entière是什么意思_entière的常见用法_近义词

近义、反义、派生词

形容词变化：entier

联想词

toute 任

，

个; part 份，份额; entièrement 整个地，完全地，全部地; partie 部分，局部; singulière 独特的，奇特的; responsabilité 责任; indépendante 独立的，自立的，自主的，不依靠的; majeure 大的，多的; elle-même 她自己，她本人; entité 实体，实际存在物; satisfaction 满意，满足;

当代法汉科技词典

adj. f 【数学】整数

séparation entière 截然分隔

Herba Gei (plante entière desséchée de Geum alippicum) Herba Gei (plante entière desséchée de Geum alippicum)【药】蓝布正

短语搭配

jointure externe entière完全外部联接;完整外部联结

une heure tout entière整整一个小时

la ville tout entière整个城市

série entière整级数

bourse entière全额奖学金

séparation entière截然分隔

plante entière ensilée全株青贮料

la terre entière大家，全人类：

prime (entière, intégrale)全部保管费

Les enfants au-dessus de sept ans paient place entière.7岁以上儿童购全票。

原声例句

Par contre, je peux passer des soirées entières à parler anglais avec des étrangers et m'amuser sans avoir le moindre blocage.

然而，我可以一整晚地和外国人说英语，并且毫无障碍地进行娱乐。

[innerFrench]

Hedi Slimane aime collaborer avec des artistes, mais sur des pièces spécifiques plutôt que sur des collections entières.

艾迪·斯理曼喜欢与艺术家合作，但更倾向于在特定单品上合作，而不是整个系列。

[时尚密码]

Le 1er juillet 1946, au petit matin: " Bikini" fait la une des journaux sur la planète entière.

1946年7月1日凌晨：“比基尼”成为全世界的头条新闻。

[精彩视频短片合集]

Ça mériterait une vidéo entière tellement vous me posez de questions sur les liaisons et honnêtement, je n'ai pas toujours les réponses.

这个话题值得一整个视频来讲解，因为你们经常问我很多关于联诵的问题，坦率地说，而我并不总是有答案的。

[Français avec Nelly]

En ce moment, la ville entière retentissait du tour de force de Grandet, de la faillite de son frère et de l’arrivée de son neveu.

满城都在谈论葛朗台的那一下辣手，他兄弟的破产，和侄子的到来。

[欧也妮·葛朗台EUGÉNIE GRANDET]

Ce valet de chambre, qui s’appelait Germain et qui jouissait de la confiance entière de son jeune maître, tenait à la main une liasse de journaux qu’il déposa sur une table, et un paquet de lettres qu’il remit à Albert.

这个仆人名叫杰曼，他深得他这位青年主人的信任，他一手拿着几份报纸，一手拿着一叠信，先把信交给了阿尔贝。

[基督山伯爵 Le Comte de Monte-Cristo]

La chronique locale, qui d'habitude est très variée, est maintenant occupée tout entière par une campagne contre la municipalité : « Nos édiles se sont-ils avisés du danger que pouvaient présenter les cadavres putréfiés de ces rongeurs ? »

本地报纸专栏的内容通常十分丰富，如今却整栏都在抨击市政府：" 我们的市政官员是否考虑了那些腐烂的老鼠尸体可能造成的弊害？"

[鼠疫 La Peste]

« Des soirées, des semaines entières sur un mot... et quelquefois une simple conjonction. »

" 为一个词花好多夜晚，甚至花整整几个星期… … 有时，就为一个简单的连接词。"

[鼠疫 La Peste]

Le docteur eut beau l'assurer qu'il y en avait un sur le palier du premier étage, et probablement mort, la conviction de M. Michel restait entière.

大夫向他保证说，二楼平台上就有一只，而且可能已经死了，说了也白搭，米歇尔先生依然信心十足。

[鼠疫 La Peste]

Se marier est une chose, dit-il à sa fille, mais permets-moi de te dire que partager sa vie entière avec quelqu'un en est une autre.

“结婚是一回事，”他对女儿说，“但是你听我说，要和一个人共同分享生命的全部，这又是另外一回事。

[那些我们没谈过的事]

例句库

Une colonie entière de fourmis est apparue pendant mon pique-nique .

在我野餐时一整个蚁群倾巢出动了。

Dans leur à part entière, de plus en plus étroite du marché dans le monde ne peut plus satisfaire les deux de leur mode de traitement.

在它们羽翼丰满后，越来越狭窄的世界市场已经不能满足其两头在外的加工方式。

Le temps passe très vite, encore une saison et ça fera une année entière, mais je ne sais pas si je peux atteindre ce scord, hihi.

时间过的真快，如果在呆上一个季度就要满周岁了，但不知道能不能达到这个记录，呵呵!可本人对于能否达到这个记录并不太在乎。

Que me veut ce drôle ? dit-il avec un éclat de voix qui rendit la salle entière attentive à cet étrange colloque. Tu ne vois pas que j'en suis ?

“你这个家伙想干什么？”他张开嗓门大喝了一声，全场观众都侧耳听着这场奇异的对话。

Si il y a certaines personnes qui se sentaient visés vis àvis de mon post, ou qui n'étaient pas d'accord sur certaines points, je prendrais l'entière responsabilité.

有人觉得我说的对也好，有人不同意我的部分观点也好，我都为自己所说的负全部责任。

Aussi l'appela-t-on Babel : là en effet Yahvé confondit le langage de toute la terre.Et de là Yahvé les dispersa sur la face de la terre entière.

从此，这个地方被称为“巴别”（变乱的意思），正是在这儿上帝耶和华打乱了人类的语言，并把众人分散到地面各个角落里去的。

Aucune matière vous si le futur m'aimera, je pourrai tout la vie entière pour aimer seulement votre, ce sera moi doit dire complet à toi.

不论你将来是否爱我，我都会一生一世只爱你一个，这就是我要对你说的全部。

En Equipe de France: Détesté par la France entière, y compris par ses joueurs, Raymond Domenech a eu du mal à se faire respecter.Abscence de stratégie, mauvaise communication, dialogue inexistant...

多梅内克试图树立自己的权威，但他的尝试遭到了一点小小的挫折-几乎所有的法国人都讨厌他，包括他麾下的球员们。

En 1904, date des « Arbres », sa 1ère exposition personnelle se tient à Bruxelles et une salle entière lui est consacrée par la Sécession viennoise.

在1904年的日期“树”，他的第一展在布鲁塞尔举行的整个房间耗费在维也纳分裂它。

Les procédures d'indemnisation seront accélérées. à toutes les victimes, à leurs familles, je veux dire ma peine et la solidarité de la nation tout entière.

在这里，我要向所有受害者及其家属表示我的沉痛心情，同时代表全民族向他们表示慰问。

A éviter à tout prix sous peine de faire fuir la galaxie toute entière : le langage maniéré (trop saint-nitouche) ou le mode poissonnière (trop fort, trop vulgaire).

避免不惜一切代价的做出好像想要逃离这个星球的样子：说话太过客气（显得像个圣人）或像个市井欧巴桑（太庸俗）。

De distribution: Ganoderma lucidum capsules entières, le décapage de la totalité de Ganoderma lucidum spores poudre mur, GLS a été favorisé par les utilisateurs.

全灵芝胶囊，全灵芝剥壁孢子粉，灵芝孢子粉受到了国内用户的青睐。

Si nous pouvions la voir tout entière, elle apparaîtrait comme une grande roue épaisse au centre et plus mince sur les bords.

假如我们能看到整个银河的话，那么它就象一个中间厚边缘薄的大轮子。

L’impôt sur le gros bétail est dû pour l’année entière pour les éléments détenus au moment de la déclaration.

申报时所有的征税项目均按整年度纳税。

Servez la dinde entière accompagnée d’une purée de pommes de terre et céleri.

火鸡整只上桌，配上土豆泥和芹菜。

Le voyage dans le temps est un des grands thèmes de la science-fiction, au point d’être considéré comme un genre à part entière.

时空旅行（意译为穿越）是科幻小说里的一个大课题，以至于完全被认为是另一个单独的分类。

C'est un thème qui a influencé l'humanité entière, et qui me passionne.

这是一个影响了全人类的主题，这让我着迷。

Aujourd'hui est dans l'examen secteur-large d'étudiant de ville entière de septembre, trois examinent toute la journée aujourd'hui fini.

今天是9月全市最多学生参加考试的一天,今天一整天要完成3门考试.

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Il leur accorde son entière confiance.

他对他们表示完全的信任。

法语百科

La fonction associant à chaque nombre réel sa partie entière est traitée à l'article Partie entière. Voir aussi la page Entier.

En analyse complexe, une fonction entière est une fonction holomorphe définie sur tout le plan complexe. C'est le cas notamment de la fonction exponentielle complexe, des fonctions polynômes et de leurs combinaisons par composition, somme et produit, telles que sinus, cosinus et les fonctions hyperboliques.

Le quotient de deux fonctions entières est une fonction méromorphe.

Considérée comme un cas particulier de la théorie des fonctions analytiques, la théorie élémentaire des fonctions entières ne fait que tirer les conséquences de la théorie générale. C'est celle que l'on voit essentiellement dans un premier cours sur la théorie des fonctions complexes (souvent enrichi du théorème de factorisation de Weierstrass). Mais l'étude, commencée depuis le milieu du XIX siècle, par Cauchy, Laguerre, Weierstrass... s'est considérablement enrichie sous l'impulsion de Borel, Hadamard, Montel, Valiron, Blumenthal... (sans oublier Nevanlinna) et constitue maintenant une imposante théorie.

La théorie des fonctions entières se fixe comme buts de classifier les fonctions entières selon leurs croissances, de préciser le lien entre les coefficients de Taylor de la fonction et la croissance, le lien entre les zéros éventuels et le comportement de la fonction, et les relations entre la fonction et ses dérivées sur ces questions.

Ces aspects de la théorie des fonctions entières ont été étendus aux fonctions méromorphes.

Les fonctions entières dans la théorie des fonctions analytiques

On classe habituellement les fonctions analytiques complexes selon leur complexité, et cette complexité est celle de leurs singularités. Hormis les fonctions polynômes, apparaissent ainsi les fonctions entières qui sont l'objet de cet article, les fonctions méromorphes qui sont des quotients de fonctions entières et dont les seules singularités sont polaires, les fonctions présentant des singularités essentielles ou des points de branchement formant ainsi les fonctions les plus compliquées parmi les fonctions analytiques d'une seule variable complexe.

Les fonctions entières apparaissent comme des généralisations des fonctions polynômes : elles se comportent comme des "polynômes de degré infini". Ce sont ainsi les fonctions analytiques les plus simples en dehors des polynômes, n'ayant aucune singularité à distance finie et une seule singularité à l'infini, comme on le verra. Cependant l'étude de ces fonctions est difficile et il reste encore de très nombreuses questions ouvertes bien que cette étude soit commencée depuis près de deux cents ans.

Théorie élémentaire

Soit f une fonction analytique complexe holomorphe en z. Elle est développable en série entière autour du point z selon la formule de Taylor-MacLaurin

f(s)=\sum_{n=0}^\infty{a_n (s-z)^n}.

La théorie des séries entières montre que la série précédente converge absolument et uniformément dans le disque ouvert de centre z et de rayon R donné par le théorème de Cauchy-Hadamard :

\frac1R=\limsup_{n \rightarrow \infty}|a_n|^{1/n}.

Le principal résultat de la théorie des fonctions analytiques complexes est que le rayon de convergence est déterminé par la distance $R$ entre le point $z$ et la singularité la plus proche.

On dit d'une fonction analytique complexe qu'elle est entière lorsqu'elle est holomorphe en tout point du plan complexe. Elle n'a donc pas de singularité à distance finie.

Rappelons qu'une fonction holomorphe en un point y est indéfiniment dérivable.

Soit f une fonction entière. Comme toute fonction analytique holomorphe en un point, elle est développable en série entière convergente de la forme

f(z)= \sum_{n \ge 0}a_n z^n

et, comme elle n'a d'autre singularité que le point à l'infini, le rayon de convergence est infini. Autrement dit, la série converge quelle que soit la valeur de z.

On a donc

\limsup_{n \rightarrow \infty}|a_n|^{1/n}=0.

Et il en est de même de chacune de ses dérivées qui sont entières également.

La formule intégrale de Cauchy

f(z)=\frac1{2\pi i}\int_\gamma{\frac{f(s)}{s-z}ds}

permet, en développant la fraction 1/(s-z) en série entière, d'identifier les coefficients de Taylor à des intégrales :

a_n=\frac{f^{(n)}(z)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma{\frac{f(s)}{(s-z)^{n+1}}ds}.

Dans les deux cas est un chemin fermé (un lacet) sans boucle entourant z.

Les inégalités de Cauchy

Dans la formule intégrale donnant les coefficients, en appelant le maximum du module de la fonction sur le disque de centre z et de rayon R, une majoration simple donne les inestimables inégalités de Cauchy

|a_n| \le \frac{M(R)}{R^n}.

Le théorème de Liouville

Un résultat important sur les fonctions entières est le théorème de Liouville:

Théorème de Liouville — Si une fonction entière est bornée, alors elle est constante.

Une démonstration possible est l'application des inégalités de Cauchy en remarquant que $M(R)$ est alors borné quel que soit $R$ . Il suffit donc de faire tendre $R$ vers l'infini pour avoir le résultat.

Cela peut être utilisé pour fournir une démonstration élégante, par l'absurde, du théorème de d'Alembert-Gauss :

Théorème de d'Alembert-Gauss — Tout polynôme de degré n admet exactement n racines complexes comptées avec leur multiplicité.

Le petit théorème de Picard renforce considérablement le théorème de Liouville

Petit théorème de Picard — Toute fonction entière non constante prend, sur le plan complexe, toutes les valeurs sauf une au plus.

Dans un certain sens, qui sera précisé plus tard, la théorie des fonctions entières tourne entièrement autour du petit théorème de Picard.

Propriétés algébriques

Une fonction holomorphe définie sur un domaine – c'est-à-dire un ouvert connexe – s'étend en une fonction entière si et seulement si le rayon de convergence de sa série de Taylor est infini en un point quelconque de son domaine.

L'ensemble des fonctions entières est stable par composition et forme une sous-algèbre complexe de l'espace des fonctions continues du plan complexe dans lui-même.

Le point à l'infini

Comme une fonction entière est constante si elle est bornée, et qu'elle ne peut avoir aucun autre point singulier que l'infini, le point à l'infini est un point singulier pour toute fonction entière non constante. Il ne peut s'agir que d'un pôle ou d'une singularité essentielle. Dans le premier cas (le pôle à l'infini), la fonction entière est un polynôme. Dans le second cas (singularité essentielle en l'infini), on dit que la fonction est transcendante.

Le principe des zéros isolés

Soit f une fonction analytique dans un domaine U, s'annulant en a. Alors, ou f est identiquement nulle, ou il existe un disque D de centre a, pour lequel f(s) est non nul, quel que soit s dans D autre que a.

Ceci se déduit du principe du prolongement analytique.

Le théorème de l'image ouverte

Si f est une fonction analytique non constante sur un ouvert U, alors f(U) est un ouvert.

On peut le démontrer à partir du principe des zéros isolés.

Le principe du maximum

Soit f une fonction analytique non constante sur un domaine D. Du théorème de l'image ouverte on déduit immédiatement :

le module de f ne possède pas de maximum local dans D (donc, si D est borné, le maximum de |f| se trouve sur la frontière de D) ;

si f ne s'annule pas sur D alors |f| ne possède pas non plus de minimum local dans D ;

la partie réelle de f ne possède dans D ni maximum local, ni minimum local.

On en déduit notamment le lemme de Schwarz.

Plus généralement, toute fonction sous-harmonique (comme |f| et, si f ne s'annule pas, 1/|f|) vérifie le principe du maximum, donc toute fonction harmonique (comme Re(f)) vérifie le principe du maximum et du minimum.

Les théorèmes de Phragmén-Lindelöf

Le principe de Phragmén-Lindelöf (en) est une généralisation du principe du module maximum à des domaines non bornés.

La croissance des fonctions entières

Le module maximum des fonctions entières

On dit d'une fonction analytique complexe qu'elle est entière lorsqu'elle est définie sur le plan complexe tout entier et holomorphe en chaque point. Elle ne présente donc que le point à l'infini pour seule singularité.

On pose

M_f(r)=\max_{|z|=r}|f(z)|.

Cette fonction croît monotonement, par suite du principe du maximum. Et, en corollaire du théorème de Liouville, elle n'est pas bornée pour les fonctions entières non constantes.

Elle est appelée module maximum de la fonction $f$ .

La fonction ln $M_f(r)$ est une fonction convexe de ln r. (Hadamard)

La fonction ln $M_f(r)$ est continue et analytique par intervalles. (Blumenthal)

En conséquence de la convexité, ln $M_f(r)$ admet une dérivée à droite et à gauche, et ces dérivées sont croissantes. Il existe une fonction $v(t)$ croissante (mais pas nécessairement continue) telle que

\ln M(r) = \ln M(1)+\int_1^r {v(u)\frac{du}{u}}.

L'ordre des fonctions entières

Si pour une valeur quelconque $\lambda$ , on a

\liminf_{r \rightarrow \infty}\frac{M_f(r)}{r^\lambda}=0

la fonction f est un polynôme de degré au plus égal à $\lambda$ .

Lorsque l'égalité précédente n'a lieu pour aucune valeur de $\lambda$ , on compare la croissance de $M_f(r)$ à $\exp(r^k)$ . Si l'on a, à partir d'une valeur $r_0$ de $r$ , l'inégalité

M_f(r) < \exp(r^k),

on dit que la fonction est d'ordre fini. L'ordre (supérieur) de croissance de $f$ est donné par la formule

\rho=\rho_f=\limsup_{r \rightarrow \infty}\frac{\ln \ln M_f(r)}{\ln r}.

On distingue, parmi les fonctions entières de même ordre $\rho$ , les fonctions de type $\sigma_f$ défini par la formule

\sigma_f=\limsup_{r \rightarrow \infty}\frac{\ln M_f(r)}{r^\rho}.

Selon la valeur de $\sigma_f$ , on distingue le type minimal ( $\sigma_f=0$ ), normal ( $0< \sigma_f< \infty$ ) ou maximal ( $\sigma_f=\infty$ ).

On montre les résultats suivants :

Exemples

La fonction $\exp(z)$ est d'ordre 1 ainsi que les fonctions $\sin(z)$ et $\cos(z)$ .

La fonction de Mittag-Leffler

f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{\Gamma\left(1+\frac{n}{\rho}\right)}

est d'ordre $\rho$ .

Il en est de même de la fonction de Lindelöf définie par

f(z)=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{n^{1/\rho}}\right)^n

Relation entre les coefficients et la croissance

Si la fonction entière est telle que

f(z)=\sum_{n\ge 0}a_n z^n

et que

M_f(r) < e^{Ar^k}

pour $r$ suffisamment grand,

alors on a

|a_n| \le \left(\frac{eAk}{n}\right)^{n/k}

pour $n$ suffisamment grand.

Réciproquement, si l'on a

|a_n| \le \left(\frac{eAk}{n}\right)^{n/k}

pour $n$ suffisamment grand, alors, pour tout $\epsilon>0$ ,

M_f(r) < e^{(A+\epsilon)r^k}

pour $r$ suffisamment grand.

De ce résultat on déduit

L'ordre de la fonction entière est déterminé par la formule
$\rho_f=\limsup_{n \rightarrow \infty}\frac{n\ln n}{\ln 1/|a_n|}.$
Le type de la fonction entière est déterminé par la formule
$\sigma_f=\frac1{\rho e}\limsup_{n \rightarrow \infty}n|a_n|^{n/\rho}.$

Le lemme de Borel-Carathéodory

On a vu que le maximum sur un cercle est en rapport avec les coefficients de la fonction développée en série entière. On peut se demander s'il en est de même, par exemple, avec seulement la partie réelle de la fonction. Ce lien est fourni de manière générale par le lemme de Borel-Carathéodory, qui donne de plus une estimation concernant les dérivées :

Soit f(z) une fonction analytique dans la boule fermée B(0,R) de centre 0 et de rayon R, et A(r) le maximum de sa partie réelle prise sur le cercle de rayon r.

Alors on a l'inégalité suivante, pour tout r compris dans ]0,R[:
$M(r) \le \frac{2r}{R-r}A(R)+\frac{R+r}{R-r}|f(0)|$
et, si $A(R)\ge 0$
$\max_{|z|=r}\left|f^{(n)}(z)\right| \le \frac{2^{n+2}n!R}{(R-r)^{n+1}}(A(R)+|f(0)|).$

L'ordre de la dérivée d'une fonction entière

La dérivée d'une fonction entière est obtenue par dérivation formelle de sa série entière. En appliquant la formule de Cauchy-Hadamard, on voit que la dérivée d'une fonction entière est elle-même entière. La question de l'ordre de la dérivée se pose donc naturellement. Le calcul de l'ordre par la formule précédemment donnée montre que

L'ordre de la dérivée d'une fonction entière est égal à l'ordre de cette fonction.

Et, comme une fonction entière est indéfiniment dérivable, il en est de même de toutes ses dérivées.

Ordre inférieur et ordre précisé L

Pour comparer plus finement la croissance des fonctions entières, on est amené à regarder l'ordre inférieur de croissance, défini par la quantité

\liminf_{r \rightarrow \infty}\frac{\ln \ln M_f(r)}{\ln r}.

On montre que

L'ordre inférieur de la dérivée d'une fonction entière est égal à l'ordre inférieur de cette fonction.

Mais cela ne suffit pas. On montre l'existence, pour une fonction entière $f$ d'ordre fini $\rho$ , d'une fonction $\rho(r)$ ayant les propriétés suivantes :

est définie et continue, dérivable à droite et à gauche en chaque point.

On a ainsi défini un ordre précisé L de $f$ .

Les fonctions entières à croissance régulière

Dans ses études sur les fonctions entières, Émile Borel a défini les fonctions entières à croissance régulière en supposant que l'ordre de la fonction entière est

\rho=\lim_{r \rightarrow \infty}\frac{\ln \ln M(r)}{\ln r}.

Il résulte de la définition que les ordres supérieur et inférieur sont égaux. C'est en ce sens que la fonction est à croissance régulière.

Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction entière d'ordre $\rho$ soit une fonction à croissance régulière est
$|a_n|^{1/n}< n^{-1/{\rho+\epsilon}}$
pour tout entier $n$ assez grand et tout $\epsilon>0$ et qu'il existe une suite d'entiers $n_p$ telle que
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n_{p+1}}{n_p}=1$
et pour laquelle on a
$|a_{n_p}|^{1/n_p}> n_p^{-1/{\rho+\epsilon_p}}$
avec
$\lim_{n \rightarrow \infty}\epsilon_p=0.$

Factorisation des fonctions entières d'ordre fini

Le théorème de factorisation de Weierstrass

Cette importante propriété de factorisation (et sa généralisation par Hadamard) : fait l'objet d'un article à part entière : théorème de factorisation de Weierstrass.

Estimations sur le produit canonique

Le théorème de Boutroux-Cartan énonce un résultat fréquemment utilisé dans les recherches sur les fonctions entières. Le problème est d'estimer le produit $P(z)=\prod_{k=1}^n(z-z_k)$ en dehors du voisinage des zéros. On suppose que l'on connaît $n$ .

Théorème de Boutroux-Cartan — Pour tout nombre $H>0$ , on a

|P(z)| >\left(\frac{H}{e}\right)^n

en dehors d'au plus $n$ cercles dont la somme des rayons est au plus $2H$ .

Le terme maximum de la série de Taylor

Soit $f(s)=\sum_{n=0}^\infty a_ns^n$ une fonction entière. La série $|a_0|, |a_1|r, |a_2|r^2, \ldots$ est une série décroissante à partir d'un certain rang et tendant vers 0, quel que soit $r$ . Il y a donc, pour chaque $r$ un terme supérieur ou égal à tous les autres. Soit $B(r)$ la valeur de ce terme et soit $\mu(r)$ le rang (le plus grand, s'ils sont plusieurs) de ce terme. $B(r)$ est une fonction croissante de $r$ qui tend vers l'infini. D'après l'inégalité de Cauchy, on a $B(r) < M(r)$ .

Le rang $\mu(r)$ est une fonction non-décroissante de $r$ qui tend vers l'infini avec $r$ .

Entre les fonctions $B(r)$ , $M(r)$ et $\mu(r)$ existe une double inégalité:

B(r) < M(r) < B(r)\left[2\mu\left(r+ \frac{r}{\mu(r)}\right)+1\right]

et de cette double inégalité on déduit

Pour une fonction d'ordre fini, les fonctions $\ln B(r)$ et $\ln M(r)$ sont asymptotiquement égales.

On en déduit ensuite une relation sur $\mu(r)$ :

Pour une fonction entière parfaitement régulière d'ordre fini $\rho$ et d'ordre précisé $\rho(r)$ , on a $\mu(r) \approx \rho r^{\rho(r)}.$

De manière générale, on a la formule

\ln B(r) = \ln B(r_0)+\int_{r_0}^r\frac{\mu(u)}{u}du.

La distribution des valeurs des fonctions entières

Soit une fonction $f$ de la variable complexe définie par la série
$f(s)=\sum_n f_n(s),$ la série des modules étant convergente. Si R est une région du plan complexe où la variation de l'argument de $f_n(s)$ est inférieure à $\pi$ lorsque $n$ varie, la fonction $f$ ne peut s'annuler qu'en dehors de cette région.

Les zéros des fonctions entières

Par suite du théorème fondamental de l'algèbre, un polynôme de degré n admet n racines dans $\mathbb{C}$ . Donc, plus un polynôme admet de zéros, plus il croît rapidement.

Ceci est aussi le cas des fonctions entières mais d'une manière plus complexe. La relation entre la croissance des fonctions entières et la répartition de ses zéros constitue l'un des thèmes principaux de la théorie de ces fonctions.

La formule de Jensen et l'exposant de convergence des zéros

Cette formule est fondamentale dans la suite de la théorie, même si elle n'intervient pas explicitement. On la démontre par exemple par l'emploi de la formule de Green.

On a, pour une fonction ayant des zéros aux points $a_k$ , ne présentant aucun pôle dans le disque $r< \rho$ et en posant $x=r e ^{i\varphi}$

\ln |f(re^{i\varphi})| = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\ln|f(\rho e^{iu})|\frac{(\rho^2-r^2)}{\rho^2+r^2-2r \rho \cos(u-\varphi)}du -\sum_k \ln \left|\frac{\rho^2-\bar{a_k} x}{\rho(x-a_k)}\right|

Cette formule est la formule de Poisson-Jensen.

On en déduit la formule de Jensen:

Soit f une fonction analytique dans le disque $|z| \le r$ contenant les zéros $a_1, a_2, \ldots, a_n$ . Alors
$\ln |f(0)| = -\sum_{k=1}^n \ln\left(\frac{r}{|a_k|}\right)+\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\ln|f(re^{i\theta})|d\theta.$

Cette formule permet de lier le nombre des zéros à la croissance de la fonction. Soit $f(s)$ une fonction entière ayant tous ses zéros $a_k$ dans le disque de rayon $r$ . On appelle $n(x)$ le nombre de zéros de modules inférieurs ou égaux à $x$ .

On a alors

\sum_k\ln \frac{r}{|a_k|}= \int_0^r n(u)\frac{du}{u}=W(r)

et ainsi, pour une fonction non nulle en 0, on trouve la forme suivante de la formule de Jensen:

W(r)+\ln |f(0)| < \ln M(r).

Pour une fonction entière d'ordre $\rho$ fini, on voit que $n(r) < r^{\rho+\epsilon}$ .

On en déduit que la série

\sum_k \frac1{|a_k|^{\tau}}

est convergente pour $\tau > \rho.$

On appelle ainsi ordre réel (Borel) ou exposant de convergence de la suite des zéros la valeur de $\tau$ la plus petite pour laquelle la série converge. On en déduit donc ce théorème de Borel :

L'exposant de convergence de la suite des zéros est au plus égal à l'ordre.

Le genre

On dit que la fonction entière f est de genre p, d'après Laguerre, lorsque l'on peut la mettre sous la forme $f(z)= e^{Q(z)}P(z)$ ou $f(z)= z^s e^{Q(z)}\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z}{a_n}\right) e^{\frac{z}{a_n}+\ldots +\frac{z^p}{p a_n^p}}$ sans que cette décomposition puisse se faire pour p-1, où Q est un polynôme de degré p au plus, P, un polynôme quelconque et le produit infini le produit de Weierstrass.

Le plus petit entier qui majore l'exposant de convergence est aussi le genre de la fonction.

Le genre se détermine par la formule de Laguerre :

Une fonction entière $f$ est de genre $n$ si et seulement si $s^n\frac{f'(s)}{f(s)}$ tend vers 0 uniformément quand $|s|$ tend vers l'infini.

On ne saurait être trop prudent avec la notion de genre. Lindelöf a montré que la fonction

f(z)=\prod_{n=2}^\infty \left(1+\frac{z}{n(\ln n)^\alpha}\right)

où $1<\alpha<2$ est d'ordre 1, et de genre 0 mais $f(z)-1$ est de genre 1. De même $f(z)+f(-z)$ est de genre 1 mais $f\ '(z)$ est de genre 0.

Valiron a montré cependant le théorème suivant :

Si f est une fonction de genre n, les fonctions f-a sont de genre n également sauf pour une valeur de a au plus.

Un théorème de Laguerre

Dans ses investigations sur les fonctions entières à la suite du mémoire fondateur de Weierstrass, Laguerre démontra que

Si une fonction entière f admet des zéros tous réels, il en est de même de sa dérivée pourvu que le genre de f soit égal à 0 ou à 1.

Le lien entre la croissance et la distribution des zéros

Le résultat le plus profond est le petit théorème de Picard qu'on énonce ainsi

Toute fonction entière prend toutes les valeurs complexes sauf une au plus.

La valeur non prise éventuelle est appelée valeur exceptionnelle de Picard.

Soit une fonction d'ordre fini $\rho$ , d'ordre précisé L $\rho(r)$ et $n(r)$ le nombre des zéros de module inférieur ou égal à $r$ . On a l'inégalité
$n(r) < \left(1+o(1)\right)\rho e r^{\rho(r)}.$

Les fonctions entières d'ordre non-entier

Dans le cas des fonctions entières d'ordre non entier, celles-ci n'admettent aucune valeur exceptionnelle au sens du théorème de Picard. Ces fonctions ont donc une infinité de solutions à l'équation $f(s)=x$ , quelle que soit la valeur de $x$ et en particulier

Toute fonction entière d'ordre non entier admet une infinité de zéros.

Les fonctions entières d'ordre entier

Si l'ordre est entier, le cas d'exception du théorème de Picard est possible. Dans ce cas, on a la précision suivante apportée par Émile Borel :

Le nombre $n(x,r)$ des racines de l'équation $f(s)=x$ de module inférieur à $r$ ne peut être d'un ordre de grandeur inférieur à $\ln M(r)$ que pour une seule valeur de $x$ au plus.

On montre qu'il existe des fonctions entières d'ordre entier n'ayant qu'un nombre fini de zéros et qui ne se réduisent pas à un polynôme. Mais cela ne peut être le cas des fonctions entières paires dont l'ordre est un entier impair.

Les fonctions entières et les angles

Une fonction entière d'ordre $\rho>1/2$ est d'ordre $\rho$ dans tout angle de mesure supérieure à $\pi(2-1/\rho)$ .

Les cercles de remplissage

Le mathématicien français Milloux, dans sa thèse soutenue en 1924, a défini des cercles particuliers, appelés par lui cercles de remplissages et dont le rayon augmente indéfiniment, dans lesquels la fonction entière prend toutes les valeurs en dessous d'un nombre A(r) tendant vers l'infini avec r sauf peut-être dans un cercle dont le rayon tend vers 0 avec 1/r. Il a démontré le résultat suivant :

Dans la couronne circulaire d'épaisseur , dont la circonférence médiane est la circonférence , on a l'inégalité

Il existe au moins un cercle C(r), appelé cercle de remplissage, dont le centre est sur le circonférence et de rayon dans lequel la fonction f(z) prend toutes les valeurs inférieures en module à A(r), sauf peut-être dans un voisinage d'une valeur a(r), ce voisinage étant inclus dans le cercle de centre a(r) et de rayon 2/A(r).

Les cercles de remplissage sont utiles pour préciser les solutions de l'équation f(z)=a.

Les valeurs asymptotiques

On peut se demander si une fonction entière non constante peut, dans certaines régions, avoir une valeur asymptotique finie ou si elles ont toujours une limite finie. On sait qu'elles ne peuvent pas avoir de valeurs asymptotiques finies dans toutes les directions par suite du théorème de Liouville. On dit que f admet la valeur asymptotique a s'il existe un chemin, appelé chemin de détermination a pour lequel f(s) tend vers a quand s tend vers l'infini en restant sur le chemin.

Donc pour toute fonction entière non constante, il existe au moins un chemin de détermination $\infty$ .

Pour une fonction d'ordre inférieur à 1/2, il existe une infinité de cercles de centre l'origine et de rayon indéfiniment croissant sur lesquels le module minimum tend vers l'infini. Il n'existe donc pas de valeur asymptotique finie pour les fonctions entières d'ordre inférieur à 1/2. En fait, Wiman a montré le théorème suivant :

Pour une fonction $f$ d'ordre $\rho < 1/2$ et d'ordre précisé L $\rho(r)$ , on a, pour tout $\epsilon>0$ , l'inégalité
$\ln |f(s)| > (\cos(\pi\rho)-\epsilon)r^{\rho(r)}$
sur une infinité de cercles de rayons tendant vers l'infini.

On a donc sur ces cercles
$\ln |f(s)| > (\cos(\pi\rho)-\epsilon)\ln M(r).$

Supposons maintenant qu'une fonction entière possède deux chemins de déterminations a et b. Alors, dans le domaine défini entre les deux chemins de détermination soit il existe un chemin de détermination $\infty$ , soit les valeurs a et b sont égales et tout chemin vers l'infini inclus entre les deux chemins de détermination est un chemin de détermination a (=b).

La conjecture de Denjoy

Il a été conjecturé par Denjoy qu'une fonction entière d'ordre fini a au plus valeurs asymptotiques. Cette conjecture est devenue le théorème de Ahlfors (en).

Il ne peut ainsi y avoir qu'au plus $\rho$ lignes droites allant de 0 à l'infini et menant à des valeurs asymptotiques différentes. De ce fait, l'angle entre deux telles lignes est au moins $\pi/\rho$ .

La fonction indicatrice de Phragmén-Lindelöf

La définition de l'ordre $\rho$ d'une fonction entière d'ordre fini et les théorèmes de Phragmén-Lindelöf suggèrent l'intérêt qu'il y aurait à étudier la fonction

h(\theta)=\limsup_{r \to \infty} \frac{\ln \left|f(r e^{i\theta})\right|}{r^\rho}

en fonction de $\theta \in [-\pi,\pi]$ puisque la croissance sur une demi-ligne se répercute sur les lignes voisines.

Par définition, $h(\theta)$ est l'indicatrice de de Phragmén-Lindelöf. C'est une fonction périodique de période $2\pi$ qui peut prendre des valeurs réelles, mais peut être $-\infty$ ou $+\infty$ .

On a alors :

Soit f une fonction entière d'ordre $\rho$ et d'indicatrice $h(\theta)$ . Si h est finie dans l'intervalle [a,b] alors, quel que soit $\epsilon>0$ , il existe $r_0=r_0(\epsilon)$ tel que pour tout $r>r_0$ , on ait
$\ln \left|f(r e^{i\theta})\right| < r^\rho\left(h(\theta)+\epsilon\right)$
uniformément dans tout sous-intervalle de ]a,b[.

dont on déduit :

Sous les conditions du théorème précédent, tout sous-intervalle dans lequel $h(\theta)>0$ est de longueur supérieure à $\pi/\rho$ . Tout sous-intervalle dans lequel $h(\theta)<0$ est de longueur inférieure ou égale à $\pi/\rho$ . De plus tout sous-intervalle où $h(\theta)<0$ est suivi d'un point où $h(\theta)=0$ et d'un intervalle où $h(\theta)>0$ .

Le théorème de Carlson

On peut se demander s'il existe des conditions assurant qu'une fonction entière soit définie de manière unique par les valeurs qu'elle prend sur un ensemble dénombrable. Posé de cette manière, sans restriction sur l'ensemble, il semble que la réponse soit négative a priori. En fait, il n'en est rien et dans ce genre de question, le résultat de Carlson est à l'origine de tout un pan de recherche. On peut l'exprimer de la manière suivante :

Soit f une fonction entière d'ordre 1 et de type $\sigma_f< \pi$ . La fonction f est entièrement déterminée par les valeurs f(n), pour n=1, 2, … De plus, si le type est strictement inférieur à ln 2, alors
$f(z)=\sum_{n=0}^\infty{\frac{z(z-1)\ldots(z-n+1)}{n!}(\Delta^n f)(0)}.$

Sa démonstration utilise l'indicatrice de Phragmén-Lindelöf.

Le théorème de Pólya

Les valeurs entières prises sur un ensemble par une fonction entière imposent des restrictions sur sa croissance. Pólya, en 1915, a par exemple démontré le théorème suivant

Soit $f$ une fonction entière prenant des valeurs entières sur l'ensemble des entiers non négatifs. Si
$\limsup_{r \rightarrow \infty}\frac{M_f(r)}{2^r} <1$ alors $f$ est un polynôme.

Autrement dit, la plus petite (au sens de la croissance) fonction entière non polynomiale qui prend des valeurs entières sur les entiers naturels est la fonction $2^s.$

Ces résultats ont été généralisés aux fonctions entières prenant des valeurs entières sur une suite géométrique...

La théorie des fonctions entières d'ordre infini de Kraft-Blumenthal

Une fonction entière est d'ordre infini lorsqu'elle n'est pas d'ordre fini. Il avait été remarqué très tôt par Emile Borel que, dans le cas des fonctions entières d'ordre fini $\rho$ , s'il existait une infinité de cercles de rayon r sur lesquels la croissance était de l'ordre de $\exp(r^\rho)$ , il était possible que la croissance soit d'un ordre sensiblement inférieur sur une infinité d'autres cercles. Ces fonctions sont dites à croissance irrégulière. Le même phénomène existe pour les fonctions d'ordre infini.

La théorie repose sur l'existence de fonctions types et sur la définition de l'ordre $\rho=\rho(r)$ selon la formule

M(r)= \max_{|z|=r} |f(z)|=e ^{r^{\rho(r)}}

Applications de la théorie des fonctions entières

La théorie des fonctions entière permet, par le théorème de Liouville, de démontrer de manière simple et élégante le théorème fondamental de l'algèbre.

Cette théorie apparaît aussi dans la démonstration de l'existence d'une infinité de zéros de la fonction zêta de Riemann dans la bande par la propriété que les fonctions entières d'ordre non entier ont une infinité de zéros.

La théorie permet aussi l'étude des fonctions méromorphes comme quotients de deux fonctions entières. Les fonctions méromorphes apparaissant naturellement dans nombre de problèmes d'équations différentielles.

Ces méthodes restent aussi une source d'inspiration importante pour l'étude des fonctions analytiques plus compliquées, avec plusieurs variables...

Bibliographie

Barnes, A memoir on integral functions, philosophical transactions of the royal society of London, série A, Volume 199, 1902, p. 411-500

Boas, entire functions, Dover, 1954,

Borel, les fonctions entières, Gauthier-Villars, 1928 (deuxième édition)

Blumenthal, Les fonctions entières d'ordre infini, Cahiers scientifiques, 1914

Levin, Lectures on entire functions, AMS,1996

Nevanlinna, Le théorème de Picard-Borel et la théorie des fonctions méromorphes, Monographies sur la théorie des fonctions, Gauthier-Villars, 1929

Valiron, Fonctions convexes et fonctions entières, Bulletin de la SMF, T60, 1932

Valiron, Les fonctions entières d'ordre nul et d'ordre fini, thèse, 1914

Valiron, Fonctions entières d'ordre fini et fonctions méromorphes,

Valiron, Lectures on the general theory of integral functions, Chelsea Publishing, 1949

Valiron, Fonctions entières et fonctions méromorphes d'une variable, mémorial des sciences mathématiques, Gauthier-Villars, 1925.

中文百科

整函数（entire function）是在整个复平面上全纯的函数。典型的例子有多项式函数、指数函数、以及它们的和、积及复合函数。每一个整函数都可以表示为处处收敛的幂级数。而对数函数和平方根都不是整函数。

整函数的阶可以用上极限定义如下：

\rho=\limsup_{r\rightarrow\infty}\frac{\ln(\ln(M(r)))}{\ln(r)},

其中是到的距离，是时的最大绝对值。如果，我们也可以定义它的类型：

\sigma=\limsup_{r\rightarrow\infty}\frac{\ln(M(r))}{r^\rho}.

整函数在无穷远处可能具有奇点，甚至是本性奇点，这时该函数便称为超越整函数。根据刘维尔定理，在整个黎曼球面（复平面和无穷远处的点）上的整函数是常数。

刘维尔定理确立了整函数的一个重要的性质：任何一个有界的整函数都是常数。这个性质可以用来证明代数基本定理。皮卡小定理强化了刘维尔定理，它表明任何一个不是常数的整函数都取遍所有的复数值，最多只有一个值例外，例如指数函数永远不能是零。