Attracteur de Lorenz

En mathématiques, la théorie du chaos étudie le comportement des systèmes dynamiques qui sont très sensibles aux conditions initiales, un phénomène généralement illustré par l'effet papillon. Des différences infimes dans les conditions initiales (comme par exemple des erreurs d'arrondi dans les calculs numériques) entraînent des résultats totalement différents pour de tels systèmes, rendant en général toute prédiction impossible à long terme. Cela est valable même pour des systèmes déterministes, ce qui signifie que leur comportement futur est entièrement déterminé par leurs conditions initiales, sans intervention du hasard. En d'autres termes, la nature déterministe de ces systèmes ne les rend pas prévisibles. Ce comportement est connu sous le nom de chaos déterministe, ou tout simplement de chaos.

Le comportement chaotique est à la base de nombreux systèmes naturels, tels que la météo ou le climat. Ce comportement peut être étudié grâce à l'analyse par des modèles mathématiques chaotiques, ou par des techniques analytiques de récurrence et des applications de Poincaré. La théorie du chaos a des applications en météorologie, sociologie, physique, informatique, ingénierie, économie, biologie et philosophie.

Introduction

Définition heuristique d'un système chaotique

Un système dynamique est dit chaotique si une portion « significative » de son espace des phases présente simultanément les deux caractéristiques suivantes :

le phénomène de sensibilité aux conditions initiales,

une forte récurrence.

La présence de ces deux propriétés entraîne un comportement extrêmement désordonné qualifié à juste titre de « chaotique ». Les systèmes chaotiques s'opposent notamment aux systèmes intégrables de la mécanique classique, qui furent longtemps les symboles d'une régularité toute puissante en physique théorique. La dynamique quasi-périodique d'un système intégrable semblait elle-même trouver son illustration parfaite dans les majestueux mouvements des planètes du Système solaire autour du Soleil ; souvenons-nous que Voltaire, qui incita Émilie du Châtelet à entreprendre la traduction des Principia Mathematica de Newton, parlait de Dieu comme du « Grand Horloger »…

Qu'est-ce que la « théorie du chaos » ?

Au cours de son histoire, la physique théorique s'était déjà trouvée confrontée à la description de systèmes complexes macroscopiques, comme un volume de gaz ou de liquide, mais la difficulté à décrire de tels systèmes semblait découler du très grand nombre de degrés de liberté internes du système à l'échelle microscopique (atomes, molécules). La mécanique statistique avait dans ce cas permis de rendre compte de façon satisfaisante des propriétés macroscopiques de ces systèmes à l'équilibre. Ce fut donc une grande surprise lorsqu'on s'aperçut à la fin du XIX siècle qu'une dynamique d'une grande complexité pouvait résulter d'un système simple possédant un très petit nombre de degrés de liberté, pourvu qu'il possède cette propriété de sensibilité aux conditions initiales.

La théorie du chaos s'attache principalement à la description de ces systèmes à petit nombre de degrés de liberté, souvent très simples à définir, mais dont la dynamique nous apparaît comme très désordonnée.

La théorie du chaos est-elle née dans les années 1970 ?

Attracteur étrange de Lorenz (1963)

La réponse à cette question est : oui et non.

Non, car le phénomène de sensibilité aux conditions initiales a été découvert dès la fin du XIX siècle par Henri Poincaré dans des travaux concernant le problème à N corps en mécanique céleste (notamment dans le volume 3 des Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste), puis par Hadamard avec un modèle mathématique abstrait aujourd'hui baptisé « flot géodésique sur une surface à courbure négative ». Cette découverte a entraîné un grand nombre de travaux importants, principalement dans le domaine des mathématiques. Ces travaux sont évoqués dans le paragraphe Développements historiques situé plus loin.

Oui, car ce n’est véritablement que dans les années 1970 que la théorie du chaos s'est progressivement imposée sur le devant de la scène scientifique, opérant une rupture épistémologique forte. Le terme suggestif de « chaos » n'a d'ailleurs été introduit qu'en 1975 par les deux mathématiciens Tien-Yien Li et James A. Yorke. Otto E. Rössler, connu pour avoir découvert l'un des attracteurs chaotiques le plus étudié (et appelé aujourd'hui attracteur de Rössler), utilisa le terme de « chaos » dans la plupart de ses articles dès 1976. Le caractère tardif de ce changement de paradigme s'explique aisément : la théorie du chaos doit en effet sa popularisation aux progrès fulgurants de l'informatique à partir des années 1960-70. Cette science nouvelle a en effet rendu accessible aux non-mathématiciens la visualisation directe de l'incroyable complexité de ces systèmes dynamiques, auparavant réservée aux seuls « initiés » capables d'absorber le formalisme mathématique idoine.

À titre d'illustration, la figure ci-contre est un exemple typique d'images produites par la théorie du chaos ; il s'agit ici d'un objet géométrique découvert par Lorenz en 1963, et initialement baptisé « attracteur étrange » à la suite de l'introduction de ce concept par David Ruelle et Floris Takens. (Cet objet sera commenté plus bas, au paragraphe : Lorenz et la météorologie.)

La théorie du chaos est une véritable théorie scientifique. Elle repose sur la représentation des solutions des équations différentielles dans l'espace des phases associé : représenter les solutions sous forme de trajectoire dans l'espace plutôt que l'une des variables en fonction du temps permet de révéler la structure sous-jacente : c'est ce qui conduit à affirmer que la théorie du chaos contribue à «trouver de l'ordre caché sous un désordre apparent.». L'attracteur de Lorenz précédemment représenté est un exemple d'une évolution d'un système dans l'espace des phases. Au déterminisme Laplacien permettant la prédiction sur des temps arbitrairement long a succédé un déterminisme de nature fondamentalement différente. Il peut être approché de manière probabiliste et alors caractérisé par l'existence d'invariants prenant la forme de mesures de probabilités, de dimension fractale… ou par une description topologique des attracteurs. Toutes les sciences, y compris sociales, sont concernées par ce changement de paradigme ; en particulier, cette théorie peut inclure l'organisation du vivant dans la nature.

Le déterminisme, de Laplace à Poincaré

La stabilité du Système solaire

Le point de départ de la théorie du chaos est le problème à « 3 corps » qui consiste à étudier le mouvement de trois corps en interaction gravitationnelle, comme le système : { Soleil - Terre - Lune }, supposé isolé du reste de l'univers. Le but de cette recherche est de déterminer si le Système solaire est « stable » sur le long terme, ou bien si l'un des corps risque un jour de percuter un autre corps, ou encore être éjecté du Système solaire vers l'infini.

Le problème à 3 corps est aussi vieux que la mécanique newtonienne ; en effet, dès la naissance de cette théorie, son fondateur s'est intéressé au problème à trois corps dans le but de prédire le mouvement de la Lune. Tous les astronomes à sa suite ont abordé ce problème, dont Laplace, qui crut avoir prouvé la stabilité du Système solaire en utilisant la théorie des perturbations au premier ordre. Malheureusement, le développement perturbatif au premier ordre est insuffisant pour conclure définitivement. Un siècle après Laplace, Henri Poincaré s'est donc emparé du problème. On examine ci-dessous l'évolution des idées qui distinguent la pensée de Laplace de celle de Poincaré.

Notion de système dynamique différentiel conservatif

Pour un système possédant n degrés de libertés, l'espace des phases du système possède 2n dimensions, de telle sorte que l'état complet du système à l'instant t est en général un vecteur à 2n composantes. On considère alors typiquement un système différentiel du premier ordre du type :

où la fonction f définit le système dynamique étudié (c'est en général également un vecteur à n dimensions, c’est-à-dire un ensemble de n fonctions scalaires). Ce système physique, supposé conservatif, est déterministe si et seulement si la dynamique du système associe à chaque condition initiale un et un seul état final . Il faut pour cela qu'il existe une application bijective de l'espace des phases sur lui-même telle que :

Lorsque le temps t varie, cette bijection engendre un flot sur , c’est-à-dire un groupe continu à un paramètre . Cette modélisation mathématique correspond par exemple au flot hamiltonien de la mécanique classique, ainsi qu'au flot géodésique.

Laplace, ou le déterminisme triomphant

Fort des succès obtenus en mécanique céleste, Laplace écrit en 1814 dans l’introduction de son Essai philosophique sur les probabilités :

« Nous devons donc envisager l'état présent de l'univers comme l'effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui pour un instant donné connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ses données à l'analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le passé serait présent à ses yeux.

L'esprit humain offre, dans la perfection qu'il a su donner à l'Astronomie, une faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en Mécanique et en Géométrie, jointes à celle de la pesanteur universelle, l'ont mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques les états passés et futurs du système du monde. En appliquant la même méthode à quelques autres objets de ses connaissances, il est parvenu à ramener à des lois générales, les phénomènes observés, et à prévoir ceux que des circonstances données doivent faire éclore. Tous ces efforts dans la recherche de la vérité tendent à le rapprocher sans cesse de l'intelligence que nous venons de concevoir, mais dont il restera toujours infiniment éloigné. Cette tendance propre à l’espèce humaine est ce qui la rend supérieure aux animaux; et ses progrès en ce genre distinguent les nations et les siècles, et font leur véritable gloire. »

Ce texte aujourd'hui célèbre est en réalité largement prophétique, au sens où Laplace ne possède pas le théorème général d'existence et d'unicité de la solution d'une équation différentielle, qui sera démontré ultérieurement, et fait l'objet du paragraphe suivant.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz

C'est le mathématicien Cauchy qui énonce en 1820 le théorème général d'existence et d'unicité de la solution d'une équation différentielle. Lipschitz lui donnera sa forme définitive en 1868.

Poincaré et l'imprédictibilité

Environ un siècle après Laplace, Poincaré écrit dans l'introduction de son Calcul des Probabilités un texte dont la tonalité est fort différente de celui de son illustre prédécesseur. C'est entre 1880 et 1910, que Poincaré, qui cherche à prouver la stabilité du Système solaire, découvre un nouveau continent issu des équations de Newton et jusqu'alors inexploré.

« Comment oser parler des lois du hasard ? Le hasard n'est-il pas l'antithèse de toute loi ? Ainsi s'exprime Bertrand, au début de son Calcul des probabilités. La probabilité est opposée à la certitude ; c'est donc ce qu'on ignore et, par conséquent semble-t-il, ce qu'on ne saurait calculer. Il y a là une contradiction au moins apparente et sur laquelle on a déjà beaucoup écrit. Et d'abord qu'est-ce que le hasard ? Les anciens distinguaient les phénomènes qui semblaient obéir à des lois harmonieuses, établies une fois pour toutes, et ceux qu'ils attribuaient au hasard ; c'étaient ceux qu'on ne pouvait prévoir parce qu'ils étaient rebelles à toute loi. Dans chaque domaine, les lois précises ne décidaient pas de tout, elles traçaient seulement les limites entre lesquelles il était permis au hasard de se mouvoir. […] Pour trouver une meilleure définition du hasard, il nous faut examiner quelques-uns des faits qu'on s'accorde à regarder comme fortuits, et auxquels le calcul des probabilités paraît s'appliquer ; nous rechercherons ensuite quels sont leurs caractères communs. Le premier exemple que nous allons choisir est celui de l'équilibre instable ; si un cône repose sur sa pointe, nous savons bien qu'il va tomber, mais nous ne savons pas de quel côté ; il nous semble que le hasard seul va en décider. Si le cône était parfaitement symétrique, si son axe était parfaitement vertical, s'il n'était soumis à aucune autre force que la pesanteur, il ne tomberait pas du tout. Mais le moindre défaut de symétrie va le faire pencher légèrement d'un côté ou de l'autre, et dès qu'il penchera, si peu que ce soit, il tombera tout à fait de ce côté. Si même la symétrie est parfaite, une trépidation très légère, un souffle d'air pourra le faire incliner de quelques secondes d'arc ; ce sera assez pour déterminer sa chute et même le sens de sa chute qui sera celui de l'inclinaison initiale. »

« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaître la situation qu'approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c'est tout ce qu'il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu'il est régi par des lois ; mais il n'en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. »

Sensibilité aux conditions initiales

Dans le paragraphe précédent, Poincaré met en exergue le phénomène connu aujourd'hui sous la dénomination de sensibilité aux conditions initiales : pour un système chaotique, une très petite erreur sur la connaissance de l'état initial x₀ dans l'espace des phases va se trouver (presque toujours) rapidement amplifiée.

Quantitativement, la croissance de l'erreur est localement exponentielle pour les systèmes fortement chaotiques, baptisés selon la théorie ergodique K-systèmes (le K est pour Kolmogorov), ainsi que pour les systèmes très fortement chaotiques, dits B-systèmes (le B est pour Bernoulli). Cette amplification des erreurs rend rapidement totalement inopérant le pouvoir prédictif qui découle de l'unicité de la solution, assurée par Cauchy-Lipschitz.

Typiquement, pour un système chaotique, les erreurs croissent localement selon une loi du type , où est un temps caractéristique du système chaotique, appelé parfois « horizon de Lyapounov ». Le caractère prédictible de l'évolution du système ne subsiste que pour les instants , pour lesquels l'exponentielle vaut approximativement 1, et donc tels que l'erreur garde sa taille initiale. En revanche, pour , toute prédiction devient pratiquement impossible, bien que le théorème de Cauchy-Lipschitz reste vrai.

Poincaré et après

Poincaré et la stabilité du Système solaire

Un siècle après Laplace, Henri Poincaré s'est attelé au problème de la stabilité du Système solaire. Entre 1880 et 1886, il commence par publier une série de mémoires intitulés : «Sur les courbes définies par une équation différentielle» qui donne naissance à l'analyse qualitative des équations différentielles. Poincaré y introduit notamment la notion capitale de portrait de phase, qui résume géométriquement l'aspect des solutions dans l'espace des phases du système. Puis, en 1890, il publie le fameux mémoire intitulé : «Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique», qui lui vaudra le prix du roi Oscar, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques. L'histoire est célèbre : le mémoire lauréat comportait une erreur détectée par le jeune mathématicien Phragmén alors qu'il prépare le manuscrit pour l'imprimeur. Cette erreur obligera Poincaré à procéder à de profonds remaniements dans son mémoire, et aussi à rembourser les frais d'impression du premier mémoire, une somme supérieure de quelque mille couronnes au prix qu'il avait reçu. Mais cette erreur fut féconde, car en lieu et place de la stabilité du Système solaire, Poincaré découvrit le chaos potentiel caché dans les équations de la dynamique.

Plus récemment, des calculs numériques effectués par l'astronome Jacques Laskar en 1989-1990, puis confirmés par Sussman & Wisdom en 1992, ont montré que le Système solaire est chaotique, avec un horizon de Lyapounov de l'ordre de 200 millions d'années.

L'école russe des années 1890-1950

Lyapounov et la stabilité du mouvement

Le 12 octobre 1892, Lyapounov soutient à l'Université de Moscou une thèse de doctorat intitulée : Le problème général de la stabilité du mouvement. Il y introduit l'idée de mesurer la divergence possible entre deux orbites issues de conditions initiales voisines et définit la « stabilité de Lyapunov ». Lorsque cette divergence croît exponentiellement avec le temps pour presque toutes les conditions initiales voisines d'un point donné, on a le phénomène de sensibilité aux conditions initiales, idée à laquelle sont attachés les exposants de Lyapounov, qui donnent une mesure quantitative de cette divergence exponentielle locale.

L'école de Gorki : 1930-1940

Andronov – Pontriaguine – Lefschetz

L'oscillateur de Van der Pol

Émergence et développement de la théorie ergodique

Émergence

Birkhoff

Von Neumann

Koopman (en)

Hopf

Hedlund

Prédictibilité et calculabilité

Norbert Wiener et John von Neumann se sont préoccupés pourtant de la possibilité de prédire par le calcul une situation future à partir d'un état présent. Si Wiener jugeait la tâche ardue, voire impossible puisque de « petites causes » qu'on omettrait nécessairement d'inclure dans le modèle peuvent produire de « grands effets » (il donna l'image du « flocon de neige déclenchant une avalanche »), Von Neumann y voyait une occasion exceptionnelle pour les nouveaux appareils que l'on n'avait pas encore baptisés ordinateurs : « Si un flocon de neige peut déclencher une avalanche », répondait-il à Wiener, « alors la prédiction par le calcul nous dira très exactement quel flocon de neige précis intercepter pour que l'avalanche ne se produise pas ! » Wiener se montra sceptique : un état hypercritique restait un état hypercritique, et supprimer ce flocon particulier ne ferait à son avis que « permettre à un autre de le remplacer dans cette fonction ». Selon lui, rien ne serait donc résolu (point de vue admis aujourd'hui). Les deux hommes ne poussèrent pas plus avant ce différend.

Lorenz et la météorologie

Présentation

Bien que le caractère vraisemblablement chaotique de la météorologie fut pressenti par Henri Poincaré, le météorologue Edward Lorenz est néanmoins considéré comme étant le premier à le mettre en évidence, en 1963.

Mathématiquement, le couplage de l'atmosphère avec l'océan est décrit par le système d'équations aux dérivées partielles couplées de Navier-Stokes de la mécanique des fluides. Ce système d'équations était beaucoup trop compliqué à résoudre numériquement pour les premiers ordinateurs existant au temps de Lorenz. Celui-ci eut donc l'idée de chercher un modèle très simplifié de ces équations pour étudier une situation physique particulière : le phénomène de convection de Rayleigh-Bénard. Il aboutit alors à un système dynamique différentiel possédant seulement trois degrés de liberté, beaucoup plus simple à intégrer numériquement que les équations de départ. Il observa alors, par pur hasard, qu'une modification minime des données initiales (de l'ordre de un pour mille) entraînait des résultats très différents. Lorenz venait de mettre en exergue la sensibilité aux conditions initiales

La métaphore du papillon

En 1972, Lorenz fait une conférence à l'American Association for the Advancement of Science intitulée: « Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set off a Tornado in Texas? », qui se traduit en français par :

« Prédictibilité : le battement d'ailes d'un papillon au Brésil provoque-t-il une tornade au Texas ? »

Cette métaphore, devenue emblématique du phénomène de sensibilité aux conditions initiales, est souvent interprétée à tort de façon causale : ce serait le battement d'aile du papillon qui déclencherait la tempête. Il n'en est rien ; Lorenz écrit en effet:

Si un seul battement d'ailes d'un papillon peut avoir pour effet le déclenchement d'une tornade, alors, il en va ainsi également de tous les battements précédents et subséquents de ses ailes, comme de ceux de millions d'autres papillons, pour ne pas mentionner les activités d'innombrables créatures plus puissantes, en particulier de notre propre espèce.

Si le battement d'ailes d'un papillon peut déclencher une tornade, il peut aussi l'empêcher.

Il serait plus juste de dire que la différence de cause (ici de conditions initiales) due à un battement d'ailes du papillon "induit" une différence d'effet qui est la tornade ; le battement d'ailes ne la provoque pas !

Observation :

Si l'homme est incapable d'appréhender la chaîne causale qui mènerait du simple battement d'aile particulier d’un papillon, au déclenchement d’une tornade au Texas, tout autant d’ailleurs d’une même conséquence se produisant à la suite d'un simple battement de son bras, il se trouve être alors dans l'incapacité de déterminer quels sont les effets de bout de chaîne d'une cause qu'il estimerait être mineure. Dans l'hypothèse où il pourrait appréhender l'ensemble de la chaîne qui mènerait d'une cause anodine à un effet majeur sans rapport évident, il serait alors dans la capacité d’en provoquer l’existence, ou non. Il s'ensuivrait donc qu'un événement anodin ne pourrait être considéré comme provoquant un effet dévastateur qu’à la condition que l’homme ait connaissance de la chaîne des causalités qui lie ses extrêmes, en n'en ayant la volonté de la mettre en œuvre.

D'où l'on pourrait déduire que nous sommes dans l'incapacité de déterminer ce qui a provoqué l'extinction des dinosaures, ni même si quelqu'un ou quelque chose en est la cause.

Stephen Smale : topologie et stabilité structurelle

L'école russe des années 1950-1980

Anosov – Sinaï - Arnold

Transition d'une dynamique régulière vers le chaos

Soit un système dynamique dépendant d'un paramètre  :

Il arrive que la dynamique change de comportement lorsque le paramètre varie. On a pu mettre en évidence trois grands scénarios de passage d'une dynamique régulière à une dynamique chaotique lors de la variation d'un paramètre.

Cascade de doublements de période

Bifurcation vers le chaos par doublement de période

Mitchell Feigenbaum a redécouvert une route vers le chaos qui avait été étudiée dans les années 60 par Myrberg. Aujourd'hui, cette route est appelée « cascade de doublements de période » pour décrire la transition entre un comportement périodique et un attracteur chaotique. Ce scénario est observé par exemple avec la suite logistique, qui est définie par récurrence par une application du segment [0, 1] dans lui-même :

où n = 0, 1, … dénote le temps discret, x l'unique variable dynamique, et un paramètre. La dynamique de cette application présente un comportement très différent selon la valeur du paramètre  :

Pour , le système possède un point fixe attractif, qui devient instable lorsque .

Pour , l'application possède un attracteur qui est une orbite périodique, de période où n est un entier qui tend vers l'infini lorsque tend vers 3.57…

Lorsque , l'application possède un attracteur chaotique fractal découvert par le biologiste May (1976).

Le cas avait été étudié dès 1947 par Ulam et von Neumann. À noter qu'on peut dans ce cas précis établir l'expression exacte de la mesure invariante ergodique.

Lorsque le paramètre augmente, on obtient donc une succession de bifurcations entre les comportements périodiques et le chaos, résumée sur la figure ci-contre.

Scénario de Ruelle-Takens

Par quasi-périodicité…

Scénario de Pomeau-Manneville

Par intermittence…

Quelques exemples

Transformation du boulanger. La transformation du boulanger a de nombreuses variantes, qui toutes ont pour point commun de « faire remonter » très vite au niveau macroscopique d'infimes différences microscopiques, plus faible que la résolution de l'instrument utilisé.

Transformation du photomaton.

Applications

Astrophysique : Étoiles variables à Courbe de lumière irrégulière, Du chaos dans la musique des étoiles

Économie : son modèle simplifié décrit l'évolution de la bourse, du prix de l'or ou l'évolution d'une population donnée

Psychologie du développement : Esther Thelen a décrit le développement des premières acquisitions motrices de l'enfant et ses premiers apprentissages implicites (acquisition de la marche) en utilisant les modélisations issues des théories des systèmes dynamiques et théorie du chaos. Son approche était novatrice et a fortement influencé les modèles théoriques de la psychologie du développement après la publication de deux ouvrages de référence sur le sujet en 1993 et 1994 (co-auteur, Linda Smith) . Ce champ d'investigation est le developmental system theory en anglais, ou théorie développementale des systèmes.

Bibliographie

Bibliothèque virtuelle

David Ruelle, Chaos, imprédictibilité et hasard, conférence de vulgarisation donnée en 2000 par l'auteur à l'Université de tous les savoirs, puis publiée dans : Qu'est-ce que l'Univers ? (éd. Y. Michaud), Odile Jacob (2000), **7-656. Texte complet disponible au format pdf.

Académie des sciences morales et politiques ; Le chaos, dans : Implications philosophiques de la science contemporaine (2001), groupe de travail présidé par Bernard d'Espagnat : François Lurcat, Le chaos & l'occident, format pdf. Éric Bois, De quelques enjeux philosophiques du phénomène du chaos, format pdf. Débat, format pdf.

François Lurcat, Le chaos & l'occident, format pdf.

Éric Bois, De quelques enjeux philosophiques du phénomène du chaos, format pdf.

Débat, format pdf.

(en) Predrag Cvitanović (en), Roberto Artuso, Ronnie Mainieri et Gábor Vattay, The Chaos Webbook, (Version 11 - Décembre 2004). Ouvrage de référence en ligne écrit par Predrag Cvitanović (Niels Bohr Institute, Copenhague) et ses collaborateurs.

Ouvrages de vulgarisation

Amy Dahan-Dalmedico, Jean-Luc Chabert et Karine Chemla (sous la direction de), Chaos & déterminisme, Points Sciences, Le Seuil (1992), (ISBN 2-02-015182-0). Un ouvrage collectif au format poche, divisé en trois parties : Approches mathématiques, Physique & Calcul, et Quelques retours sur l'histoire et la philosophie, écrits par quelques-uns des meilleurs spécialistes actuels du domaine.

David Ruelle, Hasard & Chaos, Collection Opus 89, Éditions Odile Jacob, 1991 (ISBN 2-7381-0665-X). Ouvrage d'introduction au chaos au format poche par un expert, professeur de physique théorique à l'IHES.

Pierre Bergé, Yves Pomeau (de) et Monique Dubois-Gance, Des rythmes au chaos, Collection Opus **, Éditions Odile Jacob, 1997 (ISBN 2-7381-0524-6). Un autre ouvrage d'introduction au format poche, par des spécialistes français.

(en) Florin Diacu (en) et Philip Holmes (en), Celestial Encounters - The Origin of Chaos, Princeton University Press, 1996 (ISBN 0-691-00545-1). L'origine du "chaos" moderne se trouve dans les travaux pionniers d'Henri Poincaré réalisés à la fin du XIX siècle à propos d'un vieux problème de mécanique newtonienne : le problème à N corps. Les auteurs, mathématiciens spécialistes du domaine, retracent l'histoire de ce problème et de ses développements de Poincaré à nos jours. Vulgarisation accessible à partir du premier cycle universitaire.

Ivar Ekeland, Le chaos, Dominos, Flammarion, 1995 (ISBN 2-08-035172-9). Un ouvrage vulgarisant les notions de la théorie du chaos.

James Gleick, La Théorie du chaos, Albin Michel, 1989 (ISBN 2-226-03635-0). Réédité par Flammarion, 1991. Bestseller, a influencé les auteurs Michael Crichton (Jurassic Park) et Tom Stoppard (Arcadia).

Julien Gargani, Poincaré, le hasard et l’étude des systèmes complexes, L'Harmattan, 2012. un ouvrage d'histoire et philosophie des sciences.

John Briggs (en) et F. David Peat (en), Un miroir turbulent, Dunod, 1997 (ISBN 978-2-7296-0348-9). Un ouvrage de vulgarisation de la théorie du chaos.

Vincent Fleury, Arbres de pierre, 1998. Ouvrage de vulgarisation qui part de l'histoire des dendrites pour introduire la morphogenèse (sensible) et articuler les relations entre structures compactes et arborescentes.

Etienne Ghys, "La théorie du chaos". Une conférence enregistrée pour rendre ce concept accessible à tous, une coédition De vive voix - Académie des Sciences, 2011 (ce CD a reçu le Prix Lire dans le noir du livre audio 2011).

Textes techniques

Pierre Bergé, Yves Pomeau et Christian Vidal, L'ordre dans le chaos - Vers une approche déterministe de la turbulence, Hermann, 1988 (ISBN 2-7056-5980-3). Un ouvrage d'introduction au chaos par des experts français, accessible dès le premier cycle universitaire. Prix Henri-Poincaré 1990 de l'Académie des Sciences.

Gilles Deleuze, Félix Guattari, Du chaos au cerveau dans Qu'est-ce que la philosophie?, Paris, Les éditions de minuit, 1991

Christophe Letellier, Le Chaos dans la nature, Vuibert, 2006 (ISBN 2-7117-9140-8). Un ouvrage d'introduction tant aux aspects historiques qu'aux concepts techniques par un expert français.

(en) T. W. B. Kibble et F.H. Berkshire, Classical Mechanics, Prentice Hall, 4 édition, 1997 (ISBN 0-582-25972-X). Un excellent cours d'introduction à la mécanique, des fondements newtoniens jusqu’aux formalismes plus avancés de Lagrange et de Hamilton. Kibble est professeur émérite de Physique Théorique de l'Imperial College de Londres. Pour cette 4 édition (avec un coauteur), deux chapitres d'introduction aux idées de la théorie du chaos ont été inclus. Niveau : à partir du premier cycle universitaire. (N.B. : Il a existé une traduction française de l'édition précédente, publiée en son temps par Dunod.)

(en) Kathleen T. Alligood, Tim Sauer et James A. Yorke (en), Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1997 (ISBN 978-0-387-94677-1)

(en) David Ruelle, Deterministic chaos: the science and the fiction, Proceedings of the Royal Society London A 427 (1990), 241-248

Henri Poincaré, Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, 3 volumes, Éditions Gauthiers-Villars, 1892

Jacques Hadamard, Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques, Journal de mathématiques pures et appliquées 4 (1898), 27. Pour une revue plus récente, voir e.g. la référence suivante : Pierre Pansu, Le flot géodésique des variétés Riemanniennes à courbure négative, Séminaire Bourbaki 738 (1991) publié dans : Astérisque 201-203 (1991) 269-298.

(en) Vladimir Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, 2 édition, 1989 (ISBN 0-387-96890-3). Une synthèse de l'état de l'art en mécanique analytique (formalismes lagrangien & hamiltonien) avec l'accent mis sur l'interprétation géométrique de ces formalismes, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine. À partir du second cycle universitaire.

(en) Vladimir Arnold, V.V. Kozlov et A.I. Neishtadt, Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag (2 édition-1993). Une synthèse de l'état de l'art en mécanique céleste, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine (Arnold) et ses collaborateurs. À partir du second cycle universitaire.

(en) Vladimir Arnold et André Avez, Ergodic problems of classical mechanics, Advanced Book Classics, Addison-Wesley, 1988. Réédition d'un ouvrage classique écrit en 1968.

(en) David Ruelle et Jean-Pierre Eckman, Ergodic theory of chaos and strange attractors, Review of Modern Physisc 57 (1985), 617-656

(en) Vladimir Damgov, Nonlinear and parametric phenomena - Applications in radiophysical and mechanical systems, World Scientific, Series on Nonlinear Sciences, 2004.

Aspects historiques

(en) Amy Dahan et David Aubin, « Writing the History of Dynamical Systems and Chaos : Longue Durée and Revolution, Disciplines and Culture », Historia Mathematica, vol. 29,‎ 2002, p. 273-339 (lire en ligne [PDF])

Amy Dahan, « Le chaos a-t-il engendré une révolution scientifique ? », La Recherche,‎ janvier 2000

Amy Dahan, « Le difficile héritage de Henri Poincaré en systèmes dynamiques », dans J. Greffe, G. Heinzmann et K. Lorenz, Henri Poincaré, science et philosophie, Berlin, Akademie Verlag et Paris, Blanchard,‎ 1997, p. 13-33

(en) David Aubin, A Cultural History of Catastrophes and Chaos: Around the Institut des Hautes Études Scientifiques, France 1958-1980, Ph.D., Princeton University, 1998, UMI #9817022 [lire en ligne] au format pdf

数值r = 28，σ = 10，b = 8/3的劳伦兹引子图形。

一个双杆摆动画呈现混沌行为。 从开始略微不同的初始条件摆杆将导致一个完全不同的轨迹。双杆摆是具有混沌方案最简单的动力系统之一。

杜芬方程吸引子图列

蔡氏电路 吸引子

Rossler 吸引子

Chen 吸引子

混沌理论（Chaos theory）是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔（bifurcation）、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。在耗散系统和保守系统中，混沌运动有不同表现，前者有吸引子，后者无（也称含混吸引子）。

从20世纪80年代中期到20世纪末，混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注，引发了全球混沌热。混沌，也写作浑沌（比如《庄子》）。自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展示的一种类似随机的行为或性态。确定性（deterministic）是指方程不含随机项的系统，也称动力系统（dynamical system）。典型的模型有单峰镜像（logistic map）迭代系统，洛伦兹微分方程系统，若斯叻吸引子，杜芬方程，蔡氏电路，Chen 吸引子等。为浑沌理论做出重要贡献的学者有庞加莱、洛伦兹、上田睆亮（Y. Ueda）、费根堡姆、约克、李天岩、斯美尔、芒德勃罗和郝柏林等。混沌理论向前可追溯到19世纪庞加莱等人对**力学的研究，他提出了同宿轨道、异宿轨道的概念，他也被称为浑沌学之父。

混沌行为可以在许多自然系统中被观测到，例如天气和气候。对于这个行为的研究，可以通过分析混沌数学模型，或者通过诸如递归图和庞加莱映射等分析技术。

定义

混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。 “ 一切事物的原始状态，都是一堆看似毫不关联的碎片，但是这种混沌状态结束后，这些无机的碎片会有机地汇集成一个整体。 ” 混沌一词原指发现宇宙混乱状态的描述,古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中，科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家熟知的万有引力、杠杆原理、相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。 近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可以化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。如气象学家爱德华·诺顿·劳仑次（Edward Lorenz）发现简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的“蝴蝶效应”。60年代，美国数学家史蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）发现某些物体的行径经过某种规则性变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可循，呈现失序的混沌状态。

背景

1963年美国气象学家爱德华·劳仑次提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了决定系统可能产生随机结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在气象、航空及航天等领域的研究里有重大的作用。

应用

混沌动力学

受初始状态影响的敏感性，初始条件非常微小的变动也可以导致最终状态的巨大差别。

具有拓扑混合性；不严格地来说，就是系统会将初始空间的拓扑性质彻底打乱，使得任何初始状态变换到其他任何位置。

周期轨道稠密，即在任何初始值附近都可以找到具有周期轨道的值。