Un théorème est une affirmation (mathématique) qui peut être démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer d'une théorie.

Une fois le théorème démontré, il est considéré comme vrai quelle que soit la valeur de vérité de sa prémisse (hypothèse de base) car il se présente sous la forme d'une implication : si A est vraie alors B est nécessairement vraie. Il peut alors être utilisé pour démontrer d'autres propositions. Démontrer le théorème consiste à démontrer l'impossibilité d'avoir à la fois A vrai et B faux.

Un théorème a généralement :

• des hypothèses de base, i.e. des conditions qui peuvent être énumérées dans le théorème ou décrites d'avance ;
• une conclusion, i.e. une affirmation mathématique qui est vraie sous les conditions de base.

La démonstration, bien que nécessaire à la classification de la proposition comme « théorème », n'est pas considérée comme faisant partie du théorème.

Autre définition possible d'un théorème : « un énoncé dont on peut démontrer l’exactitude. »

La démonstration comprend :

des axiomes ; les hypothèses du théorème ; d'autres théorèmes déjà démontrés.

Chaque étape de la preuve est liée aux précédentes par des règles d'inférence logiques.

D'autres formes d'assertions

Au sens large toute assertion effectivement démontrée peut prendre le nom de théorème. Dans les ouvrages de mathématiques, il est cependant d'usage de réserver ce terme aux affirmations considérées comme nouvelles ou particulièrement intéressantes ou importantes. Selon leur importance, ou leur utilité, les autres assertions peuvent prendre des noms différents :

lemme : assertion servant d'intermédiaire pour démontrer un théorème plus important ;

corollaire : résultat qui découle directement d’un théorème prouvé ; on trouve aussi, dans les ouvrages anciens, le terme scholie.

proposition : résultat relativement simple qui n'est pas associé avec un théorème particulier ;

remarque : résultat intéressant ou conséquence qui peut faire partie de la preuve ou d'une autre affirmation ;

conjecture : proposition mathématique dont on ignore la valeur de vérité. Une fois prouvée, une conjecture devient un théorème.

Comme énoncé ci-dessus, un théorème exige un raisonnement logique basé sur des axiomes. Cela consiste en une série d'axiomes fondamentaux (voir système d'axiomes) et un procédé d'inférence qui permet de dériver les axiomes en de nouveaux théorèmes et d'autres théorèmes démontrés auparavant. Dans la logique des propositions, n'importe quelle affirmation démontrée est appelée un théorème.

Articles connexes

Liste des théorèmes pour une liste de théorèmes célèbres et de conjectures

Théorème d'existence

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定理（英语：Theorem）是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。一个定理陈述一个给定类的所有（全称）元素一种不变的关系，这些元素可以是无穷多，它们在任何时刻都无区别地成立，而没有一个例外。（例如：某些是，某些是，就不能算是定理）。

猜想是相信为真但未被证明的数学叙述，或者叫做命题，当它经过证明后便是定理。猜想是定理的来源，但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述可以不经过成为猜想的过程，成为定理。

如上所述，定理需要某些逻辑框架，继而形成一套公理（公理系统）。同时，一个推理的过程，容许从公理中引出新定理和其他之前发现的定理。

在命题逻辑，所有已证明的叙述都称为定理。

各种数学叙述（按重要性来排列）

引理（又称辅助定理，补理）－某个定理的证明的一部分的叙述。它并非主要的结果。引理的证明有时还比定理长，例如舒尔引理。

推论－一个从定理随之而即时出现的叙述。若命题B可以很快、简单地推导出命题A，命题A为命题B的推论。

命题

定理

数学原理

结构

逆定理

若某叙述和其逆叙述都为真，条件必要且充足。

若某叙述为真，其逆叙述为假，条件充足。

若某叙述为假，其逆叙述为真，条件必要。

逻辑中的定理

定理1一个没有量词（Quantificateur）的有限命题集合Γ的可满足性问题（Satisfaisabilite）是可以决定的（Decidable）

定理2一阶逻辑命题的永真性（Validite）是可以通过一个肯定测试（Test Positif）来知道的。 证明：

证明：

定理3所有公理化（Axiomatisable）的定理T是可递推枚举的（Recursivement Enumerable）。 证明：

证明：

定理4所有公理化的完整的（Complete）定理T是可递推的。 证明：

证明：

定理5所有可递推枚举的定理T是公理化的。 证明：

证明：