La perpendicularité (du latin per-pendiculum, « fil à plomb ») est le caractère de deux entités géométriques qui se coupent à angle droit. La perpendicularité est une propriété importante en géométrie et en trigonométrie, branche des mathématiques fondée sur les triangles rectangles, dotés de propriétés particulières grâce à leurs deux segments perpendiculaires.

En géométrie plane, deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. La notion de perpendicularité s'étend à l'espace pour des droites ou des plans.

Les notions d'orthogonalité et de perpendicularité, quoique voisines, possèdent leurs spécificités propres et ne doivent pas être confondues.

En géométrie plane

Le segment PQ en bleu est perpendiculaire au segment AB : 1. prendre un compas, 2. piquer la pointe sèche du compas sur P et tracer l'arc de cercle en rouge (le rayon du cercle en rouge est un peu plus grand que la distance du point P au segment AB). 3. En gardant la même ouverture au compas, piquer la pointe sèche du compas sur A' et tracer l'arc de cercle en vert. 4. Toujours en gardant la même ouverture au compas, piquer la pointe sèche sur B' et tracer l'arc de cercle en vert. 5. Les deux arcs en vert se rencontrent au points Q et P. 6. Prendre une règle. 7. Tracer le segment PQ.

En géométrie euclidienne plane, deux droites non parallèles sont toujours sécantes. Lorsqu'elles se coupent en formant un angle droit (i.e. quatre angles droits), elles sont dites perpendiculaires. Les directions des droites étant orthogonales, les droites sont dites aussi orthogonales. En revanche, deux segments peuvent avoir des directions orthogonales sans pour autant se couper. Ce n'est que si les segments se coupent en angle droit qu'ils seront dits perpendiculaires.

Dans le plan, par un point donné, ne passe qu'une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.

Dans le plan, les notions de droites perpendiculaires et parallèles sont liées par les propriétés suivantes :

Si deux droites sont perpendiculaires, toute droite parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.

Droites perpendiculaires : le produit de leur pente (ou taux de variation) est égal à -1.

Si le plan est muni d'un repère orthonormal, et si les droites sont définies par les équations et . Les droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs aa' est égal à -1.

Si le plan est muni d'un repère orthonormal et si les droites sont définies par les équations et , les droites sont perpendiculaires si et seulement si .

On note la perpendicularité avec le symbole ; ainsi, indique que les segment PQ est perpendiculaire au segment AB

Dans l'espace

Droites perpendiculaires

Deux droites de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si elles se coupent en formant un angle droit. Dans l'espace, des droites, non parallèles, peuvent ne pas se couper. Si une des droites est parallèle à une droite perpendiculaire à l'autre alors les deux droites sont dites orthogonales. Elles ne seront dites perpendiculaires que si elles sont sécantes.

Dans l'espace, si une droite est donnée et si un point non situé sur la droite est donné, il n'existe qu'une seule droite passant par le point donné et perpendiculaire à la droite donnée. Si le point est situé sur la droite, il existe une infinité de droites passant par ce point et perpendiculaire à la droite donnée.

Dans l'espace, les notions de parallèles et de perpendiculaires ne sont plus aussi liées.

Si deux droites sont perpendiculaires, toute droite parallèle à l'une est seulement orthogonale à l'autre. Elle ne sera perpendiculaire à l'autre que si elle la coupe.

Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est seulement orthogonale à l'autre. Elle ne sera perpendiculaire à l'autre que si elle la coupe

Deux droites peuvent être perpendiculaires à une même droite sans pour autant être parallèles, il suffit par exemple de prendre les trois droites supportant les arêtes du coin d'un cube.

Droite perpendiculaire à un plan

Dans l'espace, si une droite n'est pas parallèle à un plan, elle coupe toujours ce plan. Si la droite est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan, on dira que la droite est perpendiculaire au plan. La droite sera alors orthogonale à toutes les droites du plan.

Dans l'espace, par un point donné ne passe qu'une seule droite perpendiculaire à un plan donné et qu'un seul plan perpendiculaire à une droite donnée.

On retrouve alors des relations plus intéressantes sur perpendiculaires et parallèles

Si une droite est perpendiculaire à un plan, toute droite parallèle à la première est aussi perpendiculaire au plan, tout plan parallèle au premier plan est aussi perpendiculaire à la droite

Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.

Si deux plans sont perpendiculaires à une même droite, ils sont parallèles. De même, si deux droites sont perpendiculaires à une même plan, elles sont parallèles.

La direction perpendiculaire à une surface en un point est souvent appelée la direction normale à la surface, ou encore orthogonale.

Plans perpendiculaires

La notion de plans perpendiculaires, bien qu'intuitive, est très dangereuse car elle ne possède pratiquement aucune propriété. Pour comprendre la notion de plans perpendiculaires, il faut revenir à la définition première de perpendiculum (fil à plomb) et à la notion de plan vertical et plan horizontal. Un plan horizontal est un plan perpendiculaire à la direction du fil à plomb. Un plan vertical est un plan contenant la direction du fil à plomb. Un plan vertical est dit alors perpendiculaire au plan horizontal.

De cette notion première naît la définition suivante : Un plan est perpendiculaire à un autre, s'il contient une droite perpendiculaire au second plan. On démontre que cette relation est symétrique.

Il n'existe pas de notion de plans orthogonaux en dimension 3. Deux plans seraient orthogonaux si toute direction du premier plan était orthogonale à toute direction du second plan, ce qui est matériellement impossible.

Il faut se méfier de la notion de plans perpendiculaires. Par exemple :

deux plans perpendiculaires peuvent contenir des droites parallèles

deux plans perpendiculaires à un troisième ne sont pas forcément parallèles (voir les faces du cube).

Il reste cependant quelques propriétés

Si deux plans sont perpendiculaires, un plan parallèle à l'un est perpendiculaire à l'autre

Si deux plans sont parallèles, un plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.

Notion générale de sous-espaces perpendiculaires en géométrie euclidienne

Dans un espace euclidien, deux sous-espaces vectoriels sont dits orthogonaux quand tout vecteur de l'un est orthogonal à tout vecteur de l'autre. Ils sont alors automatiquement en somme directe. Ainsi deux plans de l'espace euclidien à trois dimensions ne peuvent être orthogonaux.

Deux sous-espaces vectoriels sont dits perpendiculaires quand ce sont leurs supplémentaires orthogonaux qui sont orthogonaux. Ainsi deux plans vectoriels de l'espace à trois dimensions sont perpendiculaires quand leurs droites normales sont orthogonales.

Portail de la géométrie

图一　直线AB与直线CD垂直，因为它们相交所构成的两个角（分别以橙色和蓝色表示）相等。

垂直是一个几何术语。在平面几何中，如果一条直线与另一条直线相交，且它们构成的任意相邻两个角相等，那幺这两条直线相互垂直。术语“垂直”（垂直符号：⊥）衍生一个形容词（垂直）或者名词（垂线）。因此，根据图一，直线AB通过B点与直线CD相互垂直。像图一这样，如果一条直线与另一条直线垂直，那幺它们构成的两个角称为直角，或者90°角。

垂足指两条互相垂直的线相交的点。

垂直的概念对线段和射线也通用，只需看一者所在的直线是否与另一者所在的直线垂直就可以了。如图一中，线段AB和线段CD相互垂直。甚至线段AB的一端不一定要在线段CD上（即可定向伸缩），它们仍被认为是垂直的。

空间几何中，有直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的垂直关系。垂直可以看做是欧几里得空间（或内积空间）中的正交关系在二维和三维空间中的特例。

解析几何中的垂直

只要没有一条是竖直（斜率=∞）的，那幺和就是这两条直线的斜率。当且仅当直线和的斜率的积为-1时，即时，这两条直线在这个平面垂直。

除此之外，若有一条直线是竖直的，那幺另一条直线与它垂直当且仅当其斜率为0。

空间几何中的垂直

直线与直线的垂直：在三维空间中，判断两条直线之间的垂直关系比在平面上要困难。过其中一条直线作平行于另一条直线的平面，将另一条直线投影到这个平面上。如果这个投影与第一条直线垂直，那幺就说两条直线垂直。

直线与平面的垂直：一条直线与一个平面垂直当且仅当它与平面中的每一条直线都垂直。一个等价的说法是两者垂直当且仅当直线平行于平面的法矢量。

平面与平面的垂直：两个平面相互垂直当且仅当它们的法矢量相互垂直。一个更几何的方法是看两个平面的交线（如果没有说明两平面平行）。选择一个平面，过两平面交线上的一点作一条垂直于交线并在平面中的直线，如果这条直线与另一个平面垂直，那幺两平面垂直。

垂线的作图

步骤一（红色）：以点P为圆心作一个圆交直线AB于点A'和B'，点A'和B'与点P等距。

步骤二（绿色）：以点A'和B'为圆心，以PA'和PB'为半径作圆。令两圆的另一交点为Q。

步骤三（蓝色）：连接PQ以作出所求垂线。