On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en la multipliant ou en la divisant par une même constante non nulle. Dans le cas où l'on multiplie, cette constante est appelée coefficient de proportionnalité.

Exemple : si, dans un magasin, le prix des pommes est de 2 euros le kg, il y a proportionnalité entre la somme S à payer et le poids P de pommes achetées, ce que l'on note parfois  : .

Avec un coefficient de proportionnalité égal à 2 :

• pour 1 kg, on doit payer 2 euros ;
• pour 3 kg, on doit payer 6 euros ;
• pour 1,5 kg, on doit payer 3 euros.

On remarque que le quotient des deux quantités est constant et est égal au coefficient de proportionnalité :

Les Anciens comme Euclide auraient écrit que 2 est à 1 comme 6 est à 3 ou comme 3 est à 1,5.

Tableau de proportionnalité

C'est un tableau où l'une des lignes est proportionnelle à l'autre.

On peut ajouter une colonne à un tableau de proportionnalité en additionnant deux colonnes : 3 + 1,5 = 4,5 et 6 + 3 = 9, donc

On peut aussi multiplier une colonne par une constante : 3 × 2 = 6 et 6 × 2 = 12, donc

Si on choisit deux colonnes, le produit des nombres situés dans une diagonale est égal au produit des nombres situés dans l'autre diagonale (produits en croix) :

3 × 3 = 6 × 1,5

Quatrième proportionnelle

La quatrième proportionnelle est le quatrième nombre à mettre dans un tableau de proportionnalité dont 3 cases sont déjà remplies. Ce quatrième nombre s'obtient en faisant le produit des nombres situés sur une même diagonale et en divisant par le troisième nombre.

Cette technique est appelée « règle de trois » ou « produit en croix ».

Exemple. On considère que le nombre de pages est proportionnel au nombre d'heures passées à les écrire. Il faut 6 heures pour écrire un rapport de 33 pages, combien d'heures faut-il pour un rapport de 55 pages ?

Tableau de proportionnalité :

Réponse :

Proportionnalité et géométrie

La proportionnalité en géométrie est principalement utilisée dans le théorème de Thalès et dans les triangles semblables. Mais on la retrouve aussi dans les coordonnées de vecteurs colinéaires. En dimension 2, la proportionnalité des coordonnées se traduit par l'égalité des produits en croix ab' = ba' qui devient alors ab' - ba'= 0 (déterminant nul).

Notations.

En géométrie plane, la loi des sinus affirme une relation de proportionnalité entre les longueurs et les sinus des angles d'un triangle. Sa démonstration repose sur la règle du produit en croix. Soit ABC un triangle du plan euclidien. Les longueurs des segments [BC], [CA] et [AB] sont notés a, b et c respectivement. On note , et les mesures des angles en A, B et C. Les notations sont indiquées sur la figure ci-contre. La longueur h de la hauteur issue de A peut se calculer de deux manières. Si H est le projeté orthogonal de A sur la droite (BC), les relations métriques dans les triangles rectangles ABH et ACH donnent : .

Le calcul des longueurs des autres hauteurs donne de même : et .

La règle du produit en croix implique que (a,b,c) est proportionnel a (loi des sinus). Cette loi est énoncée sous la forme .

Dans le traité de géométrie d'Euclide, deux triangles ABC et A'B'C' du plan euclidien sont définis comme semblables s'ils ont mêmes mesures d'angles. La loi des sinus implique alors que les longueurs AB, BC, et CA sont proportionnelles à A'B', B'C' et C'A'. La condition « être semblables » équivaut à l'existence d'une similitude du plan euclidien envoyant ABC sur A'B'C'. La similitude multiplie toutes les longueurs par un même coefficient k appelé le rapport de la similitude. Il vaut le coefficient de proportionnalité entre les longueurs (AB, BC, CA) et (A'B', B'C', C'A').

En géométrie vectorielle, deux vecteurs v et w d'un même espace vectoriel E sont dits colinéaires s'il existe un scalaire a tel que v=aw. Posons leurs coordonnées dans une base de E : et .

Alors les vecteurs v et w sont colinéaires ssi (v₁, …, v_n) est proportionnel à (w₁, …, w_n).

Représentation graphique

Représentation graphique de y = k × x

Dans un plan euclidien muni d'un repère cartésien, un point M est repéré par ses deux coordonnées x (l'abscisse) et y (l'ordonnée). Les coordonnées x = 0 et y = 0 correspondent à l'origine. Supposons que x et y représentent les valeurs de mesures (éventuellement dans une unité fixée si les grandeurs mesurées sont physiques). Soit une séquence finie de données (x1, y1), … (xn, yn). Ces données peuvent être interprétées comme les coordonnées respectivement des points M1, …, Mn. La grandeur ou variable y varie linéairement en fonction de la grandeur ou variable x si et seulement si les points O, M1, …, Mn sont alignés. Autrement dit, tous les points Mi sont situés sur une même droite passant par l'origine. Cette droite D est tracée en bleu ci-contre. Par extrapolation, une nouvelle mesure donnerait un couple (x, y) qui correspondrait aux coordonnées d'un point de la droite D.

Il existe un réel k tel que tous les points de D sont exactement les points de coordonnées (x,k × x). Autrement dit, un couple (x, y) correspond aux coordonnées d'un point de D si et seulement si y = k × x. Le réel k est appelé pente ou coefficient directeur de la droite. C'est aussi le coefficient de proportionnalité de y par rapport à x, On dit aussi que y ou y(x) est une fonction linéaire de x.

Lors d'une expérience, il se peut que des erreurs soient commises lors des relevés des mesures x et y. Les points O, M1, …, Mn placés dans le graphique se retrouvent alors à proximité d'une droite, de pente k. Une certaine liberté de choix demeure sur la pente k, mais des choix en un sens meilleurs peuvent être faits, en utilisant des méthodes dites de régression linéaire.

Quantités inversement proportionnelles

Deux quantités sont inversement proportionnelles, si l'une est proportionnelle à l'inverse de l'autre. Cette condition équivaut à ce que leur produit soit constant.

Exemple : pour parcourir 100 km, le temps est inversement proportionnel à la vitesse.

À 100 km⋅h, il faut 1 h

À 50 km⋅h, il faut 2 h

À 10 km⋅h, il faut 10 h

Leur produit est constant et représente la distance parcourue : 100 km⋅h × 1 h = 50 km⋅h × 2 h = 10 km⋅h × 10 h = 100 km

y 正比于 x。

在数学中，比例（英语：ratio）是两个非零数量 与 之间的比较关系，记为 ，在计算时则更常写为 或 。若两个变量的关系符合其中一个量是另一个量乘以一个常数（），或等价地表达为两变量之比率为一个常数（称为比值，），则称两者是成比例的。

如果 与 是可通约的，亦即它们之间存在一个公测量 (common measure) 使得 ， 就相等于两个整数的比：，那么 就称为可通约比 (commensurable ratio)， 称为一个分数，其比值称为有理数；否则，如果不存在一个公测量， 就称为不可通约比 (incommensurable ratio)，其比值称为无理数，亦即无法表达为分数的数。

两个比例之间也可以互相比较。如果两个比例相等，亦即，它们的比值相同，这个相等关系称为一个等比关系，例如， 是一个等比关系，其中 。特别是，如果第二项等于第三项，例如 ，那么 ， 称为 与 的几何平均数（geometric mean）。

定义

若存在一非零常数 k 使 则称变量 y 与变量 x 成比例（有时也称为成正比）。当x和y成正比关系，表示当x变为原来k倍时，y也会变为原来的k倍。 y是因变量 x是自变量 k则是变分常数，而k不等于0。如k=0，则不能成立正比关系。也就是说，x、y两个变量成线性函数关系。 该关系通常用 ∝ (统一码: U+221D) 表示为： 并称该常数比率 为比例常数或比例关系中的比例恒量。 在日常生活中，正比这个词的使用并不严格局限于线性函数，一般来说，一个变量随着另一个变量的增大（缩小）而相应地增大（缩小），近似地满足线性关系的时候，我们可以说这两个变量成正比。

例子

假设某人以匀速运动，则其运动的距离是和运动的时间成正比的，该速度值即是所述的比例常数。

圆的周长与其直径成正比，其中的比例常数等于π。

在按比例尺绘制的地图上，地图上任意两点间的距离是和该两点所代表的实际地点之间的距离成比例的，其比例常数即是绘制该地图所使用的比例尺系数。

物理学中，地球的重力对在海平面上的某物体的作用力的数值与该物体的质量成正比，其比例常数即地球的重力加速度。

性质

因为 等价于 因此可推出，若 y 与 x 具有比例常数为 k 的比例关系，则 x 也与 y 具有比例常数为 1/k 的比例关系。 若 y 与 x 成比例，则 y 作为 x 的一个函数的函数图像会是一条穿过原点的直线，该直线的斜率等于其比例常数。 比例关系中，位于两端的两数之积等于位于中间的两数之积 ↔ 比例的其他性质 ↔ ↔ ↔ ↔ 若有且有则有

反比关系

在上面定义中，我们说有时称两个成比例的变量成正比例，这是为了和反比例关系相对应。 如果两变量中，一个变量和另外一个变量的倒数成正比，或等价地，若这两变量的乘积是一个常数，则称这两个变量是成反比例（或相反地变化）的。从而可继续推出，若存在一非零常数 k 使 则变量 y 和变量 x 成反比。 反比例关系的概念基本上说明的是这样一种关系，即当一个变量的值变大时，另一变量的值相应变小，而两者之积总是保持为一常数（即比例常数）。 举例来说，运动中的车辆走完一段路程所花费的时间是和这辆车运动的速度成反比的；在地上挖个坑所花的时间也（大致地）和雇来挖坑的人数成反比的。 在笛卡尔坐标平面上，两个具有反比例关系的变量的图形是一对双曲线。该图线上的每一点的 X 和 Y 坐标值之积总是等于比例常数 (k)。由于 k 非零，所以图线不会与坐标轴相交

指数比例和对数比例

若变量 y 与变量 x 的指数函数成正比，即：若存在非零常数 k 使 则称 y 与 x 成指数比例。 类似地，若变量 y 与变量 x 的对数函数成正比，即：若存在非零常数 k 使 则称 y 与 x 成对数比例。

确定比例关系的实验方法

用实验方法确定两个物理量是否具有正比关系，可采用这样的办法，即进行多次测量并在笛卡尔坐标系中将这些测量结果用多个点来表示，而绘制出这些点的分布图形；如果所有点完全（或接近）地落在一条穿过原点 (0, 0) 的直线上，则这两个变量（很有可能）具有比例常数等于该直线斜率的正比关系。