme a + b√d où a et b sont des nombres rationnels, b non nul, et d > 1 un entier sans facteur carré. Les fractions continues associées sont périodiques, à partir d'un certain rang, c'est-à-dire que la suite des entiers formant la fraction continue se répète à partir d'un certain rang et jusqu'à l'infini. Cette situation est à l'image des représentations décimales infinies de nombres rationnels. Ces fractions continues permettent de résoudre un célèbre problème d'arithmétique appelé équation de Pell-Fermat. Cette question fait l'objet de l'article Fraction continue d'un irrationnel quadratique.

À l'image du système décimal, la fraction continue offre des nombres rationnels de plus en plus approchés de leur cible. Ces approximations sont bien meilleures que celles décimales. La deuxième approximation décimale de π, égale à 31/10 possède un dénominateur relativement proche de celui de la deuxième approximation de la fraction continue 22/7, en revanche 22/7 est plus de 30 fois plus précis que 31/10. Ce type d'approche d'un nombre réel par un nombre rationnel est appelé approximation diophantienne. Les fractions continues y jouent un grand rôle. Elles ont permis de construire le premier nombre transcendant connu ou de montrer que le nombre e est irrationnel. À condition de généraliser la définition d'une fraction continue, il devient possible de montrer que π est aussi irrationnel — cette approche est traitée dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne — puis, que e et π sont transcendants.

Une fraction continue ne concerne pas uniquement les nombres mais aussi les fonctions. On généralise encore plus les fractions continues en remplaçant les coefficients par des polynômes. Une motivation provient de l'analyse complexe, qui a pour objet l'étude des fonctions de la variable complexe à valeurs complexes, dérivables en tant que telles. L'approche classique consiste à les définir comme séries entières donc comme limites de polynômes. Une spécificité fréquente de ce type de fonction est de posséder des pôles. Si, au lieu d'approcher la fonction par des polynômes, on utilise des quotients, on construit une suite d'approximants de Padé qui ne possède pas nécessairement cette faiblesse.

D'autres propriétés ont été étudiées. À la différence du système décimal, un entier apparaissant dans une fraction continue n'est en général pas borné par 9, il peut devenir arbitrairement grand. Alexandre Khintchine s'est intéressé à la moyenne, au sens de limite des moyennes géométriques de tous ces dénominateurs. Pour presque tous les nombres, cette moyenne est la même (le mot « presque » possède ici le sens technique de la théorie de la mesure) ; cette moyenne est appelée constante de Khintchine.

Il est aussi possible de construire des développements en fractions en plaçant les barres de fraction sur le numérateur et non en-dessous : on obtient un développement en série de Engel :

.

Repères chronologiques Âryabhata, un mathématicien indien, fait usage des fractions continues dès le V siècle. L'usage des fractions continues est ancien. Âryabhata (476-550), un mathématicien indien les utilise pour résoudre des équations diophantiennes ainsi que pour approximer précisément des nombres irrationnels. Brahmagupta (598-668) étudie plus en profondeur l'équation maintenant dite de Pell-Fermat. Il utilise une identité remarquable. Il cherche à résoudre l'équation x – 61y = 1 et trouve la plus petite solution : x = 1 766 319 049 et y = 226 153 980. Au XII siècle, la méthode est enrichie par Bhāskara II. Un algorithme, la méthode chakravala, analogue à celui des fractions continues, permet de résoudre le cas général. La différence la plus marquante avec la méthode européenne ultérieure est qu'il autorise les nombres négatifs dans la fraction, permettant une convergence plus rapide. L'apparition en Europe est plus tardive et italienne. Rafael Bombelli (1526-1572) fait usage d'un ancêtre des fractions continues pour le calcul d'approximations de la racine carrée de 13. Pietro Antonio Cataldi (1548-1626) comprend que la méthode de Bombelli s'applique pour toutes les racines carrées, il l'utilise pour la valeur 18 et écrit un petit opuscule à ce sujet. Il remarque que les approximations obtenues sont alternativement supérieures et inférieures à la racine carrée cherchée. Un progrès décisif a lieu en Angleterre. Le 3 janvier 1657, Pierre de Fermat défie les mathématiciens européens avec plusieurs questions dont l'équation déjà résolue par Brahmagupta. La réaction des anglais, piqués au vif, est rapide. William Brouncker (1620-1684) trouve la relation entre l'équation et la fraction continue, ainsi qu'une méthode algorithmique équivalente à celle des indiens pour le calcul de la solution. Il produit la première fraction continue généralisée, pour le nombre 4/π. Ces résultats sont publiés par John Wallis qui en profite pour démontrer les relations de récurrence utilisées par Brouncker et Bhāskara II. Il donne le nom de fraction continue dans la phrase : « Nempe si unitati adjungatur fractio, quae denominatorem habeat continue fractum ». À cette époque, Christian Huygens (1629-1695) découvre que les fractions continues sont l'outil idéal pour déterminer le nombre de dents que doivent contenir les roues des engrenages dans l'horlogerie. Il l'utilise pour la mise au point d'un automate planétaire. Henri Padé étudie en 1892 le cas des fractions continues construites à l'aide de polynômes. Quelques questions théoriques sont résolues au siècle suivant. L'usage montre que l'algorithme des fractions continues permet de résoudre l'équation de Pell-Fermat en utilisant le fait que la fraction est périodique à partir d'un certain rang. Leonhard Euler (1707-1783) montre que si un nombre possède une fraction continue périodique, alors il est solution d'une équation du second degré à coefficients entiers. La réciproque, plus subtile est l'œuvre de Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). Durant ce siècle, Johann Heinrich Lambert (1728-1777) trouve une nouvelle utilité aux fractions continues. Il les utilise pour montrer l'irrationalité de π. Cet usage devient fréquent au XIX siècle. Évariste Galois (1811-1832) trouve la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fraction continue soit immédiatement périodique. Joseph Liouville (1809-1882) utilise le développement en fraction continue généralisée pour exhiber des nombres non algébriques, c'est-à-dire transcendants. Ce sont les nombres de Liouville. En utilisant les fractions continues, Charles Hermite (1822-1901) prouve la transcendance de e, base du logarithme népérien en 1873. Grâce à lui, Ferdinand von Lindemann prouve en 1882 que π est transcendant, si bien que la quadrature du cercle est impossible à réaliser. À la fin du siècle Henri Padé (1863-1953) développe la théorie des approximants qui portent maintenant son nom et qui sont des fractions continues de polynômes. Cette technique est utilisée par Henri Poincaré (1854-1912) pour démontrer la statibilité du système solaire. Georg Cantor (1845-1918) prouve à l'aide des fractions continues que les points d'un segment et ceux situés à l'intérieur d'un carré sont en bijection. Les fonctions de cette nature sont étudiées dans le cadre de la théorie du chaos, elles sont discontinues sur chaque point rationnel de l'intervalle [0, 1].

Approche intuitive

De l'algorithme d'Euclide aux fractions continues

On commence par rappeler le déroulement de l'algorithme dû à Euclide de recherche du PGCD, en analysant l'exemple des deux nombres entiers 15 625 et 6 842. On procède à une suite de divisions euclidiennes avec reste :

Une autre manière d'interpréter cet algorithme consiste à approcher par étapes le quotient 15 625 / 6 842. La partie entière de ce quotient est 2, ce qui permet d'écrire

Que peut-on dire de la fraction 1 941 /6 842, à part qu'elle est plus petite que 1 ? Elle est comprise entre 1/4 et 1/3, son inverse, 6 842 / 1 941, possède comme partie entière : 3 ; et plus précisément, si l'on utilise les résultats de la deuxième division euclidienne :

Ainsi de proche en proche :

qui est bien une fraction continue. On utilise parfois la notation suivante, plus commode :

On peut comparer 15 625 / 6 842 à ses réduites obtenues en tronquant successivement le nombre d'étages de la fraction continue. Le tableau suivant donne les troncatures en notation fractionnelle puis décimale, et la différence entre la réduite et le nombre 15 625 / 6 842.

La suite des erreurs est décroissante en valeur absolue et de signes alternés.

Développement en fraction continue d'un rationnel

Soit r = p/q un nombre rationnel (avec p et q entiers et q > 0). On cherche pour r un développement fini en fraction continue, c'est-à-dire une écriture de r sous la forme [a0, … , an] avec n entier naturel, a0 entier relatif et a1, … , an entiers > 0. On applique pour cela l'algorithme d'Euclide :

On pose p0 = p, p1 = q, et l'on construit les entiers a0 et p2 par division euclidienne :

Puis, tant que p_j n'est pas nul, on définit les entiers a_j–1 et p_j+1 par

avec a_j–1 entier au moins égal à 1 (pour j > 1) et 0 ≤ p_j+1 < p_j. L'algorithme d'Euclide s'arrête. On note n le plus grand entier pour lequel p_n+1 n'est pas nul. On sait donc que p_n/p_n+1 est égal à l'entier a_n. On a alors :

En effet :

ou encore :

Représentation géométrique Un pavage d'un rectangle de longueur 30 et de largeur 13 permet de déterminer l'expression de 30/13 en fraction continue : 30/13=[2, 3, 4]. L'algorithme d'Euclide permet de calculer une fraction continue dans le cas des nombres rationnels. Cet algorithme admet dans ce cadre une interprétation géométrique. Soit r = p/q un nombre rationnel, on considère un rectangle de longueur p et de largeur q, et on le pave par des carrés de côté q. Si x est un entier, le pavage comporte exactement x carrés. Sinon, soit a0 le nombre de carrés insérés dans le rectangle, ou encore, le premier terme de la fraction continue. Il reste une bande non pavée de dimension q × b1 avec b1 égal à p – a0q ; on pave cette bande avec des carrés de dimension maximale, c'est-à-dire de côté x1. Le nombre de carrés est égal au deuxième terme a1 de la fraction continue. En réitérant la méthode, on obtient l'intégralité des coefficients ap. Dans l'image ci-contre, on pave le rectangle 30 × 13 par deux carrés de côtés 13. Il reste une bande de longueur 13 et de largeur 4. En termes de fraction continue, on obtient l'égalité : . La même démarche s'applique pour déterminer un rationnel connaissant sa fraction continue. [1, 1, 2, 3] = 17/10 Ensuite, on remarque qu'il est possible de remplir la bande restante de 3 carrés de côté 4 et il reste une bande de longueur 4 et de largeur 1, ce qui permet de terminer le calcul de la fraction continue : . La technique du pavage conduit à une fraction continue infinie si la longueur et la largeur du rectangle sont incommensurables. La même construction permet de trouver le rationnel dont on connait le développement en fraction continue. Dans l'image de gauche on peut retrouver le rationnel dont le développement est [1, 1, 2, 3]. Le dernier coefficient est égal à 3, on trouve donc 3 petits carrés de côté 1, qui donnent la taille du carré suivant (3). L'avant dernier coefficient 2 indique qu'il existe deux carrés moyens de côté 3. Ces deux côtés et le petit carré donnent la taille du carré plus grand (7). Le coefficient associé est égal à 1, il n'en n'existe donc qu'un unique de cette nature. Le carré plus grand (7) et le carré moyen (3) donnent le côté du dernier carré (10). Les deux derniers carrés donnent la longueur totale du rectangle (17). La fraction recherchée est égale à 17/10. Le processus s'arrête car p et q sont commensurables c'est-à-dire qu'il existe une longueur l et deux entiers a et b tels que p = la et q = lb. Considérons maintenant un rectangle de longueur L et de largeur l. Si le quotient L/l n'est pas rationnel, c'est-à-dire si les longueurs L et l sont incommensurables, le processus ne s'arrête pas. Tel est le cas pour la figure de droite représentant un rectangle d'or, c'est-à-dire un rectangle dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal à φ le nombre d'or. On ne peut placer qu'un carré dans chaque bande ce qui amène à la représentation : . La suite des numérateurs et celle des dénominateurs sont de Fibonacci.

On a donc montré que pour tout rationnel r, l'algorithme d'Euclide fournit un développement fini en fraction continue de r (réciproquement, tout nombre qui possède un développement fini en fraction continue est évidemment rationnel). Le développement [a₀, … , a_n] obtenu ainsi a la particularité que si n est non nul, alors a_n > 1. On en déduit un second développement : r = [a₀, … , a_n – 1, 1]. Ce sont les deux seuls.

Quand on adjoint, au calcul des a_j de ce développement, le calcul des numérateurs h_j et dénominateurs k_j des différentes réduites

cet algorithme d'Euclide devient l'algorithme d'Euclide étendu. Plus précisément, la suite des couples d'entiers (ui, vi), fournie par l'algorithme étendu appliqué à (p, q), coïncide avec la suite des (kj, hj), aux signes près et à un décalage près des indices : kj = (–1)uj+2 et hj = (–1)vj+2. Pour tout j, les entiers kj et hj sont donc premiers entre eux et pj+1 = (–1)(qhj–1 – pkj–1). En particulier : la dernière réduite, hn/kn, est la fraction p/q mise sous forme irréductible et l'avant-dernière correspond à la solution particulière de l'identité de Bézout fournie par l'algorithme d'Euclide étendu : PGCD(p, q) = pn+1 = (–1)(qhn–1 – pkn–1).

Démonstration D'après le § « L'algorithme » de l'article sur l'algorithme d'Euclide étendu, les (ui, vi) sont définis par la relation de récurrence et l'initialisation D'après le § « Réduites d'une fraction continue » ci-dessous, les (kj, hj) suivent la relation de récurrence même en leur affectant les valeurs supplémentaires Le lien annoncé entre ces deux suites de couples d'entiers s'en déduit, par une récurrence d'ordre 2.

Développement en fraction continue du nombre π

Une remarque permet de généraliser la méthode précédente à un réel quelconque. Pour l'illustrer, appliquons-la sur le nombre π. La première étape, dans le cas d'un rationnel, était le calcul du quotient de la division euclidienne du numérateur par le dénominateur, ce qui ne fait plus sens pour un réel, en revanche le résultat était égal à la partie entière du rationnel, or la partie entière d'un réel a un sens. La partie fractionnaire, nécessairement plus petite que 1, était inversée, ce qui est encore possible ici. On obtient :

.

Comme π – 3 est plus petit que 1 (c'est une partie fractionnaire) son inverse est plus grand que 1, et n'est pas entier puisque π est irrationnel. On peut donc lui appliquer la même démarche :

Le nouvelle valeur, approximativement égale à 15,997, est encore un irrationnel strictement supérieur à 1, d'où la possibilité d'une nouvelle étape, puis d'une nouvelle :

Puisque que π est irrationnel, le processus ne s'arrête jamais (en imaginant que le calcul est réalisé avec une infinité de décimales). On obtient comme suite de fractions 3 puis 22/7 ≈ 3,1428 puis 333/106 ≈ 3,14150 puis 355/113 ≈ 3,1415929 et enfin 103 993 / 33 102, proche de π avec une précision meilleure que le milliardième. Une fois encore, la suite des erreurs est décroissante en valeur absolue et de signes alternés.

Approche théorique

Notations et terminologie

Nous appelerons fraction continue ou fraction continue simple toute suite non vide (ap) dont le premier terme a0 est un entier relatif et tous les termes suivants sont des entiers strictement positifs.

L'ensemble de ses indices est soit de la forme {0, 1, … , n} pour un certain entier naturel n s'il s'agit d'une suite finie, soit égal à ℕ pour une suite infinie.

Sa réduite d'indice p est le rationnel [a0, a1, … , ap], défini par

Réduites d'une fraction continue

Soit (a_p) une fraction continue. On lui associe deux suites d'entiers (h_p) et (k_p), définies par récurrence par :

Alors, pour tout indice p de la fraction continue :

La propriété (3) montre, par application du théorème de Bézout, que les entiers hp et kp sont premiers entre eux.

Ces trois propriétés se démontrent directement par récurrence mais sont aussi des cas particuliers de celles des fractions continues généralisées, démontrées dans l'article correspondant. On y donne également une interprétation matricielle de la définition des hp et kp, dont résulte immédiatement, par transposition, une propriété duale de (1) :

Fraction continue d'un réel

Algorithme

Dans l'algorithme d'Euclide développé précédemment, l'entier a_j est le quotient de p_j dans la division euclidienne par p_j+1. C'est donc la partie entière du réel x_j égal à p_j/p_j+1. La partie fractionnaire x_j – a_j de x_j est p_j+2/p_j+1, inverse du réel x_j+1.

On peut alors définir un développement en fraction continue pour tout réel x. Le symbole ⌊s⌋ désigne la partie entière du nombre s. On pose :

ainsi que la définition récurrente : tant que x_j n'est pas entier,

Si x est rationnel, comme on l'a vu plus haut, il existe un n tel que xn soit entier : on pose an = xn, l'algorithme s'arrête, et les deux suites (aj) et (xj) sont finies. Si x est irrationnel, l'algorithme ne s'arrête jamais et les deux suites sont infinies.

La suite (ap) est appelée la fraction continue du réel x.

Le réel xp (strictement supérieur à 1 si p > 0) est appelé le quotient complet de x d'indice p.

Sa partie entière ap est le quotient incomplet de x d'indice p.

On peut formaliser de manière plus informatique cet algorithme :

Donnée : un nombre x réel.

Initialisation : on assigne la valeur x à la variable X. La suite a est vide.

Boucle : On assigne à la variable A la partie entière de X, on concatène cette valeur à la suite a. Si X est entier, l'algorithme s'arrête. Si X n'est pas entier, on assigne à X la valeur de 1 /(X – A) et on recommence au début de la boucle.

Ou encore :

si x est entier, son développement est (x) ;

sinon, soit a0 sa partie entière ; le développement de x est : a0, suivi du développement de 1/(x – a0).

Si x est irrationnel, deux notations sont fréquemment utilisées dans ce contexte :

Elles seront légitimées plus loin : on verra entre autres que la suite des réduites converge vers x.

Quotients complets d'un réel

Soient x un réel, (a_p) sa fraction continue, (h_p) et (k_p) les suites des numérateurs et dénominateurs des réduites associées à cette fraction continue, et (x_p) la suite des quotients complets de x.

Pour tout indice p, on dispose de l'égalité :

Or la démonstration des propriétés (1) et (2) ci-dessus des réduites d'une fraction continue reste valide si l'entier ap est remplacé par le réel xp. On obtient donc, respectivement :

La propriété (2’) :

permet de calculer l'entier ap (partie entière de xp) en utilisant x comme seul réel, sans utiliser la suite de réels (xj), qui peut accumuler à chaque étape des imprécisions si l'algorithme est utilisé sur l'outil informatique et conduire ainsi à des valeurs erronées à partir d'un certain rang ;

montre que la suite des réels |kpx – hp| est strictement décroissante.

Encadrement et convergence

Montrons que toute fraction continue infinie (ap) « converge » — c'est-à-dire que la suite de ses réduites converge vers un réel x — et que (ap) est justement la fraction continue de x (qui est donc irrationnel). Ceci établira, pour tout irrationnel x, la convergence vers x de la fraction continue de x, et explicitera une bijection entre les irrationnels et les fractions continues infinies.

Soit donc (ap) une fraction continue infinie. La différence de deux de ses réduites successives,

est alors le terme général d'une série alternée convergente. Par conséquent :

Les réduites de rangs pairs et impairs constituent deux suites adjacentes, dont la limite commune x vérifie, pour tout indice p :

Enfin, on peut démontrer que

La fraction continue de x est égale à (a_p).

Encadrement de l'erreur d'indice p : La majoration est immédiate, et la minoration vient de

La fraction continue de x est égale à (ap) : La limite x est caractérisée par le fait qu'elle est strictement comprise entre [a0, … , ap] et [a0, … , ap+1], pour tout p. Notons (bj) sa fraction continue et montrons que bp = ap, par récurrence sur p. Soit p un entier naturel, supposons l'égalité acquise pour tous les indices < p (si p est nul, on ne suppose donc rien). Alors, x est strictement compris entre [b0, … , bp–1, ap] et [b0, … , bp–1, ap, ap+1]. Le p quotient complet xp de x est donc strictement compris entre ap et ap + 1/ap+1, si bien que la partie entière bp de xp est égale à ap.

Usages

Les usages des fractions continues sont nombreux. On trouvera par exemple dans Fraction continue et approximation diophantienne les preuves de l'irrationalité de e ou de π, dans Fraction continue d'un irrationnel quadratique un exemple de résolution d'équation de Pell-Fermat ou dans Approximant de Padé un prolongement analytique de la série entière de la fonction tangente. L'usage donné ici ne nécessite pour sa compréhension que les propriétés décrites dans cet article.

Automate planétaire

Christian Huygens construit un automate planétaire pour déterminer les positions relatives des corps célestes du système solaire.

Christian Huygens souhaite construire, à l'aide d'un mécanisme de type horlogerie un automate représentant le mouvement des planètes autour du soleil : « Ayant trouuè et fait executer depuis peu une machine automate qui represente les mouvements des Planetes dont la construction est d'une facon particuliere et assez simple a raison de son effect, au reste d'une grande utlitè a ceux qui estudient ou observent le cours des astres. » La difficulté à laquelle il est confronté est liée au rapport de la durée d'une année terrestre et de celle de Saturne. En un an, la Terre tourne de 359° 45' 40'' 30''' et Saturne de 12° 13' 34'' 18'''. Le rapport est égal à 77 708 431/2 **0 858. Combien faut-il de dents sur les deux engrenages supportant respectivement la Terre et Saturne ?

Huygens sait que les fractions continues offrent le meilleur compromis, ce qu'il exprime ainsi : « Or, lorsqu'on néglige à partir d'une fraction quelconque les derniers termes de la série et celles qui la suivent, et qu'on réduit les autres plus le nombre entier à un commun dénominateur, le rapport de ce dernier au numérateur sera voisin de celui du plus petit nombre donné au plus grand ; et la différence sera si faible qu'il serait impossible d'obtenir un meilleur accord avec des nombres plus petits. »

Un calcul en fraction continue montre que :

On obtient la suite de fractions : 29/1, 59/2, 147/5, 206/7, 1 177/40 ... Les deux premières solutions ne sont guère précises, dans le premier cas, à la fin d'une rotation de Saturne, la position de la terre est fausse à près d'un demi-tour, dans l'autre cas l'erreur dépasse 4°. La cinquième est techniquement difficile, elle demande la fabrication d'une roue à plus de 1 000 dents ou plusieurs roues. La quatrième offre une précision proche de 3/1 000. C'est celle que choisit Huygens.

Si la terre fait cent tours complets, sur l'automate planétaire Saturne en fait 700/206, soit trois tours et un angle de 143° 18'. Dans la réalité, Saturne a tourné de 143° 26'. Soit une erreur de 8 minutes d'angle, largement inférieure aux imprécisions mécaniques de l'horloge. Un calcul analogue montre que la fraction 147/5 donne, dans le même contexte, une erreur supérieure à un degré, pour une mise en œuvre d'une difficulté technique comparable.

Fraction continue généralisée

Un calcul, dans la partie introductive de l'article, montre comment déterminer la fraction continue de π. Néanmoins, chaque étape est plus pénible car elle demande une précision sur la valeur initiale de plus en plus grande. Les séries entières, convergeant vers π, offrent bien une solution théorique pour le calcul de chaque coefficient de la fraction continue, mais il est calculatoirement trop inextricable pour être utilisable. Pour cette raison, il est plus simple d'obtenir une expression en fraction continue généralisée, en autorisant des numérateurs non nécessairement égaux à 1. La première fraction de ce type fut produite par Brouncker :

Une démonstration de cette égalité figure dans l'article « Formule de fraction continue d'Euler », par évaluation au point 1 d'une fraction continue généralisée de la fonction Arctangente. Ainsi, une fraction continue ne s'applique pas uniquement aux nombres, mais aussi à certaines fonctions.

Leonhard Euler calcule le premier développement en fraction continue généralisée d'une fonction.

Fraction continue de e

De même, Euler a développé la fonction exponentielle en une fraction continue de fonctions d'une forme appropriée : de manière à obtenir la fraction continue de e :

在数学中，连分数或繁分数即如下表达式：

这里的是某个整数，而所有其他的数都是正整数，可依样定义出更长的表达式。如果部分分子（partial numerator）和部分分母（partial denominator）允许假定任意的值，在某些上下文中可以包含函数，则最终的表达式是广义连分数。在需要把上述标准形式与广义连分数相区别的时候，可称它为简单或正规连分数，或称为是规范形式的。

例子

连分数常用于无理数的逼近，例如： 由此得到的渐近分数、、、、…… 由此得到黄金分割的渐近分数、、、、、、…… 注意将上述系列的分子分母依序排列均可得到斐波那契数列。 由此得到圆周率的渐近分数、（约率）、、（密率）、、…… 数学上可以证明，由（狭义）连分数得到的渐近分数，在分子或分母小于下一个渐进分数的分数中，其值是最接近精确值的近似值。

动机

一个数的连分数表示是有限的，当且仅当这个数是有理数。

“简单”有理数的连分数表示是简短的。

任何有理数的连分数表示是唯一的，如果它没有尾随的1。（[a0; a1, ... an, 1] = [a0; a1, ... an + 1]）

无理数的连分数表示是唯一的。

连分数的项会循环，当且仅当它是一个二次无理数（即整数系数的二次方程的实数解）的连分数表示。

数x的截断连分数表示很早产生x的在特定意义上“最佳可能”的有理数逼近（参阅下述定理5推论1）。

连分数表示的算法

考虑实数r。设i是r的整数部分，而f是它的小数部分。则r的连分数表示是[i;…]，这里的「…」是1/f的连分数表示。习惯上用分号取代第一个逗号。 要计算实数r的连分数表示，写下r的整数部分（技术上floor）。从r减去这个整数部分。如果差为0则停止；否则找到这个差的倒数并重复。这个过程将终止，当且仅当r是有理数。 找出3.245的连分数 停止 3.245的连分数是[3; 4, 12, 4] 数3.245还可以表示为连分数展开[3; 4, 12, 3, 1]；参见下面的有限连分数。 这个算法适合于实数，但如果用浮点数实现的话，可能导致数值灾难。作为替代，任何浮点数是一个精确的有理数（在现代计算机上分母通常是2的幂，在电子计算器上通常是10的幂），所以欧几里得GCD算法的变体可以用来给出精确的结果。

连分数的表示法

可以把连分数简写作： 或者，用Pringsheim的记法写作： 还有一个有关的记法： 有时使用尖括号，如： 在使用尖括号的时候，分号是可选的。 还可以定义无限简单连分数为极限： 对于正整数a1, a2, a3 ...的任意选择，皆存在此一极限。 或者可以用高斯的记法

有限连分数

所有有限连分数都表示一个有理数，而所有有理数都可以按两种不同的方式表示为有限连分数。这两种表示除了最终项之外都是一致的。在较长的连分数表示，其最终项是1；较短的表示去掉了最后的1，而向新的终项加1。在短表示中的最终项因此大于1，如果短表示至少有两项的话。其符号表示： 例如：

连分数的倒数

有理数的连分数表示和它的倒数除了依据这个数小于或大于1而分别左移或右移一位以外是相同的。换句话说，和互为倒数。这是因为如果是整数，接着如果，则且，而且如果，则且带有最后的数生成对和它的倒数是同样的的连分数的余数。 例如：

无限连分数

所有无限连分数都是无理数，而所有无理数可用一种精确的方式表示为无限连分数。 无理数的无限连分数表示是非常有用的，因为它的初始段提供了对这个数的优异的有理数逼近。这些有理数可以叫做这个连分数的收敛（convergent，也译为“渐进”）。所有偶数编号的收敛都小于最初的数，而奇数编号的收敛都大于它。 对于连分数，前四个收敛（编号到）是 用普通语言来说，第3个收敛的分子是借由第3个商（）乘上第2个收敛的分子，并加上第1个收敛的分子而成。分母的形成也很类似。 如果找到连续的收敛，带有分子和分母，则相关的递归关系是： 连续的收敛由如下公式给出

一些有用的定理

如果a0, a1, a2, ...是正整数的无限串行，递归的定义串行和： 定理1 对于任何正数 定理2 [a0; a1, a2, ...]的收敛以 给出。 定理3 如果对连分数的第n个收敛是，则 推论1：每个收敛都在它的最低的那些项中（如果和有不寻常的公约数，则它可除，这当然是不可能的）。 推论2：在连续的收敛之间的差是单位分数： 推论3：连分数等价于交替（alternating）项的级数： 推论4：矩阵 有确定的正1或负1，因此属于2x2 幺模矩阵的群。 定理4 每个（第s个）都比任何前面（第r个）收敛更接近于后续的（第n个）收敛。用符号来说，如果第n个收敛是，则 对于所有r < s < n。 推论1：奇数收敛（在第n个之前）持续递增而总是小于xn。 推论2：偶数收敛（在第n个之前）持续递减而总是大于xn。 定理5 推论1：任何收敛都比其分母小于这个收敛的分母的任何其他分数更接近于这个连分数。 推论2：立即前导于一个大商的任何收敛都是对这个连分数的接近逼近。

半收敛

最佳有理数逼近

连分数理论在丢番图逼近领域起基础性的作用，可以解决实数的最佳逼近问题，具体可参阅相应主页面。事实上，最初发展连分数理论的动机正是为了解决实数的最佳逼近问题。

连分数历史

公元前300年－欧几里得，《Elements》 - 最大公约数的算法生成一个连分数作为副产品

1579年－Rafael Bombelli,《L'Algebra Opera》 - 与连分数有关的提取平方根的方法

1613年－Pietro Cataldi,《Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri》 - 第一种连分数的记号

1695年－约翰·沃利斯，《Opera Mathematica》 - 介入了术语“连分数”

约1780年－约瑟夫·拉格朗日 - 使用类似于Bombell的连分数提供了佩尔方程的通用解

1748 莱昂哈德·欧拉，《Introductio in analysin infinitorum》. Vol. I, Chapter 18 - 证明了特定形式的连分数和广义无穷级数的等价性

1813年－卡尔·弗里德里希·高斯，《Werke》,第三册, 134-138页 - 通过涉及到超几何级数的一个聪明的恒等式推导出非常一般性的复数值的连分数