Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π.

Pi est un nombre, que l’on représente par la lettre grecque du même nom : π. C’est le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. On peut également le définir comme le rapport de la superficie d’un cercle au carré de son rayon.

Sa valeur approchée par défaut à moins de 0,5×10 près est 3,141 592 653 589 793 en écriture décimale.

De nombreuses formules, de physique, d’ingénierie et bien sûr de mathématiques, impliquent π, qui est une des constantes les plus importantes des mathématiques.

Le nombre π est irrationnel, c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. C’est même un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont π soit une racine.

La détermination d’une valeur approchée suffisamment précise de π, et la compréhension de sa nature sont des enjeux qui ont traversé l’histoire des mathématiques ; la fascination exercée par ce nombre l’a même fait entrer dans la culture populaire.

L’usage de la lettre grecque π, première lettre de « περίμετρος » — périmètre en grec —, n’est apparu qu’au XVIII siècle. Auparavant, sa valeur était désignée par diverses périphrases comme la « constante du cercle » ou son équivalent dans diverses langues.

Définition et premières propriétés

Définition

On déduit d’une propriété analogue pour les polygones réguliers que l’aire d’un disque égale son demi-périmètre multiplié par son rayon.

Dans les dictionnaires et ouvrages généralistes, π est défini comme le rapport, constant dans le plan usuel qu'est le plan euclidien, entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Ce rapport ne dépend pas du cercle choisi, en particulier de sa taille. En effet, tous les cercles sont semblables et pour passer d’un cercle à un autre il suffit de connaître le rapport de la similitude. Par suite, pour tout réel positif k, si un cercle possède un rayon r (ou un diamètre d = 2r) k fois plus grand qu’un autre, alors son périmètre P sera aussi k fois plus grand, ce qui prouve la constance du rapport

π = P/(2r) = P/d.

Par ailleurs, cette même similitude multipliera l’aire A par le carré de k, ce qui prouve maintenant que le rapport A/r est constant

π = A/r.

On peut montrer que cette constante vaut également π. Le dessin ci-contre illustre ce phénomène : le périmètre du polygone vaut à peu près 2πr alors qu’en redistribuant les triangles formés on remarque que son aire vaut à peu près πr. Pour formaliser le « à peu près », il faudrait faire tendre le nombre de côtés du polygone vers l’infini, ce qui illustre déjà la nature « analytique » de π.

Il s’avère que cette définition géométrique, historiquement la première et très intuitive, n’est pas la plus directe pour les mathématiciens quand ils veulent définir π en toute rigueur. Les ouvrages plus spécialisés définissent π par l’analyse réelle à l’aide des fonctions trigonométriques elles-mêmes introduites sans référence à la géométrie (voir plus bas).

Autres définitions

Un choix fréquent est de définir π comme le double du plus petit nombre positif x tel que cos(x) = 0, où cos est définie comme la partie réelle de l’exponentielle complexe.

Une autre définition est envisageable en considérant les propriétés exp(z + w) = exp(z).exp(w) et exp(0) = 1 qui découlent de la définition analytique de l’exponentielle et qui font que l’application t ↦ exp(it) est un morphisme de groupes continu du groupe (ℝ, +) vers le groupe ( U , × ) {\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {U} ,\times )} (où U {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {U} } est l’ensemble des complexes de module égal à 1). On démontre alors que l’ensemble des nombres réels t tels que exp(it) = 1 est de la forme aℤ où a est un réel strictement positif. On pose alors π = a/2. Le calcul intégral permet ensuite de vérifier que cette définition abstraite correspond bien à celle de la géométrie euclidienne.

Le groupe Bourbaki propose une autre définition très voisine en démontrant l’existence d’un morphisme de groupe f continu de (ℝ, +) vers ( U , × ) {\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {U} ,\times )} tel que f(1/4) = i. Il démontre que ce morphisme est périodique de période 1, dérivable et qu’il existe un réel a tel que, pour tout réel x, f' (x) = 2ia f(x). Il définit π comme le réel ainsi trouvé.

Les deux méthodes précédentes consistent en réalité à calculer le périmètre du cercle, qu’on a défini par la fonction t ↦ exp(it), ou la fonction t ↦ exp(2iπt).

Mais on peut aussi définir π grâce au calcul intégral en posant : π 4 = ∫ 0 1 1 − x 2 d x {\displaystyle {\pi \over 4}=\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ {\rm {d}}x} ce qui revient à calculer (par exemple comme limite de sommes de Riemann) l’aire d’un quart de disque de rayon 1.

Ou bien à l’aide du dénombrement, en appelant φ ( n ) {\displaystyle \scriptstyle \varphi (n)} le nombre de couples d’entiers naturels (k, p) tels que k + p ≤ n et en définissant : π 4 = lim n → ∞ φ ( n ) n 2 , {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{2}}},} ce qui est une autre méthode pour calculer la surface du quart de disque.

Irrationalité

Le nombre π est irrationnel, ce qui signifie qu’on ne peut pas écrire π = p/q où p et q seraient des nombres entiers. Al-Khawarizmi, au IX siècle, est persuadé que π est irrationnel. Moïse Maïmonide fait également état de cette idée durant le XII siècle. Ce n’est cependant qu’au XVIII siècle que Johann Heinrich Lambert prouve ce résultat.

Ce dernier expose en 1761, dans son ouvrage Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques, un développement en fraction continue généralisée de la fonction tangente. Il en déduit qu'un développement de tan(m/n), avec m et n des nombres entiers non nuls, s’écrit : tan ⁡ ( m n ) = m ∣ ∣ n − m 2 ∣ ∣ 3 n − m 2 ∣ ∣ 5 n − m 2 ∣ ∣ 7 n + ⋯ {\displaystyle \tan \left({\frac {m}{n}}\right)={\frac {m\mid }{\mid n}}\frac {m^{2}\mid }{\mid 3n}}\frac {m^{2}\mid }{\mid 5n}}\frac {m^{2}\mid }{\mid 7n}}+\cdots }

Avec la notation d'Alfred Pringsheim où :

${\displaystyle b_{0}+{\frac {a_{1}\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid b_{2}}}+{\frac {a_{3}\mid }{\mid b_{3}}}+\cdots \quad }$

désigne la fraction continue:

${\displaystyle b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{\ddots \,}}}}}}}}}$

Or, on sait que sous certaines hypothèses — vérifiées ici — un développement en fraction continue généralisée représente un irrationnel, donc quand x est un rationnel non nul, tan(x) est irrationnel. Or, tan(π) vaut 0 ; c’est un rationnel. Par contraposition, cela prouve que π n’est pas rationnel.

Au cours du XX siècle, d’autres démonstrations furent trouvées, celles-ci ne demandant pas de connaissances plus avancées que celle du calcul intégral. L’une d’entre elles, due à Ivan Niven, est très largement connue. Une preuve similaire, version simplifiée de celle de Charles Hermite, avait été trouvée quelque temps auparavant par Mary Cartwright.

Transcendance

Le nombre π est même transcendant, c'est-à-dire non algébrique : il n'existe pas de polynôme à coefficients rationnels dont π soit une racine.

C'est au XIX siècle que ce résultat est démontré. En 1873, Hermite prouve que la base du logarithme népérien, le nombre e, est transcendant. En 1882, Ferdinand von Lindemann généralise son raisonnement en un théorème (le théorème d'Hermite-Lindemann) qui stipule que, si x est algébrique et différent de zéro, alors e est transcendant. Or e est algébrique (puisqu'il est égal à -1). Par contraposition, iπ est transcendant, donc comme i est algébrique, π est transcendant.

Une conséquence importante de la transcendance de π est que celui-ci n'est pas constructible. En effet, le théorème de Wantzel énonce en particulier que tout nombre constructible est algébrique. En raison du fait que les coordonnées de tous les points pouvant se construire à la règle et au compas sont des nombres constructibles, la quadrature du cercle est impossible ; autrement dit, il est impossible de construire, uniquement à la règle et au compas, un carré dont la superficie serait égale à celle d'un cercle donné.

Représentation décimale

Les 16 premiers chiffres de l’écriture décimale de π sont 3,141 592 653 589 793 (voir les liens externes pour davantage de décimales).

Alors qu’en 2007, on connaissait déjà plus de 10 décimales de π, de nombreuses applications concrètes, comme l’estimation de la circonférence d’un cercle, n’ont besoin que d’une dizaine de chiffres. Par exemple, la représentation décimale de π tronquée à 39 décimales est suffisante pour estimer la circonférence d’un cercle dont les dimensions sont celles de l’univers observable avec une précision comparable à celle du rayon d’un atome d’hydrogène.

Étant donné que π est un nombre irrationnel, sa représentation décimale n’est pas périodique et ne prend pas fin. La séquence des décimales de π a toujours fasciné les mathématiciens professionnels et amateurs, et beaucoup d’efforts ont été mis en œuvre afin d’obtenir de plus en plus de décimales et d’en rechercher certaines propriétés, comme l'occurrence de nombres premiers dans les concaténations de ses décimales (voir la section d'article Nombre premier issu de troncature de constante.)

Malgré les importants travaux d’analyse effectués et les calculs qui ont réussi à déterminer plus de 200 milliards de décimales de π, aucun modèle simple n’a été trouvé pour décrire la séquence de ces chiffres. Les chiffres de la représentation décimale de π sont disponibles sur de nombreuses pages web, et il existe des logiciels de calcul des décimales de π qui peuvent en générer des milliards et qu’on peut installer sur un ordinateur personnel.

Par ailleurs, le développement décimal de π ouvre le champ à d’autres questions, notamment celle de savoir si π est un nombre normal, c’est-à-dire que ses chiffres en écriture décimale sont équirépartis. On peut aussi se demander si π est un nombre univers, ce qui signifie qu’on pourrait trouver dans son développement décimal n’importe quelle suite finie de chiffres. En 2006, il n’existait pas de réponse à ces questions.

Représentation fractionnaire

Les fractions de nombres entiers suivantes sont utilisées pour mémoriser ou approcher pi dans des calculs (nombre de chiffres significatifs exacts entre parenthèses) : ${\displaystyle {\frac {3}{1}}~(1),\qquad {\frac {22}{7}}~(3),\qquad {\frac {333}{106}}~(5),\qquad {\frac {355}{113}}~(7),\qquad {\frac {103993}{33102}}~(9),\qquad {\frac {104348}{33215}}~(10)\ldots }$

Voir ci-dessous pour d’autres approches fractionnaires (Histoire, Approximation numérique, fractions continues et Mémorisation de π).

Approximation de π

On peut trouver une valeur approchée de π de façon empirique, en traçant un cercle, puis en mesurant son diamètre et sa circonférence, puis en divisant la circonférence par le diamètre. Une autre approche géométrique, attribuée à Archimède, consiste à calculer le périmètre Pn d’un polygone régulier à n côtés et à mesurer le diamètre d de son cercle circonscrit, ou celui de son cercle inscrit. Plus le nombre de côtés du polygone est grand, meilleure est la précision obtenue pour la valeur de π.

Archimède a utilisé cette approche en comparant les résultats obtenus par la formule en utilisant deux polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, pour lesquels le cercle est pour l’un circonscrit et pour l’autre inscrit. Il a réussi, avec un polygone à 96 côtés, à déterminer que 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7.

On peut également obtenir des valeurs approchées de π en mettant en œuvre des méthodes plus modernes. La plupart des formules utilisées pour calculer π se basent sur la trigonométrie et le calcul intégral. Cependant, certaines sont particulièrement simples, comme la formule de Leibniz : π = 4 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 2 k + 1 = 4 1 − 4 3 + 4 5 − 4 7 + 4 9 − 4 11 ⋯ . {\displaystyle \pi =4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}={\frac {4}{1}}\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}\frac {4}{11}}\cdots .\!}

Cette série converge si lentement que près de 200 termes sont nécessaires pour calculer π avec deux décimales exactes. Cependant, il est possible de définir une suite similaire qui converge vers π beaucoup plus rapidement, en posant : π 0 , 1 = 4 1 , π 0 , 2 = 4 1 − 4 3 , π 0 , 3 = 4 1 − 4 3 + 4 5 , π 0 , 4 = 4 1 − 4 3 + 4 5 − 4 7 , ⋯ {\displaystyle \pi _{0,1}={\frac {4}{1}},\ \pi _{0,2}={\frac {4}{1}}\frac {4}{3}},\ \pi _{0,3}={\frac {4}{1}}1}}\right)} où k est un nombre impair, et a, b, c sont des nombres rationnels.

En août 2010, le record est à nouveau battu par deux informaticiens (un japonais et un américain) avec 5 000 milliards de décimales.

Le 8 octobre 2014, le nouveau record est 13 300 milliards de décimales.

Utilisation en mathématiques et en sciences

Géométrie

π apparaît dans de nombreuses formules de géométrie impliquant les cercles et les sphères :

Forme géométrique Formule Circonférence d’un cercle de rayon r et de diamètre d C = 2 π r = π d {\displaystyle C=2\pi r=\pi d\,\!} Aire d’un disque de rayon r A = π r 2 = π d 2 4 {\displaystyle A=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!} Aire d’une ellipse de demi-axes a et b A = π a b {\displaystyle A=\pi ab\,\!} Volume d’une boule de rayon r V = 4 3 π r 3 = π d 3 6 {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi d^{3}}{6}}\,\!} Aire surfacique d’une sphère de rayon r A = 4 π r 2 = π d 2 {\displaystyle A=4\pi r^{2}=\pi d^{2}\,\!} Volume d’un cylindre de hauteur h et de rayon r V = π r 2 h {\displaystyle V=\pi r^{2}h\,\!} Aire surfacique d’un cylindre de hauteur h et de rayon r A = 2 ( π r 2 ) + ( 2 π r ) h = 2 π r ( r + h ) {\displaystyle A=2(\pi r^{2})+(2\pi r)h=2\pi r(r+h)\,\!} Volume d’un cône de hauteur h et de rayon r V = 1 3 π r 2 h {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h\,\!} Aire surfacique d’un cône de hauteur h et de rayon r A = π r r 2 + h 2 + π r 2 = π r ( r + r 2 + h 2 ) {\displaystyle A=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})\,\!}

π se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de trois dimensions).

Nombres complexes

La formule d’Euler illustrée dans le plan complexe. Une augmentation de l’angle φ de π radians (180°) donne l’identité d’Euler.

Un nombre complexe z peut s’exprimer en coordonnées polaires de la façon suivante : z = r ⋅ ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ ) {\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +{\rm {i}}\sin \varphi )}

L’apparition fréquente de π en analyse complexe a pour origine le comportement de la fonction exponentielle complexe, décrite par la formule d’Euler : e i φ = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ {\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}\varphi }=\cos \varphi +{\rm {i}}\sin \varphi } où i est l’unité imaginaire satisfaisant la relation i = −1 et e ≈ 2.71828 est la constante de Néper. Cette formule implique que les puissances imaginaires de e décrivent des rotations sur le cercle unité du plan complexe ; ces rotations ont une période de 360° = 2π rad. En particulier, une rotation de 180° = π rad donne l’identité d'Euler e i π = − 1 et donc e i π + 1 = 0. {\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi }=-1{\text{ et donc }}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi }+1=0.}

Cette formule a été qualifiée de « formule la plus remarquable des mathématiques » par Richard Feynman, car elle réunit en seulement 7 caractères l’addition, la multiplication, l’exponentiation, l’égalité et les constantes remarquables 0, 1, e, i et π.

Suites et séries

De nombreuses suites ou séries convergent vers π ou un multiple rationnel de π et sont même à l’origine de calculs de valeurs approchées de ce nombre.

Méthode d’Archimède

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }\left(n\sin \left({\pi \over n}\right)\right)=\lim _{n\to \infty }\left(n\tan \left({\pi \over n}\right)\right)}$

Les deux suites définies par sn = n sin(π/n) et tn = n tan(π/n), n ≥ 3, représentent les demi-périmètres des polygones réguliers à n côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique pour sn, exinscrit pour tn. On les exploite par des suites extraites dont l’indice (le nombre de côtés du polygone) double à chaque itération, pour obtenir π par passage à la limite d’expressions utilisant les opérations arithmétiques élémentaires et la racine carrée. Ainsi, on peut s’inspirer de la méthode utilisée par Archimède — voir historique du calcul de π — pour donner une définition par récurrence des suites extraites de termes s2 et t2 ou encore s3.2 et t3.2, à l’aide des identités trigonométriques usuelles : t 2 n = 2 s n ⋅ t n s n + t n t 3 = 3 3 t 4 = 4 s 2 n = s n ⋅ t 2 n s 3 = 3 3 2 s 4 = 2 2 . {\displaystyle {\begin{array}{lll}t_{2n}=2{s_{n}\cdot t_{n} \over s_{n}+t_{n}}&t_{3}=3{\sqrt {3}}&t_{4}=4\\s_{2n}={\sqrt {s_{n}\cdot t_{2n}}}&s_{3}={3{\sqrt {3}} \over 2}&s_{4}={2{\sqrt {2}}}\,.\end{array}}} (voir pour t2n identité trigonométrique#Formules d'angle moitié -- seconde formule, et pour s2n, 2sin α/2 = sin α tan α/2 qui se déduit de identité trigonométrique#Formules d'angle double -- première formule).

En utilisant directement les identités trigonométriques 2sin(x/2) = √2 – 2cos(x) et 2cos(x/2) = √2 + 2cos(x) (x ∈ [0, π]), on peut exprimer s2 et s3×2 (pour k ≥ 1), puis π (par passage à la limite) sous forme de formules où s’emboîtent des racines carrées : π = lim k → ∞ ( 2 k ⋅ 2 − 2 + 2 + 2 + ⋯ 2 + 2 ) {\displaystyle \pi =\lim _{k\to \infty }\left(2^{k}\cdot {\sqrt {2\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}}}\right)} (k est le nombre de racines carrées) ou encore : π = lim k → ∞ ( 3 ⋅ 2 k − 1 ⋅ 2 − 2 + 2 + ⋯ 2 + 2 + 3 ) {\displaystyle \pi =\lim _{k\to \infty }\left(3\cdot 2^{k-1}\cdot {\sqrt {2\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}}}\right)} Les deux formules trigonométriques se démontrent simplement géométriquement par le théorème de Pythagore, aussi le même raisonnement peut-il se faire directement sur les suites sn et tn vues comme demi-périmètres de polygones réguliers, sans référence à la trigonométrie.

Une autre expression de s2, qui peut se déduire simplement de la première de ces deux égalités (multiplier par √2+√…), conduit au produit infini suivant (formule de François Viète, 1593) : π 2 = 2 2 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ 2 2 + 2 + 2 ⋅ ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}\cdot \cdots }

Sommes et produits infinis

1 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ + ( − 1 ) k 2 k + 1 + ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 2 k + 1 = π 4 {\displaystyle {\frac {1}{1}}B_{n} \over 2}\right)^{2}\end{array}}} ; on a : π = lim n → ∞ ( A n + B n ) 2 4 ⋅ C n {\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\left(A_{n}+B_{n}\right)^{2} \over 4\cdot C_{n}}} Le nombre de décimales correctes (en base 10) double presque à chaque itération. Fonction zêta de Riemann ζ ( 2 ) = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ + 1 k 2 + ⋯ = π 2 6 {\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{k^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}} (Euler) ζ ( 4 ) = 1 1 4 + 1 2 4 + 1 3 4 + 1 4 4 + ⋯ + 1 k 4 + ⋯ = π 4 90 {\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots +{\frac {1}{k^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}} , Plus généralement, Euler démontra que ζ(2n) est un multiple rationnel de π pour tout entier positif n. Suite logistique Soit (xn) la suite des itérés de la fonction logistique de paramètre μ = 4 appliquée à un réel x0 choisi dans l’intervalle [0, 1] (c’est-à-dire qu’on définit, pour tout n ≥ 0, x n + 1 = 4 x n ( 1 − x n ) {\displaystyle x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n})} ). La suite (xn) quitte l’intervalle [0, 1] et diverge pour quasiment toutes les valeurs initiales. On a lim n → ∞ 1 n ∑ i = 0 n x i = 2 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n}{\sqrt {x_{i}}}={\frac {2}{\pi }}\quad } pour presque toutes les valeurs initiales x0. Intégrale Le nombre π apparait également comme étant le double de la limite du sinus intégral à l’infini : 2 ∫ 0 ∞ sin ⁡ x x d x = π . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x=\pi .} Probabilités et statistiques En probabilités et en statistiques, il existe de nombreuses lois qui utilisent la constante π, dont : la loi normale d’espérance μ et d’écart type σ, dont la densité de probabilité s’écrit : f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) {\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,{\rm {e}}^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}} la loi de Cauchy, dont la densité de probabilité est : f ( x ) = 1 π ( 1 + x 2 ) . {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.} Les deux formules suivantes, tirées de l’analyse, trouvent des applications pratiques en probabilités. L’une permet de montrer la convergence de la loi binomiale vers la loi de Gauss et l’autre permet de calculer la densité d’une loi de Gauss. n ! = Γ ( n + 1 ) ≈ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n!=\Gamma (n+1)\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\rm {e}}}\right)^{n}} (formule de Stirling) ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\rm {e}}^{-x^{2}}{\rm {d}}x={\sqrt {\pi }}.} D’autre part, il existe diverses expériences probabilistes où π intervient dans la probabilité théorique. Elles peuvent donc servir, en effectuant un grand nombre d’épreuves, à déterminer une approximation de π. L’aiguille de Buffon est une expérience de probabilité proposée par Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon et consistant à calculer la probabilité qu’une aiguille de longueur a, lancée sur une parquet fait de lattes de largeur L, soit à cheval sur deux lattes, cette probabilité p est : p = 2 a π × L , {\displaystyle p={\frac {2a}{\pi \times L}},} même si l'aiguille est courbe. Cette formule peut être utilisée pour déterminer une valeur approchée de π : π ≈ 2 n a x L . {\displaystyle \pi \approx {\frac {2na}{xL}}.} où n est le nombre d’aiguilles lancées, et x celui d’aiguilles qui sont sur deux lattes à la fois. Cette méthode présente rapidement ses limites ; bien que le résultat soit mathématiquement correct, il ne peut pas être utilisé pour déterminer plus que quelques décimales de π expérimentalement. Pour obtenir seulement une valeur approchée de 3,14, il est nécessaire d’effectuer des millions de lancers, et le nombre de lancers nécessaires croît exponentiellement avec le nombre de décimales voulu. De plus, une très faible erreur dans la mesure des longueurs L et a va se répercuter de façon importante sur la valeur trouvée de π. Par exemple, une différence de mesure d’un seul atome sur une aiguille de longueur de 10 centimètres va se retrouver dès la neuvième décimale de π. En pratique, les cas où l’aiguille semble toucher exactement la limite entre deux lattes va accroître l’imprécision de l’expérience, de sorte que les erreurs apparaîtront bien avant la neuvième décimale. Évaluation de π par la méthode de Monte Carlo. La méthode de Monte Carlo est une autre expérience probabiliste qui consiste à prendre au hasard un point dans un carré de côté 1, la probabilité que ce point soit dans le quart de disque de rayon 1 étant de π/4 ; ceci peut facilement se comprendre étant donné que la superficie de ce quart de cercle est π/4 alors que la superficie du carré est 1.

ζ ( 2 ) = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ + 1 k 2 + ⋯ = π 2 6 {\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{k^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}} (Euler)

ζ ( 4 ) = 1 1 4 + 1 2 4 + 1 3 4 + 1 4 4 + ⋯ + 1 k 4 + ⋯ = π 4 90 {\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots +{\frac {1}{k^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}} ,

la loi normale d’espérance μ et d’écart type σ, dont la densité de probabilité s’écrit : f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) {\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,{\rm {e}}^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}}

la loi de Cauchy, dont la densité de probabilité est : f ( x ) = 1 π ( 1 + x 2 ) . {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.}

n ! = Γ ( n + 1 ) ≈ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n!=\Gamma (n+1)\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\rm {e}}}\right)^{n}} (formule de Stirling)

∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\rm {e}}^{-x^{2}}{\rm {d}}x={\sqrt {\pi }}.}

Propriétés avancées

Approximations numériques

Comme π est transcendant, il n’existe pas d’expression de ce nombre qui fasse uniquement appel à des nombres et des fonctions algébriques. Les formules de calcul de π utilisant l’arithmétique élémentaire impliquent généralement les sommes infinies. Ces formules permettent d’approcher π avec une erreur aussi petite que ce que l’on désire, sachant que plus on rajoute de termes dans le calcul, plus le résultat sera proche de π.

Par conséquent, les calculs numériques doivent utiliser des approximations de π.

La première approximation numérique de π fut certainement 3. Dans les cas où une situation ne demande que peu de précision, cette valeur peut servir d’approximation convenable. Si 3 est une estimation par défaut, c’est parce qu’il est le rapport entre le périmètre d’un hexagone régulier inscrit dans un cercle et le diamètre de ce cercle.

Dans de nombreux cas, les approximations 3,14 ou 22/7 suffisent, bien que les ingénieurs aient longtemps utilisé 3,1416 (5 chiffres significatifs) ou 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision. Les approximations 22/7 et 355/113, avec respectivement 3 et 7 chiffres significatifs, sont obtenues à partir de l’écriture en fraction continue de π. Cependant c’est le mathématicien chinois Zu Chongzhi (祖冲之 en sinogrammes traditionnels, 祖冲之 en sinogrammes simplifiés, Zǔ Chōngzhī en piyin) (429–500) qui a découvert la fraction 355/113 en utilisant la méthode d’Archimède pour calculer le périmètre du polygone régulier à 12 288 côtés inscrit dans un cercle. Aujourd'hui, les approximations numériques le plus souvent utilisées par les ingénieurs sont celles de constantes informatiques prédéfinies.

L’approximation de π en 355/113 est la meilleure qui puisse être exprimée avec uniquement 3 chiffres au numérateur et au dénominateur. L’approximation 103 993 / 33 102 (qui fournit 10 chiffres significatifs) en exige un nombre beaucoup plus important : ceci venant de l’apparition du nombre élevé 292 dans le développement en fraction continue de π.

Srinivasa Ramanujan propose également une approximation de π avec cette formule: 2143 22 {\displaystyle {\sqrt {\sqrt {\frac {2143}{22}}}}} , qui approche π avec tout de même 8 décimales.

Constantes approchées prédéfinies en informatique

Dans les calculs numériques usuels sur ordinateur, on utilise plutôt une constante correctement arrondie mais prédéfinie avec une précision d’au moins 16 chiffres significatifs (c’est la meilleure précision représentable par un nombre en virgule flottante au format standard IEEE 754 sur ** bits, un type généralement désigné « double précision ») et choisie afin que le calcul de son sinus retourne 0 exactement par une fonction définie dans cette même précision. Ainsi le fichier d’entête standard utilisé en langage C ou C++ définit la constante M_PI en double précision (le type flottant utilisé par défaut dans de nombreuses fonctions des bibliothèques mathématiques standards) à la valeur de 3,141 592 653 589 793 (parfois avec des chiffres supplémentaires si la plateforme supporte une précision plus étendue pour le type long double). La même valeur est utilisée en langage Java, qui s’appuie sur la même norme IEEE 754, avec la constante standard java.lang.Math.PI). On retrouve cette constante définie ainsi dans de nombreux langages de programmation, avec la meilleure précision possible dans les formats de nombres en virgule flottante supportés, puisque le type « double précision » de la norme IEEE 754 s'est imposé comme une référence de précision minimale nécessaire dans de nombreux langages pour d’innombrables applications.

Sur des microprocesseurs de la famille x86, les unités de calcul matérielles (FPU) sont capables de représenter des nombres flottants sur 80 bits (utilisables avec cette précision en langage C ou C++ avec le type long double mais sans garantie de support matériel), ce qui porte la précision de π à 19 chiffres significatifs. La dernière révision publiée en 2008 de la norme IEEE 754 comporte aussi la définition de nombres en virgule flottante en « quadruple précision » (ou quad) codés sur 128 bits, ce qui permettrait de définir une approximation de la constante π avec une précision de 34 chiffres significatifs (toutefois cette précision n’est pas encore prise en charge nativement par de nombreux langages de programmation car peu de processeurs permettent cette précision directement au niveau matériel sans un support logiciel supplémentaire).

Pour les plateformes ou langages ne supportant nativement que les nombres en « simple précision », codés dans la norme IEEE 754 sur 32 bits utiles, pourront être pris en charge 7 chiffres significatifs (le minimum de précision supporté en langage C par le type float), c’est-à-dire la constante correctement arrondie à 3,141593 et équivalente en précision à celle donnée par la fraction 355/113 (cette fraction permet aussi des calculs rapides dans des logiciels pour des systèmes légers ne comportant pas d’unité matérielle de calcul en virgule flottante).

Fractions continues

La suite des dénominateurs partiels du développement en fraction continue de π ne fait apparaître aucun schéma évident : π = 3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 3 + 1 1 + 1 14 + ⋯ {\displaystyle \pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{2+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{3+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{14+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Cependant, il existe des fractions continues généralisées représentant π dont la structure est régulière : π = 4 1 + 1 2 2 + 3 2 2 + 5 2 2 + 7 2 2 + 9 2 2 + ⋯ {\displaystyle \pi =\textstyle {\frac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\cdots }}}}}}}}}}}}} = 3 + 1 2 6 + 3 2 6 + 5 2 6 + 7 2 6 + 9 2 6 + ⋯ {\displaystyle =3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\cdots }}}}}}}}}}} = 4 1 + 1 2 3 + 2 2 5 + 3 2 7 + 4 2 9 + 5 2 11 + ⋯ {\displaystyle =\textstyle {\frac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\textstyle {\frac {5^{2}}{11+\cdots }}}}}}}}}}}}} = 2 + 2 1 + 1 1 / 2 + 1 1 / 3 + ⋯ + 1 1 / n + ⋯ {\displaystyle =2+{\tfrac {2}{1+{\tfrac {1}{1/2+{\tfrac {1}{1/3+\,\cdots +{\tfrac {1}{1/n+\,\cdots }}}}}}}}} .

Questions ouvertes

De nombreuses questions se posent encore : π et e sont deux nombres transcendants mais sont-ils algébriquement indépendants ou bien existe-t-il une équation polynomiale à deux variables et à coefficients entiers dont le couple (π, e) soit une solution ? La question est encore en suspens. En 1929, Alexandre Gelfond prouve que e est transcendant et en 1996, Yuri Nesterenko (en) prouve que π et e sont algébriquement indépendants.

Comme dit précédemment, on ignore encore si π est un nombre normal, ou même un nombre univers en base 10.

Culture populaire

Sans doute en raison de la simplicité de sa définition, le nombre pi et particulièrement son écriture décimale sont ancrés dans la culture populaire à un degré plus élevé que tout autre objet mathématique. D’ailleurs, la découverte d’un plus grand nombre de décimales de π fait souvent l’objet d’articles dans la presse généraliste, signe que π est un objet familier même à ceux qui ne pratiquent pas les mathématiques.

Une tradition anglo-saxonne veut que l’on fête l’anniversaire de π dans certains départements mathématiques des universités le 14 mars. Le 14 mars qui est noté « 3/14 » en notation anglo-saxonne, est donc appelé la journée de pi.

π dans l’art

Nombreux sont les sites ou ouvrages qui signalent la présence du nombre π dans les pyramides et, plus précisément, que π est le rapport entre le périmètre de la base et le double de la hauteur des pyramides. Il est vrai que la pyramide de Khéops possède une pente de 14/11, et que par conséquent, le rapport entre la base et la hauteur est de 22/14. Le rapport 22/7 étant une bonne approximation de π, le rapport entre le périmètre et le double de la hauteur de la pyramide de Khéops est bien voisin de π. Faut-il pour autant y chercher une intention ? Rien n’est moins sûr puisque la pente des pyramides n’est pas constante et que, selon les régions et les époques, on trouve des pentes de 6/5 (pyramide rouge), 4/3 (pyramide de Khephren) ou 7/5 (pyramide rhomboïdale) qui conduisent à un rapport entre périmètre et double de la hauteur éloigné de π.

Il est en tout cas certain que π soit présent dans la culture artistique moderne. Par exemple, dans Contact, un roman de Carl Sagan, pi joue un rôle clé dans le scénario et il est suggéré qu’il y ait un message enfoui profondément dans les décimales de pi, placé par celui qui a créé l’univers. Cette partie de l’histoire a été écartée de l’adaptation cinématographique du roman.

Sur le plan cinématographique, Pi a servi de titre au premier long-métrage de Darren Aronofsky, à qui l’on doit notamment Requiem for a Dream. Pi est un thriller mathématique sur la découverte de la séquence parfaite, révélant ainsi formule exacte des marchés boursiers de Wall Street ou encore le véritable nom de Dieu.

Dans le registre musical, l’auteur-compositrice-interprète Kate Bush a sorti en 2005 son album Aerial, qui contenait le morceau « π », dont les paroles sont principalement composées des décimales de π.

Mémorisation de π

Les récentes décennies ont vu une forte augmentation du record du nombre de décimales de π mémorisées.

Au-delà de la mémorisation de Pi, usuellement ses 3 à 6 premiers chiffres ou par la remarquable valeur approchée de la fraction 355/113 (7 chiffres significatifs), la mémorisation d’un nombre record de décimales de π a longtemps été et demeure une obsession pour de nombreuses personnes. Le 14 mars 2004, à Oxford, le jeune autiste Asperger Daniel Tammet récite (en 5 heures, 9 minutes et 24 secondes) 22 514 décimales. Le record de mémorisation de π reconnu en 2005 par le Livre Guinness des records était de 67 890 chiffres (Lu Chao, un jeune diplômé chinois, en 24 heures et 4 minutes). En octobre 2006, Akira Haraguchi, un ingénieur japonais retraité, récite 100 000 décimales de π en 16 heures et demie, mais cet exploit n'est pas validé par le Guinness des records . Le record officiel passe en mars 2015 à 70 000 décimales en 9 h 27 min (Rajveer Meena, un étudiant indien), puis en octobre à 70 030 en 17 h 14 min (Suresh Kumar Sharma, un autre Indien).

Le 17 juin 2009, Andriy Slyusarchuk (en), un neurochirurgien et professeur ukrainien, affirma avoir mémorisé 30 millions de décimales de π, qui ont été imprimées en 20 volumes. Bien qu’il n’ait pas récité les 30 millions de chiffres qu’il a dit avoir retenus (ce qui, au demeurant, lui aurait pris plus d'un an), certains médias prétendent qu’il était en mesure de réciter dix décimales sélectionnées aléatoirement parmi les volumes imprimés. La comparaison avec les valeurs officiellement retenues par le Guinness des records amène cependant les experts à mettre sérieusement en doute cette affirmation.

Il y a plusieurs façons de retenir les décimales de π, dont des poèmes dont le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale, les mots de dix lettres représentant un 0. En voici un exemple :

Pi - Supplément au Petit Archimède n **-65, mai 1980, p. 273.

Le mot orbe est du masculin mais ce ne fut pas toujours le cas, ceci induit à présent une faute d’accord à « calculée » que l’on peut remplacer par « escompté », par exemple, pour conserver le bon nombre de lettres.

Cette méthode présente ses limites pour la mémorisation d’un très grand nombre de décimales, où il semble plus opportun d’utiliser des méthodes comme la méthode des loci.

手写体的π

直径为1的圆的周长是π

圆周率，定义为圆的周长与直径的比值。一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何量的关键值也等于圆的面积与半径平方的比值。

在分析学里，可以严格定义为满足的最小正实数，这里的是正弦函数（采用分析学的定义）。

近似值

一般教育使用的π值只取、3.14，或者再加上一些位数。π的小数展开可见于整数数列在线大全的数列A000796。

另外还有由祖冲之给出的约率：及密率：。

巴比伦人曾使用六十进制的圆周率，数值为

2143除以22之后再开四次方根或是平方根两次（也就是），可以得到3.14159265...。

发展历史

一块产于公元前1900年的古巴比伦石匾清楚地记载了圆周率 。同一时期的古埃及文物也表明圆周率等于分数，约等于3.16。埃及人似乎在更早的时候就知道圆周率了。 英国作家 John Taylor (1781–18**) 在其名著《金字塔》中指出，造于公元前2500年左右的金字塔和圆周率有关。例如，金字塔的周长和高度之比等于圆周率的两倍，正好等于圆的周长和半径之比。公元前800至600年成文的古印度宗教巨著《百道梵书》（Satapatha Brahmana）显示了圆周率等于分数, 约等于3.139。 古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212 年) 开创了人类历史上通过数学算法计算圆周率近似值的先河。 计算及发展 由于π的无理性，所以只能以近似值的方法计算π。对于一般应用3.14或已足够，但工程学常利用3.1416（5位有效数字）或3.14159（6位有效数字）。至于密率（3.1415929...）则是一个易于记忆（三个连续奇数：113355），且精确至7位有效数字的分数近似值。 而在2009年末，有科学家已经用超级电脑计算出圆周率暂时计到小数点后2兆7千亿个小数字。 而在2010年8月，日本男子近藤茂利用自己组装硬盘容量达32TB的电脑，计算出圆周率小数点后5兆个小数字。 而在2011年10月19日，日本进程员JA0HXV宣布他已经将圆周率Pi计算到小数点后10兆位。 实验时期 公元前17世纪的埃及古籍《阿美斯纸草书》（Ahmes，又称“阿梅斯草片文书”；为英国人Alexander Henry Rhind（莱因德）于1858年发现，因此还称“莱因德数学纸草书”（Rhind Mathematical Papyrus））是世界上最早给出圆周率的超过十分位的近似值，为256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81)或3.160。这部纸草书声称是抄自300年前的另一部文献，也就是说，这个Pi值是公元前1850年（1850 BC）就存在了。 在阿基米德以前，π值的测定依靠实物测量。 几何法时期——反复割圆 阿基米德用正96边形割圆术得出圆周率介于与之间。 公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割为12、24、48、96、192边形。他说「割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。」（分割愈精细，误差愈少。分割之后再分割，直到不能再分割为止，它就会与圆周完全重叠，就不会有误差了），其中有求极限的思想。刘徽给出π=3.141024的圆周率近似值，并以（徽率）为其分数近似值。刘徽在得圆周率=3.14之后，将这个数值和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验，发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到1536边形，求出3072边形的面积，得到令自己满意的圆周率。 中国古籍云：「径一周三」，意即取π=3 。公元466年，中国数学家祖冲之将圆周率算到小数点后7位的精确度，这一纪录在世界上保持了一千年之久。同时，祖冲之给出了（密率）这个很好的分数近似值，它是分母小于16604的分数中最接近π的。（参见有理逼近）。为纪念祖冲之对圆周率发展的贡献，日本数学家三上义夫将这一推算值命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。在祖冲之后的印度数学家阿耶波多获得 = 3.1416；分子、分母都比祖冲之的密率大，结果却不如密率准确。可惜祖冲之的著作《缀术》已经亡佚，后人无从得知祖冲之如何估算圆周率的值。 钱大昕的《十驾斋养新录》卷第十七首条〈圆径周率〉引《隋书律历志》：“古之九数，圆周率三圆径率一，其术疏舛，自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末南徐州从事史祖冲之更开密率，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三（刻本作二，误）丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间，密率圆径一百一十三，圆周三百五十五，约率圆径七，周二十二。又设开差幂、开差立，兼以正圆参之，指要精密，算氏之最者也。” 清末大臣曾国藩之子曾纪鸿与左潜于1874年曾计算出圆周率值到100位，合著《圜率考真图解》记载计算方法。 分析法时期 这一时期人们开始摆脱利用割圆术的繁复计算，开始利用无穷级数或无穷连乘积求π。 鲁道夫·范·科伊伦（约1600年）计算出π的小数点后首35位。他对此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。 斯洛文尼亚数学家Jurij Vega于1789年得出π的小数点后首140位，其中只有137位是正确的。这个世界纪录维持了五十年。他利用了John Machin于1706年提出的数式。 所有以上的方法都不能快速算出π。第一个快速算法由数学家梅钦在1706年提出： 其中arctan(x)可由泰勒级数算出。类似方法称为“梅钦类公式”。 电脑时代 上万位以上的小数字值通常利用高斯-勒让德算法或波温算法；另外以往亦曾使用于1976年发现的萨拉明-布伦特算法。 第一个π和1/π的小数点后首一百万位利用了古腾堡计划。最新纪录是2002年9月得出的1,241,100,000,000个小数字，由拥有1TB主内存的**-node日立超级电脑，以每秒200亿运算速度得出，比旧纪录多算出一倍（206亿小数字）。此纪录由以下梅钦类公式得出： (K. Takano, 1982年) (F. C. W. Störmer, 1896年) 实际上生活中我们也用不到这么多位数，但这有助于超级电脑的测试。 1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙·普劳夫发现了π的其中一个无穷级数： 以上述公式可以计算π的第n个二进位或十六进位小数，而不需先计算首n-1个小数字。此类π算法称为贝利－波尔温－普劳夫公式。请参考Bailey's website 上相关程序。 法布里斯·贝拉于1997年给出了计算机效率上高出上式47%的BBP算法： 请参考Fabrice Bellard's PI page 。 其他计算圆周率的公式包括： (拉马努金Ramanujan) (David Chudnovsky及Gregory Chudnovsky) 编写电脑程序时，也可以利用反三角函数直接定义值，但是编译器必须具备三角函数的函式库： 利用正弦函数 利用余弦函数 计算机代数系统 多种计算机代数系统软件都可以计算高精度圆周率。 例如 Maple evalf(Pi,100000) 在Intel Core i7处理器电脑上20秒内算出一百万位圆周率数值。 年表 日期 计算者 π的值 （世界纪录用粗体表示） 前20世纪 埃及人（阿美斯纸草书） （16/9）² = 3.160493... 前19世纪 巴比伦人 25/8 = 3.125 前12世纪 中国人 3 前9世纪 印度人Shatapatha Brahmana 339/108 = 3.138888... 前6世纪中 圣经列王记上7章23节 3（有人称**内藏333/106 = 3.141509...） 前434年 阿那克萨哥拉尝试通过尺规作图来化圆为方 约前250年 阿基米德 223/71 <π< 22/7 (3.140845... < π < 3.142857...) 211875/67441 = 3.14163491... 前20年 Vitruvius 25/8 = 3.125 前50年－23年 刘歆 3.1547 130年 张衡 92/29 = 3.17241... √10 = 3.162277... 730/232 = 3.146551... 150年 托勒密 377/120 = 3.141666... 250年 王蕃 142/45 = 3.155555... 263年 刘徽 3.141024 < π < 3.142704 3927/1250=3.1416 400年 何承天 (南朝) 111035/35329 = 3.142885... 480年 祖冲之 3.1415926 <π< 3.1415927 355/113=3.1415929...... 499年 Aryabhatta 62832/20000 = 3.1416 **0年 Brahmagupta √10 = 3.162277... 800年 花拉子密 3.1416 1150年 Bhaskara 3.14156 1220年 比萨的列奥纳多 3.141818 1320年 赵友钦 3.141592+ 以后的纪录都仅记录小数点后多少位，而不给出实际数值 1400年 Madhava发现π的无穷幂级数，现在称为莱布尼兹公式 11位小数 13位小数 1424年 Jamshid Masud Al Kashi 16位小数 1573年 Valenthus Otho，算出来的数值为355/113 6位小数 1579年 Francois Viete 9位小数 1593年 Adriaen van Roomen 15位小数 1596年 鲁道夫·范·科伊伦 20位小数 1615年 32位小数 1621年 威理博·司乃耳, 范·科伊伦的学生 35位小数 1665年 牛顿 16位小数 1681年 关孝和 11位小数 16位小数 1699年 Abraham Sharp 71位小数 1700年 Seki Kowa 10位小数 1706年 John Machin 100位小数 1706年 威廉·琼斯（William Jones）引入希腊字母π表示圆周率 1719年 De Lagny计算了127个小数字，但并非全部是正确的 112位小数 1722年 Toshikiyo Kamata 24位小数 1722年 Takebe 41位小数 1739年 Matsunaga 50位小数 1748年 莱昂哈德·欧拉在他的重要著作《无穷小分析引论》使用π，使π得以普及。 1761年 约翰·海因里希·兰伯特证明π是无理数 1775年 欧拉指出π是超越数的可能性 1794年 Jurij Vega 计算了140个小数字，但并非全部是正确的 137位小数 1794年 阿德里安-马里·勒让德证明π²是无理数（则π也是无理数），并提及π是超越数的可能性 1841年 Rutherford计算了208个小数字，但并非全部是正确的 152位小数 1844年 Zacharias Dase及Strassnitzky计算了205个小数字，但并非全部是正确的 200位小数 1847年 Thomas Clausen计算了250个小数字，但并非全部是正确的 248位小数 1853年 Lehmann 261位小数 1853年 Rutherford 440位小数 1855年 Richter 500位小数 1874年 en:William Shanks耗费15年计算了707位小数，可惜1946年D. F. Ferguson发现其结果非全对 527位小数 1882年 Lindemann证明π是超越数（林德曼-魏尔斯特拉斯定理） 1910年 Srinivasa Ramanujan发现几个π的快速收敛无穷级数。 1946年 D. F. Ferguson使用桌上计算器 620位小数 1947年 伊万·尼云给了一个非常初等的π是无理数的证明。 1947年1月 D. F. Ferguson使用桌上计算器 710位小数 1947年9月 808位小数 1949年 D. F. Ferguson和J. W. Wrench爵士使用桌上计算器 1,120位小数 1949年 J. W. Wrench爵士和L. R. Smith首次使用电脑（ENIAC）计算π，以后的记录都用电脑来计算的 2,037位小数 1953年 Mahler证明π不是刘维尔数 1954年 J. W. Wrench, Jr，及L. R. Smith 3,092位小数 1957年 G.E.Felton 7,480位小数 1958年1月 Francois Genuys 10,000位小数 1958年5月 G.E.Felton 10,020位小数 1959年 Francois Genuys 16,167位小数 1961年 IBM 7090晶体管计算机 20,000位小数 1961年 Daniel Shanks和John Wrench 100,265位小数 1966年 Jean Guilloud和J. Filliatre 250,000位小数 1967年 Jean Guilloud和M. Dichampt 500,000位小数 1973年 Jean Guilloud和Martin Bouyer 1,001,250位小数 1981年 Kazunori Miyoshi和金田康正 2,000,036位小数 1981年 Jean Guilloud 2,000,050位小数 1982年 Yoshiaki Tamura 2,097,144位小数 1982年 Yoshiaki Tamura和金田康正 4,194,288位小数 1982年 8,388,576位小数 1983年 金田康正，Sayaka Yoshino和Yoshiaki Tamura 16,777,206位小数 1983年10月 Yasunori Ushiro和金田康正 10,013,395位小数 1985年10月 Bill Gosper 17,526,200位小数 1986年1月 David H. Bailey 29,360,111位小数 1986年 金田康正 33,000,000位小数 1986年 67,000,000位小数 1987年 134,000,000位小数 1988年 201,000,000位小数 1989年 楚诺维斯基兄弟 480,000,000位小数 1989年 535,000,000位小数 1989年 金田康正 536,000,000位小数 1989年 楚诺维斯基兄弟 1,011,000,000位小数 1989年 金田康正 1,073,000,000位小数 1992年 2,180,000,000位小数 1994年 楚诺维斯基兄弟 4,044,000,000位小数 1995年 金田康正和高桥 4,294,960,000位小数 1995年 6,000,000,000位小数 1996年 楚诺维斯基兄弟 8,000,000,000位小数 1997年 金田康正和高桥 51,500,000,000位小数 1999年 68,700,000,000位小数 1999年 206,000,000,000位小数 2002年 金田康正的队伍 1,241,100,000,000位小数 2009年 高桥大介 2,576,980,377,524位小数 2009年 法布里斯·贝拉 2,699,999,990,000位小数 2010年 近藤茂，使用了余智恒（Alexander J. Yee）的y-cruncher程序。 5,000,000,000,000位小数 2011年 近藤茂，使用了余智恒的y-cruncher程序。 10,000,000,000,050位小数 2013年 近藤茂，使用了余智恒的y-cruncher程序。 12,100,000,000,050位小数 2014年 "houkouonchi"，使用了余智恒的y-cruncher程序。 13,300,000,000,000位小数 2011年IBM 蓝色基因/P超级计算机算出π的60,000,000,000,000位二进制小数。