L'expression « élément extremum » signifie « élément maximum » ou « élément minimum ».

Dans un ensemble ordonné E, un élément d'une partie A est le plus grand élément ou maximum de A, s'il appartient à A et est supérieur à tout autre élément de A. L'existence d'un maximum n'est en général pas assurée pour toute partie d'un ensemble ordonné. En revanche, sous condition d'existence, un tel élément est unique (ce qui justifie l'emploi de l'article défini « le » dans la définition). De manière analogue, le plus petit élément ou minimum est, s'il existe, un élément de A inférieur à tout autre élément de A.

Généralités

Unicité

Si une partie A de E admet deux maxima, m1 et m2, alors m1 est plus grand que tout élément de A, donc en particulier que m2 ; et de même, m2 est plus grand que m1. Par antisymétrie des relations d'ordre, l'égalité m1 = m2 s'en déduit.

Comparaison avec d'autres notions

D'autres notions relatives aux ensembles ordonnés sont proches de celles de maximum ; les comparer permet de mieux les appréhender :

La notion de majorant : un élément de E est un majorant de A s'il est plus grand que tout élément de A. Ainsi, le maximum (s'il existe) fait partie des majorants ;

La notion de borne supérieure : la borne supérieure de A est le plus petit de tous les majorants de A dans E (la borne supérieure de A est donc définie comme le minimum d'une certaine partie de E et son unicité est garantie mais pas son existence). A admet un maximum si et seulement si sa borne supérieure existe et appartient à A (et dans ce cas, elle est égale au maximum),

ainsi que la notion associée de borne inférieure ;

La notion d'élément maximal : un élément de A est maximal dans A, s'il appartient à A, et n'est inférieur à aucun autre élément de A. Un maximum est toujours un élément maximal, et les deux notions coïncident dans les ensembles munis d'un ordre total.

Un élément m de E est le maximum de A si et seulement si m est la borne supérieure de A et m appartient à A : si A possède un maximum m alors dans E, les majorants de A sont exactement les majorants de m et m est le plus petit d'entre eux donc c'est la borne supérieure de A. Réciproquement, si la borne supérieure de A existe et appartient à A, alors c'est un majorant de A qui appartient à A, donc c'est le maximum de A.

Le maximum, s'il existe, est maximal : si A possède un maximum m alors, pour tout élément a de A, m majore a donc (par antisymétrie de la relation d'ordre) ne lui est pas strictement inférieur, ce qui montre que m est bien maximal dans A.

Si l'ordre est total, tout élément maximal est maximum : on suppose maintenant E muni d'un ordre total. Soit a un élément maximal de A. Soit b un autre élément de A. Alors a n'est pas inférieur à b donc, puisque l'ordre est total, b est inférieur à a. Donc a est bien supérieur ou égal à tout élément de A, donc c'est le maximum de A.

Exemples

Dans l'ensemble N des entiers naturels muni de son ordre usuel, toute partie non vide admet un plus petit élément et toute partie majorée (c'est-à-dire admettant un majorant) est finie donc admet même un maximum. Par exemple N lui-même a pour minimum 0 et n'a pas de maximum.

Dans l'ensemble R des nombres réels muni de son ordre usuel, certaines parties majorées n'admettent pas de plus grand élément, par exemple l'intervalle ]0, 1[ des nombres strictement compris entre 0 et 1.

Dans un ensemble ordonné muni d'un ordre non total, certaines parties admettent des éléments maximaux qui ne sont pas des maxima.

Par exemple dans l'ensemble E = {∅, {0}, {1}, {0, 1}} des parties de l'ensemble {0, 1}, ordonné par l'inclusion, la partie A = {∅, {0}, {1}} admet (un minimum et) deux éléments maximaux non comparables donc pas de maximum (seulement une borne supérieure : {0, 1}, qui n'appartient pas à A).

Extrema d'une fonction

Le maximum d'une fonction f définie sur un ensemble E et à valeurs dans un ensemble F ordonné est le maximum de l'ensemble des valeurs prises par f (de la partie f(E) de F). Ainsi m est le maximum de f s'il existe un élément a de E tel que f(a) = m et tel que pour tout élément x de E, f(x) ≤ f(a) ; l'élément a (qui n'est pas nécessairement unique) est appelé point de maximum de f.

Dans le cas où l'espace de départ de f est muni d'une structure topologique (par exemple si f est une fonction d'une ou plusieurs variables réelles à valeurs réelles), on distingue deux types d'extrema : les extrema globaux, qui correspondent à la définition précédente, et les extrema locaux.

Extremum local d'une fonction

Soient une fonction f définie sur un espace topologique E et a un point de E. On dit que f atteint en a un maximum local s'il existe un voisinage V de a tel que pour tout élément x de V, on ait f(x) ≤ f(a).

On dit alors que f(a) est un « maximum local » de f sur E et que a est un point de maximum local de f.

Lorsqu'il existe un voisinage V de a tel que pour tout élément x de V différent de a, on ait f(x) < f(a), on dit que f atteint en a un maximum local strict.

Théorèmes topologiques d'existence d'extrema globaux

Soit une fonction , où D est un espace topologique. Par exemple, D peut être une partie de R (cas d'une fonction d'une variable réelle), ou d'un espace R, avec k un entier naturel (cas d'une fonction de k variables réelles).

L'existence d'extrema globaux est assurée dès lors que la fonction f est continue et que la partie D est compacte : en effet, l'image f(D) est alors une partie compacte de l'espace d'arrivée R ; en tant que partie bornée de R, elle admet une borne supérieure, et cette borne supérieure est dans f(D) puisque cette partie est fermée.

En dimension k = 1, c'est en particulier le cas si I est un intervalle fermé borné, c'est-à-dire de la forme [a, b] (voir Théorème des bornes). En dimension supérieure k, c'est en particulier le cas si D est une boule fermée (de la forme , où désigne une norme sur R).

Méthodes issues du calcul différentiel pour la recherche d'extrema locaux.

Soit une fonction , où D est une partie ouverte de R ; par exemple, dans le cas d'une variable réelle, D peut être un intervalle ouvert de la forme ]a, b[ (avec a et b des nombres réels, ou , ou ).

Si la fonction f atteint un extremum local en un point a où elle est différentiable, alors toutes ses dérivées partielles s'annulent en a ; en particulier, dans le cas d'une fonction d'une seule variable, le nombre dérivé de f en a est nul.

Pour cette raison, l'étude des extrema passe souvent par la recherche des points d'annulation de la dérivée, appelés points critiques de f. Un point critique n'est pas nécessairement un point d'extremum, comme le montre l'exemple de la fonction

au point 0. On peut, cependant, sous certaines hypothèses supplémentaires, affirmer qu'un point critique est un point d'extremum.

Cas d'une fonction d'une variable

Condition suffisante pour un extremum local :

Si f est dérivable sur I, et si est un point intérieur à I où la dérivée de f s'annule en changeant de signe, alors f atteint un extremum local en . Plus précisément, en supposant  :

S'il existe réel strictement positif tel que

et sur , sur ,

alors f atteint un maximum local en .

S'il existe réel strictement positif tel que

et sur , sur ,

alors f atteint un minimum local en .

Remarque

La condition nécessaire pour un extremum local ne s'applique pas aux bornes de l'intervalle. Par exemple, la fonction

admet deux extremums globaux (a fortiori locaux), atteints en 0 et 1. Par ailleurs, elle est dérivable et sa dérivée ne s'annule en aucun point.

Cas des fonctions de plusieurs variables

Condition suffisante pour un extremum local :

On suppose ici que A est un ouvert, et que f est deux fois dérivable en un point de A. La (matrice) hessienne de f en est notée ; elle est symétrique réelle. Si et si est définie négative, alors f atteint un maximum local strict en . Si et si est définie positive, alors f atteint un minimum local strict en . Rappel : par définition, la hessienne de f en est la matrice carrée d'ordre n ayant pour élément en ligne i et colonne j. Comme f est deux fois dérivable en , il résulte du théorème de Schwarz sur les dérivées partielles d'ordre 2 que la hessienne en est symétrique.

Cas des fonctions de plusieurs variables avec contraintes

Les conditions d'optimalité de ces problèmes sont présentées ailleurs.

Fonction optimum de deux fonctions

Les fonctions minimum et maximum de deux fonctions peuvent être définies à l'aide de valeurs absolues :

Portail des mathématiques

在数学中，极大值与极小值（又被称为极值）是指在一个域上函数取得最大值（或最小值）的点的函数值。而使函数取得极值的点（的横坐标）被称作极值点。这个域既可以是一个邻域，又可以是整个函数域（这时极值称为最值）。

定义

局部最大值：如果存在一个ε > 0，使的所有满足|x-x| < ε的x都有f(x)≥ f(x)我们就把点x对应的函数值f(x)称为一个函数f的局部最大值。从函数图像上看，局部最大值就像是山顶。

局部最小值：如果存在一个ε > 0，使的所有满足|x-x| < ε的x都有f(x)≤ f(x)我们就把点x对应的函数值f(x)称为一个函数f的局部最小值。从函数图像上看，局部最小值就像是山谷的底部。

全局（或称‘绝对’）最大值：如果点x对于任何x都满足f(x)≥ f(x)，则点f(x)称为全局最大值。

全局（或称‘绝对’）最小值：如果点x对于任何x都满足f(x)≤ f(x)，则点f(x)称为全局最小值。

求极值的方法

求全局极值是最优化方法的目的。对于一元二阶可导函数，求极值的一种方法是求驻点（亦称为静止点，停留点，英语：stationary point），也就是求一阶导数为零的点。如果在驻点的二阶导数为正，那幺这个点就是局部最小值；如果二阶导数为负，则是局部最大值；如果为零，则还需要进一步的研究。 一般地，如果在驻点处的一阶、二阶、三阶……直到N阶导数都是零，而N+1阶导数不为零，则当N奇数且N+1阶导数为正时，该点为极小值；当N是奇数且N+1阶导数为负时，该点为极大值；如果N是偶数，则该点不是极值。 如果这个函数定义在一个有界区域内，则还要检查局域的边界点。如果函数在定义域内存在不可导点，则这些不可导点也可能是极值点。

例子

函数有惟一最小值，在x = 0　处取得。

函数没有最值，也没有极值，尽管其一阶导数在x = 0处也为0。因为其二阶导数(6x)在该点也是0，但三阶导数不是零。

函数cos(x)有无穷多个最大值，在x =0, ±2π, ±4π, ...，与无穷多个最小值　在x =±π, ±3π ... .

多变量函数

对于多变量函数（多元函数），同样存在在极值点的概念。其定义为： 设f(P)在点P0某领域U(P0)内有定义，若对于所有P0的去心邻域的点P，都有f(P)