Les infinitésimaux (ou infiniment petits) ont été utilisés pour exprimer l'idée d'objets si petits qu'il n'y a pas moyen de les voir ou de les mesurer. Le mot « infinitésimal » vient de infinitesimus (latin du XVII siècle), ce qui signifiait à l'origine l'élément « infini-ème » dans une série. Selon la notation de Leibniz, si x est une quantité, dx et Δx peuvent représenter une quantité infinitésimale de x.

Historique

Dans le langage courant, un objet infiniment petit est un objet qui est plus petit que toute mesure possible, donc non pas d'une taille zéro, mais si petit qu'il ne peut être distingué de zéro par aucun moyen disponible. Par conséquent, lorsqu'il est utilisé en tant qu'adjectif, «infinitésimal» dans le langage vernaculaire signifie « extrêmement faible ».

Archimède exploita les infinitésimaux dans La Méthode pour trouver des aires des régions et des volumes de solides. Les auteurs classiques avaient tendance à chercher à remplacer les arguments infinitésimaux par des arguments utilisant la méthode d'exhaustion, qu'ils jugeaient plus fiable. Le XV siècle a vu le travail pionnier de Nicolas de Cues, développé au XVII siècle par Johannes Kepler, en particulier le calcul de l'aire d'un cercle en représentant celui-ci comme un polygone d'un nombre infini de côtés. Simon Stevin élabora un continu de décimaux au XVI siècle. La méthode des indivisibles de Bonaventura Cavalieri conduit à une extension des résultats des auteurs classiques. La méthode des indivisibles traitait des figures géométriques comme étant composés d'entités de codimension 1. Les infinitésimaux de John Wallis diffèrent des indivisibles en ce sens que des figures géométriques se décomposeraient en des parties infiniment minces de la même dimension que la figure, préparant le terrain pour des méthodes générales du calcul intégral. Il exploita un infinitésimal notée 1 ∞ / 0 {\displaystyle {\frac {1}{\infty /0}}} dans les calculs de superficie.

Pierre de Fermat, inspiré par Diophante, développa le concept d'adégalité, c'est-à-dire égalité « adéquate » ou égalité approximative (avec une erreur infime), qui a fini par jouer un rôle clé dans une mise en œuvre mathématique moderne des définitions infinitésimales de la dérivée et l'intégrale. L'utilisation des infinitésimaux chez Leibniz s'appuya sur un principe heuristique appelé la loi de continuité : ce qui réussit pour les nombres finis réussit aussi pour les nombres infinis, et vice versa. Le XVIII siècle a vu l'utilisation systématique des infiniment petits par les plus grands tels que Leonhard Euler et Joseph Lagrange. Augustin-Louis Cauchy exploita les infinitésimaux dans sa définition de la continuité et dans une forme préliminaire d'une fonction delta de Dirac. Lorsque Georg Cantor et Dedekind développaient des versions plus abstraites du continu de Stevin, Paul du Bois-Reymond a écrit une série d'articles sur des continus enrichis d'infinitésimaux sur la base des taux de croissance des fonctions. L'œuvre de du Bois-Reymond a inspiré à la fois Émile Borel et Thoralf Skolem. Skolem développa les premiers modèles non standard de l'arithmétique en 1934. Une mise en œuvre mathématique à la fois de la loi de continuité et des infinitésimaux a été réalisée par Abraham Robinson en 1961, qui a développé l'analyse non standard basée sur des travaux antérieurs de Edwin Hewitt en 1948 et Jerzy Łoś (de) en 1955. Les hyperréels constituent un continu enrichi d'infinitésimaux, tandis que le principe du transfert (en) met en œuvre la loi de continuité de Leibniz.

En analyse mathématique

En mathématiques, le terme infiniment petit peut s'appliquer :

à une quantité négligeable dans le cadre de méthodes d'étude du comportement d'une fonction au voisinage d'un point (ou de l'infini), en regard du comportement d'une autre fonction, souvent choisie sur une échelle de référence.

à une notion historique de nombre infinitésimal, abandonnée par les élèves de Karl Weierstrass, qui donna un fondement rigoureux à la notion de limite. Cette notion avait déjà été entrevue mais jamais explicitée, en particulier parce que les représentations et la définition des nombres réels avaient demandé une longue maturation.

à un nombre hyperréel plus petit en valeur absolue que tout inverse d’un entier, dans le cadre de l'analyse non standard de Robinson qui formalisa les infinitésimaux de Leibniz ;

de façon plus classique, en analyse réelle, dans l'expression « infiniment petits équivalents » : deux fonctions f {\displaystyle f} et g {\displaystyle g} sont des infiniment petits équivalents au voisinage de a si, f ( x ) {\displaystyle f(x)} et g ( x ) {\displaystyle g(x)} tendant tous deux vers zéro quand x tend vers a, le rapport f ( x ) / g ( x ) {\displaystyle f(x)/g(x)} tend vers 1 : lim x → a f ( x ) g ( x ) = 1. {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}

Ainsi, la longueur d'un arc de cercle et celle de sa corde, en tant que fonctions de l'angle au centre associé, sont des infiniment petits équivalents au voisinage de l'angle nul.

Infiniment grands

De même, deux fonctions ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ sont des infiniment grands équivalents au voisinage de a si, ${\displaystyle f(x)}$ et ${\displaystyle g(x)}$ tendant tous deux vers l'infini quand x tend vers a, le rapport ${\displaystyle f(x)/g(x)}$ tend vers 1. En analyse non standard, les infiniment grands sont des hyperréels qui sont les inverses des infiniment petits.

Médias

Les expressions « infiniment petit » et « infiniment grand » sont très notoires et presque jamais utilisées dans leur sens premier, mais pour parler de sujets tels que les galaxies, les quarks, et les nanotechnologies.

Littérature

Dans le fragment 199 des Pensées, Blaise Pascal écrit que « l’homme est infiniment éloigné de comprendre les extrêmes », coincé entre l'infiniment petit et l'infiniment grand, « incapable de voir […] l’infini où il est englouti ». Il imagine des mondes homothétiquement réduits, de plus en plus petits : « Qu'un ciron lui offre dans la petitesse de son corps des parties incomparablement plus petites, des jambes avec des jointures, des veines dans ces jambes, du sang dans ces veines, des humeurs dans ce sang, des gouttes dans ces humeurs, des vapeurs dans ces gouttes ; que, divisant encore ces dernières choses, il épuise ses forces en ces conceptions, et que le dernier objet où il peut arriver soit maintenant celui de notre discours ; il pensera peut-être que c'est là l'extrême petitesse de la nature. Je veux lui faire voir là dedans un abîme nouveau. Je lui veux peindre non seulement l'univers visible, mais l'immensité qu'on peut concevoir de la nature, dans l'enceinte de ce raccourci d'atome. Qu'il y voie une infinité d'univers, dont chacun a son firmament, ses planètes, sa terre, en la même proportion que le monde visible; dans cette terre, des animaux, et enfin des cirons, dans lesquels il retrouvera ce que les premiers ont donné… »

Dans le même ouvrage, Pascal invoque la « sphère dont le centre est partout, la circonférence nulle part » , ce qui est une image traditionnelle dans la pensée occidentale, on la retrouve chez Nicolas de Cues, Giordano Bruno, Maître Eckhart, Boèce, elle a été attribuée à Empédocle.

无穷小量是数学分析中的一个概念，用以严格地定义诸如「最终会消失的量」、「绝对值比任何正数都要小的量」等非正式描述。在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常它以函数、串行等形式出现，例如，一个串行 若满足如下性质：

对任意的预先给定的正实数 ，存在正整数 使得

在 时必定成立；或用极限符号把上述性质简记为

则串行 被称为 时的无穷小量。

在非标准分析中，无穷小量也和实数一样被视为具体的「数」，这些数比零大，但比任何正实数都小。前面用串行来定义无穷小量的经典方法或多或少有些难于处理，而「非标准」的无穷小量…

利用他们，罗宾逊和其他人轻松地证明了所有传统定理和部分新定理，而１９世纪愚笨的方法永远无法处理这些定理。他们恢复了莱布尼兹的声誉，也纠正了我们在思考运动变化的一点偏差。

引文提到的罗宾逊（Abraham Robinson，一译鲁滨逊）是非标准分析的开创者之一，无穷小量的新定义正是由他给出。直观地说，一个数称为无穷大的，如果它比 1， 1+1， 1+1+1 …… 等任何自然数都要大，而一个数称为是无穷小的，如果它不等于零而且它的倒数是无穷大。但这种数的存在与否，甚至能不能合法地称作一种「数」等，都是需要进一步考虑的本质问题。

无穷小量小史

穷竭法；

无穷乘积；

牛顿的流数法；

莱布尼兹的 「」记号；

欧拉对级数的处理；

一致收敛性；

严格的极限概念；

非标准分析

经典分析中的处理

若对于任意正实数 ，存在正整数 使得

若{ an}是无穷小量，改变{ an}中的某有限项之后，它仍是无穷小量。

若{ an}、{ bn}都是无穷小量，{ an＋bn}，{ an－bn}也是无穷小量。

若{ an}是无穷小量，{bn}是有界数列，则{ anbn}也是无穷小量。

若{ an}是无穷小量，，则{bn}也是无穷小量。

若{ an}是无穷小量，从{ an}中取出无穷多的一部分，按原来的次序排成的数列（这叫做{ an}的子列）也是无穷小量。

把{ an}的次序打乱重新得到的数列{bn}。若{ an}是无穷小量，则{bn}也是无穷小量。

无穷小量是有界列

若{ an}的各项相等，{ an}是无穷小量则必有

非标准分析中的处理

设 F 为有序域，a 为 F 中的一个非零元素。若对 F 中任意正整数 n， a < 1/n 和 -a >- 1/n 都成立（换句话说，即 a 的绝对值小于 1/n），则称 a 为无穷小量。 一阶性质 在把扩充实数系使其能包含无穷大量和无穷小量时，人们希望能够尽量保持原系统的各种基本的性质（当然不包括阿基米德性质－－无穷量本身不允许它成立），这样的好处是，那些使用基本性质证明过的命题能够在新的系统里自动成立。这里的「基本」通常是指不对集合使用量词，但可以对集合的元素使用（有限次），比如以下公理「对任意的 x ， x+0=x」仍然应该成立；使用两次也行：「对任意的 x 和 y ， xy=yx」，而如果出现「对任意集合 S」则不能算基本性质，在新系统中可能不成立，比如「任何形如 {k∈Z|xk>y} 都不是空集」就是一例（其实这就是阿基米德性质）。对命题量词的这种限制，叫做一阶逻辑。类似于阿基米德性质，实数集的完备性也不能在新的系统里成立，因为实数集是唯一的完备有序域。

脚注

↑ 是一种滤子。无论是无穷小量、无穷大量还是极限，都需在特定滤子之下讨论。其它常见的滤子有 ， 等等。

↑ 不严格的处理办法，一般来讲要求用户具有更正确的数学直觉。

↑ F 中的正整数集定义为满足如下性质的最小集合A：A 含有乘法单比特（即 1 ∈ A )，且只要 n ∈ A ， n+1 ∈ A 也一定成立。