Un ruban de Möbius est une surface fermée dont le bord se réduit à un cercle. De tels objets sont des sujets étudiés par la topologie.

La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures). La topologie s’intéresse plus précisément aux espaces topologiques et aux applications qui les lient, dites « continues ». Elle permet de classer ces espaces, notamment les nœuds, entre autres par leur dimension (qui peut être aussi bien nulle qu’infinie). Elle s’intéresse aussi à leurs déformations.

En analyse, grâce aux informations qu’elle fournit sur l’espace considéré, elle permet d’obtenir un certain nombre de résultats (existence ou unicité de solutions d’équations différentielles, notamment).

Les espaces métriques ainsi que les espaces vectoriels normés sont des exemples d’espaces topologiques.

Étymologie

Le mot « topologie » (en grec η τοπολογία) procède de l'association de deux noms grecs ο τοπος (o topos, masculin) et η λογία (i logia, féminin) qui signifient respectivement « le lieu » et « l'étude ». Littéralement, topologie signifie l'« étude d'un lieu » ou « étude topique ». Elle s’intéresse donc à définir ce qu’est un lieu (appelé aussi « espace ») et quelles peuvent en être les propriétés. Une ancienne dénomination fut analysis situs, c'est-à-dire « l'étude du lieu ».

Histoire

Leonhard Euler, en 1736, étudia le problème des sept ponts de Königsberg. Ce fut le point de départ de la topologie moderne.

L’origine de la topologie est l’étude de la géométrie dans les cultures antiques. Le travail de Leonhard Euler datant de 1736 sur le problème des sept ponts de Königsberg est considéré comme l’un des premiers résultats de géométrie qui ne dépend d’aucune mesure, c’est-à-dire l’un des premiers résultats topologiques.

Henri Poincaré publia Analysis Situs en 1895, introduisant les concepts d'homotopie et d'homologie.

Maurice Fréchet, unifiant les travaux sur les espaces de fonctions de Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli et d’autres, introduit le concept d'espace métrique en 1906.

En 1914, Felix Hausdorff, en généralisant la notion d’espace métrique, inventa le terme d'« espace topologique » et définit ce qui s'appelle aujourd'hui l'espace séparé ou espace de Hausdorff.

Finalement, une autre légère généralisation en 1922, par Kuratowski, donna le concept actuel d'espace topologique.

Le terme « topologie », fut introduit en allemand en 1847 par Johann Benedict Listing dans Vorstudien zur Topologie.

Principes fondateurs

Le concept central en topologie est la notion de limite. Prenons l'exemple d'une surface fermée, un disque par exemple. D'un strict point de vue ensembliste, il y a les points qui sont dans le disque et ceux qui ne sont pas dedans. Pourtant, ce point de vue n'est pas satisfaisant géométriquement. Les points qui sont sur le cercle délimitant le disque ont un statut particulier, ils sont à la limite. D'ailleurs, dans la définition d'un disque, on a un choix à faire : considère-t-on l'ensemble des points dont la distance au centre est inférieure ou égale au rayon ou considère-t-on l'ensemble des points dont la distance au centre est strictement inférieure au rayon ? Dans le premier cas, on dit que le disque est fermé, dans le second cas, on dira que le disque est ouvert. Plus généralement, on dira qu'une surface est fermée lorsqu'elle contient tous ses points limites. On dira qu'une surface est ouverte si pour chacun de ses points il existe un disque centré en ce point qui est inclus dans cette surface.

Cette idée de limite est très visuelle. La topologie cherche à formaliser cette notion. Il y a plusieurs moyens d'y parvenir. La façon la plus simple est de définir une distance. Dans notre exemple, on utilise simplement la distance euclidienne. Les points limites sont ceux qui sont proches (c'est-à-dire à une distance aussi faible que désirée) à la fois de points dans notre surface et de points qui ne sont pas dedans. Définir une distance sur un ensemble lui confère une structure d'espace métrique. Cette façon de voir est suffisante pour résoudre de nombreux problèmes. Cependant, utiliser une distance passe par l'intermédiaire des nombres réels et introduit donc une contrainte qu'il a fallu dépasser. Pour cela, on a été amené à définir le concept de proximité de façon plus abstraite, sans faire appel à un argument numérique, c'est le concept de voisinage. Pour des raisons techniques, il est équivalent et plus simple de définir directement les ouverts avant les voisinages, c'est donc ainsi que l'on définit usuellement une topologie : en décidant quelles sont les parties ouvertes.

La notion de limite n'est pas seulement statique mais aussi dynamique. La topologie permet d'appréhender les limites de fonctions ou de suites. Regardons la suite des inverses des nombres entiers à partir de 1 : 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, … , 1/n, … À la limite, cette suite va tendre vers 0. Cela rejoint plus ou moins le fait que 0 est un point limite de l'ensemble des 1/n.

Il est important de noter que la plupart des notions de topologie, notamment la continuité sont des conséquences de la notion de limite. C'est le cas notamment de la notion de dérivée qui se conçoit comme limite du taux d’accroissement, de la tangente qui est la limite des cordes.

La topologie est donc une théorie unificatrice : elle explique avec peu d'axiomes initiaux un grand nombre de phénomènes.

Branches de la topologie

La topologie générale fournit un vocabulaire et un cadre général pour traiter des notions de limite, de continuité, et de voisinage.

L'idée de la topologie algébrique consiste à associer à différents espaces des invariants de manière à pouvoir les classifier. Les premiers invariants découverts étaient numériques. Aujourd'hui ces invariants sont des structures algébriques, groupes, anneaux, le plus souvent. Les correspondances entre espaces et objets sont des foncteurs et la théorie des catégories simplifie parfois la compréhension de celles-ci. Citons entre autres, le groupe fondamental et l'homologie singulière.

La topologie différentielle étudie les propriétés topologiques des variétés différentielles ainsi que leurs plongements et leurs immersions dans des espaces euclidiens.

La topologie géométrique est l'étude des variétés et des applications entre elles, en particulier les plongements d'une variété dans une autre. Une branche particulière active est la topologie en basses dimensions qui concerne les variétés de dimension inférieure ou égale à quatre, et qui inclut la théorie des nœuds.

Depuis les années 50 et avec l'influence du séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie d'Alexandre Grothendieck, la topologie est aujourd'hui définie plus largement comme l'étude des topos.

Psychanalyse lacanienne

Jacques Lacan s'est appuyé sur la topologie vers la fin de son enseignement, dans son exposition des structures inconscientes du sujet.

莫比乌斯带，只有一个面与一个边，为拓扑学所研究之一类对象。

在数学里，拓扑学（英语：topology），或意译为位相几何学，是一门研究拓扑空间的学科，主要研究空间内，在连续变化（如拉伸或弯曲，但不包括撕开或黏合）下维持不变的性质。在拓扑学里，重要的拓扑性质包括连通性与紧致性。

拓扑学是由几何学与集合论里发展出来的学科，研究空间、维度与变换等概念。这些词汇的来源可追溯至哥特佛莱德·莱布尼兹，他在17世纪提出「位置的几何学」（geometria situs）和「位相分析」（analysis situs）的说法。李昂哈德·欧拉的柯尼斯堡七桥问题与欧拉示性数被认为是该领域最初的定理。「拓扑学」一词由利斯廷于19世纪提出，虽然直到20世纪初，拓扑空间的概念才开始发展起来。到了20世纪中叶，拓扑学已成为数学的一大分支。

拓扑学有许多子领域：

一般拓扑学创建拓扑的基础，并研究拓扑空间的性质，以及与拓扑空间相关的概念。一般拓扑学亦被称为点集拓扑学，被用于其他数学领域（如紧致性与连通性等主题）之中。

代数拓扑学运用同调与同伦群等代数结构量测连通性的程度。

微分拓扑学研究在微分流形上的可微函数，与微分几何密切相关，并一齐组成微分流形的几何理论。

几何拓扑学主要研究流形与其对其他流形的嵌入。几何拓扑学中一个特别活跃的领域为「低维拓扑学」，研究四维以下的流形。几何拓扑学亦包括「纽结理论」，研究数学上的纽结。

三叶结是最简单的非平凡纽结。

历史

柯尼斯堡七桥问题被认为是拓扑学里最初的定理，由李昂哈德·欧拉所解出。 拓扑学开始于对几何上特定问题的研究。李昂哈德·欧拉于1736年有关柯尼斯堡七桥问题的论文被认为是现代拓扑学的第一份学术著作。 「拓扑学」一词于1847年由利斯廷在《Vorstudien zur Topologie》一书中提出。拓扑学的英文于1883年在自然杂志上对利斯廷的讣文中第一次出现，用来区分「…定性的几何学，于主要被以定量关系对待的一般几何学中」。不过，上述用词都与现代对拓扑学的定义不完全相同。 现代拓扑学主要依靠集合论的概念。集合论由格奥尔格·康托尔于19世纪后半所发展。除了创建起集合论的基本概念外，康托尔亦将欧氏空间里的点集合作为他对傅里叶级数之研究的一部分。 儒勒·昂利·庞加莱于1895年发表论文《相位分析》（Analysis Situs），引进同伦与同调的概念，这些概念现在被认为是代数拓扑的一部分。 统合格奥尔格·康托尔、维多·沃尔泰拉、西萨尔·阿尔泽拉、雅克·阿达马与朱利奥·阿斯科利等人对函数空间的成果，莫里斯·弗雷歇于1906年引入度量空间的概念。度量空间现在被认为是一般拓扑空间的特例。于1914年，费利克斯·豪斯多夫提出「拓扑空间」一词，并给出现代称之豪斯多夫空间的定义。今日的拓扑空间之定义为豪斯多夫空间稍微的推广，由卡齐米日·库拉托夫斯基于1922年所给出。 有关更进一步的发展，请见点集拓扑学与代数拓扑学。

简介

没有洞、

没有洞及有三个尾巴、

没有洞及有四个尾巴、

有一个洞及没有尾巴、

有一个洞及一个尾巴、

有一个洞及两个尾巴、

有两个洞及没有尾巴，以及

有一横杠及四个尾巴（K 上的「横杠」几乎短到看不到）。

一个洞、

两个洞，以及

没有洞。

概念

空集合与 X 均为 τ 的元素

τ 内元素间的任何联集均为 τ 的元素

τ 内有限多个元素间的任何交集均为 τ 的元素

主题

一般拓扑学 一般拓扑学是拓扑学的分支，处理用于拓扑学的基本集合论定义与建构。一般拓扑学是拓扑学内大多数分支的基础，包括微分拓扑学、几何拓扑学与代数拓扑学。一般拓扑学又称为点集拓扑学。 点集拓扑学的基本概念为「连续性」、「紧致性」与「连通性」。直观来看，连续函数将邻近的点映射至邻近的点上。紧致集合为可被有限多个任意小之集合覆盖之集合。连通集合为不能被分成两个拆开之部分的集合。「邻近」、「任意小」与「拆开」等词都可以透过使用开集合来精确定义。若改变了开集合的定义，连续函数、紧致集合与连通集合的定义亦会改变。每个对「开集合」定义之选择均是一个「拓扑」。具拓扑之集合称之为「拓扑空间」。 「度量空间」是个可为距离指配一个被称为「度量」之数值的一类拓扑空间。拥有度量能简化许多证明，而许多常见的拓扑空间也都是度量空间。 代数拓扑学 代数拓扑学为数学的一个分支，使用抽象代数里的工具来研究拓扑空间。其基本目标为寻找代数不变量，以分类同胚意义下的拓扑空间，但最常分类的是同伦等价下的拓扑空间。 其中最重要的不变量有同伦群、同调与上同调。 虽然代数拓扑学主要是使用代数来研究拓扑问题，但使用拓扑学来解决代数问题，有时也是有可能的。例如，代数拓扑数能轻易地证明自由群的任一个子群仍是个自由群。 微分拓扑学 微分拓扑学是一门学科，研究在微分流形上的可微函数，与微分几何密切相关，并一齐组成微分流形的几何理论。 更具体来说，微分拓扑考虑只依靠定义在流形上之光滑结构的性质与结构。可在光滑流形上附加额外的几何结构，以用来阻碍存在于微分拓扑中的某几类等价与形变。例如，体积与黎曼曲率是可区分相同光滑流形上的不同几何结构之不变量；亦即，虽然可光滑地「摊平」某些流形，但可能需要扭曲空间，并影响其曲率或体积。 几何拓扑学 几何拓扑学是拓扑学的一个分支，主要侧重于低维（即二维、三维与四维）流形及其与几何之交互的研究，但亦包括部分较高维拓扑。几何拓扑学的研究主题包括可定向性、柄分解、局部平坦与平面及高维商弗力士定理。 在高维拓扑里，特征类是个基本的不变量，割补理论是其重要理论。 低维拓扑具有强烈几何含意，体现在二维的单值化定理里，这个曲面都有一个常数曲率的度量；几何上来说，每个曲面都会是下面3种几何的其中一种：正曲率/球面、零曲率/平面、负曲负/双曲面。三维的几何化猜想（现为定理）表示，每个三维流形都可被分解成数个质流形，而每个质流形都会是八种几何的其中一种。 二维拓扑可被视为具单一变量的复几何（在黎曼曲面里为复曲线）来研究。透过单值化定理，每类共形的度量都会等价于一个唯一的复流形。而四维拓扑则可被视为具有二个变量的复几何（复曲面）来研究，虽然不是每个四维流形都能有一个复结构。 推广 有时需要用到拓扑学里的工具时，不一定存在「点的集合」。在无点拓扑学里，考虑改以开集合的格来作为该理论的基本概念；而格罗滕迪克拓扑则是个定义在任意范畴上的结构，允许在这些范畴上定义出层，以及一般上同调理论的定义。

应用

将一组数据线以单纯复形替代，并以邻近参数索引。

使用代数拓扑学（具体来说，是使用持续同调的理论）分析这些拓扑复形。

以参数形式的贝蒂数编码一组数据的持续同调，称之为「条码」。

另见

点集拓扑学

代数拓扑学主题列表

一般拓扑学例子列表

一般拓扑学主题列表

几何拓扑学主题列表

拓扑学主题列表