Le spin est, en physique quantique, une des propriétés des particules, au même titre que la masse ou la charge électrique. Comme d'autres observables quantiques, sa mesure donne des valeurs discrètes et est soumise au principe d'incertitude. C'est la seule observable quantique qui ne présente pas d'équivalent classique, contrairement, par exemple, à la position, l'impulsion ou l'énergie d'une particule.

Le spin a d'importantes implications théoriques et pratiques. Il influence pratiquement tout le monde physique. Il est responsable du moment magnétique de spin et donc de l'effet Zeeman anomal (parfois incorrectement appelé « anormal ») qui en découle. Les particules sont classées selon la valeur de leur nombre quantique de spin (aussi appelé communément, le spin) : les bosons de spin entier ou nul et les fermions de spin demi-entier. Fermions et bosons se comportent différemment dans des systèmes comprenant plusieurs particules identiques ; le comportement fermionique de l'électron est ainsi la cause du principe d'exclusion de Pauli et des irrégularités de la table périodique des éléments. L'interaction spin-orbite conduit à la structure fine du spectre atomique. Le spin de l'électron joue un rôle important dans le magnétisme, et la manipulation des courants de spins dans des nano-circuits conduit à un nouveau champ de recherche : la spintronique. La manipulation des spins nucléaires par résonance magnétique nucléaire est importante dans la spectroscopie RMN et l'imagerie médicale (IRM). Le spin du photon – ou plus exactement son hélicité – est associé à la polarisation de la lumière.

Historique

La genèse du concept de spin fut l'une des plus difficiles de l'histoire de la physique quantique au début du XX siècle. L'effet Zeeman anomal, la structure hyperfine des raies spectrales ou encore l'expérience de Stern et Gerlach (1922) posaient à cette époque de grosses difficultés d'interprétation. La découverte du spin par Samuel Goudsmit et George Uhlenbeck en septembre 1925 a été révolutionnaire. Immédiatement après la publication de ce concept, un problème de facteur 2 dans la structure fine du spectre de l'hydrogène, identifié par Heisenberg, fut résolu par les deux physiciens et publié en décembre 1925. Leur interprétation incorporait la nouvelle notion de spin.

Le spin a d'abord été interprété comme un degré de liberté supplémentaire, s'ajoutant aux trois degrés de liberté de translation de l'électron : son moment cinétique intrinsèque (ou propre). En d'autres termes, l'électron ponctuel était vu comme tournant sur lui-même — d'où le nom de « spin », en anglais « tourner rapidement ». Cependant, il est vite apparu que cette « rotation » est purement quantique, et n'a pas d'équivalent en mécanique classique. La représentation du spin en termes de simple rotation est donc abandonnée. Wolfgang Pauli avait déjà montré en 1924 que, compte tenu des dimensions connues de l'électron, une rotation de l'électron nécessiterait une vitesse tangentielle de rotation à son équateur qui serait supérieure à la vitesse de la lumière, vitesse en principe infranchissable selon la théorie de la relativité restreinte.

La notion théorique de spin a été introduite par Pauli en décembre 1924 pour l'électron, afin d'expliquer un résultat expérimental qui restait incompréhensible dans le cadre naissant de la mécanique quantique non-relativiste : l'effet Zeeman anomal. L'approche développée par Pauli consistait à introduire de façon ad hoc le spin en ajoutant un postulat supplémentaire aux autres postulats de la mécanique quantique non-relativiste (équation de Schrödinger, etc.).

En 1927, Wolfgang Pauli a proposé la modélisation du spin en termes de matrices, ce qui correspond à une écriture en termes d'opérateurs sur la fonction d'onde intervenants dans l'équation de Schrödinger : l'équation de Pauli. En 1928, à partir de l'équation de Klein-Gordon, Paul Dirac démontra qu'une particule ayant un spin non nul vérifie une équation relativiste, appelée aujourd'hui équation de Dirac.

Enfin, c'est en théorie quantique des champs que le spin montre son caractère le plus fondamental. L'analyse du groupe de Poincaré effectuée par Wigner en 1939 montra en effet qu'une particule est associée à un champ quantique, opérateur qui se transforme comme une représentation irréductible du groupe de Poincaré. Ces représentations irréductibles se classent par deux nombres réels positifs : la masse et le spin.

Le spin du photon a été mis en évidence expérimentalement par Râman et Bhagavantam en 1931.

Le moment cinétique de spin

Le spin est le moment cinétique intrinsèque des particules quantiques. Il est donc soumis aux mêmes lois générales qui régissent tout autre moment cinétique quantique, tel que, par exemple, le moment cinétique orbital.

Le spin est donc un opérateur vectoriel hermitien comportant trois composantes, notées usuellement et par référence aux trois axes de coordonnées cartésiennes de l'espace physique. Ces composantes sont des observables vérifiant les relations de commutations caractéristiques d'un moment cinétique:

où est le symbole de Levi-Civita et

.

Ces relations de commutations sont analogues à celles découvertes en novembre 1925 par Born, Heisenberg et Jordan pour les composantes du moment cinétique orbital. Ces relations de commutations impliquent que le principe d'incertitude s'applique aux mesures du spin faites dans les différentes directions de l'espace : on peut en effet mesurer très exactement la norme du vecteur et une projection sur un axe de coordonnées, mais les deux autres projections sur les deux autres axes orthogonaux ne sont plus alors mesurables précisément.

Par analogie avec les résultats obtenus pour le moment cinétique orbital (ou plus généralement pour un moment cinétique quantique), il e**ste pour l'opérateur spin une base de vecteurs propres notés , où est entier ou demi-entier, et est un entier ou demi-entier prenant l'une des valeurs , tels que :

Le nombre est un nombre quantique qui est aussi appelé le spin (de manière impropre toutefois).

Les valeurs propres des opérateurs et représentent l'ensemble des mesures possibles pour les deux observables, c'est-à-dire respectivement le carré de la norme, et la projection sur un axe arbitraire dans l'espace.

Spin des particules élémentaires et composites

La totalité des particules connues ou d'e**stence fortement suspectée a un nombre quantique de spin compris entre 0 et 2. En particulier pour les particules élémentaires.

Spin 0 : le boson de Higgs ;

Spin 1/2 : l'électron, le positron, les neutrinos, les quarks, etc.;

Spin 1 : le photon, le gluon vecteur de l'interaction forte, les bosons W et Z vecteurs de l'interaction faible ;

Spin 2 : le graviton, particule hypothétique vecteur de la gravitation.

Il n'e**ste pas de particule élémentaire connue de spin 3/2, mais la supersymétrie, si elle e**ste, en prédit une, le gravitino.

Le spin (à l'état fondamental) des particules composées de plusieurs particules élémentaires, comme le proton, le neutron, tout noyau atomique ou atome, est constitué des spins des particules qui les composent auquel s'ajoute le moment cinétique orbital des différentes particules élémentaires :

Spin 0 : noyaux atomiques tels que C, O, Si… et de manière générale les noyaux composés d'un nombre pair de protons et de neutrons ;

Spin 1/2 : le proton, le neutron, certains noyaux atomiques : ex. C, Si, etc. ;

Spin > 1/2 : 75 % des isotopes stables (voir par exemple l'article résonance magnétique nucléaire).

Il n'est pas toujours facile de déduire le spin d'une particule à partir de principes simples ; par exemple, même s'il est connu que le proton a un spin 1/2, la question de savoir comment les particules élémentaires qui le composent sont arrangées est toujours un sujet actif de recherche (voir Spin des nucléons (en)).

Pour une raison assez complexe démontrée dans le cadre de ce qui est appelé théorème spin-statistique, la valeur entière ou demi-entière du spin détermine une propriété cruciale de la particule : si son spin est entier, c'est un boson, si son spin est demi-entier, c'est un fermion.

Spin 1/2 - matrices de Pauli

Pour une particule de nombre quantique de spin comme l'électron, le proton ou le neutron, donc  : il e**ste seulement deux états de spin distincts, caractérisés par .

On note souvent les deux états propres correspondants : et , ou encore : et .

Pauli a introduit trois matrices 2 × 2, notées telles que l'opérateur de spin s'écrive :

Ces trois matrices de Pauli s'écrivent explicitement :

Elles satisfont les relations de commutation :

Il a été remarqué qu'il s'agit là des relations entre quaternions découvertes par William Rowan Hamilton, ce qui donne une représentation plus compacte des opérateurs de spin.

Orientation du spin

Composantes du spin et multiplicité de spin

En mécanique classique, le moment angulaire d'une particule possède non seulement une magnitude (vitesse de rotation de la particule), mais également une direction (direction de l'axe de rotation de la particule).

En mécanique quantique, le moment angulaire de spin (spin) contient également ces informations, mais dans une forme plus subtile. La mécanique quantique montre en effet, par l'intermédiaire des équations (1) et (2) ci-dessus (voir #Le moment cinétique de spin), que si l'état du moment angulaire de spin est l'un des états propres de , la composante du spin mesurée selon une direction quelconque, c'est-à-dire sa projection sur un axe quelconque (par exemple l'axe z), ne peut prendre que les valeurs quantifiées suivantes :

où s est le nombre quantique de spin de la particule. On peut constater qu'il e**ste 2s+1 valeurs possibles de . Le nombre 2s+1 est appelé la multiplicité de spin. Par exemple, il n'y a que deux valeurs possibles pour une particule de spin 1/2 : = +1/2 ou -1/2. Cela correspond à deux états quantiques, notés symboliquement et , pour lesquels la projection du spin pointe respectivement dans la direction +z ou -z. La valeur de la projection dans les autres directions de l'espace, x ou y par exemple, est par contre indéterminée, du fait des relations de non-commutation (ou d'« incertitude ») entre les trois composantes du spin. En d'autres termes, si on ne s'intéresse qu'à un spin individuel, il n'est pas possible de déterminer avec précision sa direction dans l'espace (c'est en quelque sorte l'équivalent du principe d'incertitude de Heisenberg en ce qui concerne la vitesse et la position d'une particule, qui ne peuvent pas être déterminées simultanément).

Représentation géométrique du spin par une sphère de Riemann

Représentation géométrique d'un état de spin 1/2 par une sphère de Riemann

Un état quantique quelconque d'une particule isolée de spin s=1/2 peut s'exprimer sous la forme générale :

où a et b sont deux nombres complexes. Cette formule exprime une superposition des deux états propres.

Penrose montre que l'état de spin 1/2 peut être caractérisé par le rapport des deux nombres complexes . Si cette valeur est projetée sur une sphère de Riemann, qui permet de représenter l'ensemble des nombres complexes, il est possible d'établir une correspondance entre un état de spin et une direction dans l'espace ordinaire.

Selon cette représentation, tout état quantique d'un spin s=1/2 correspond à un point sur la sphère dont la projection stéréographique sur le plan complexe (le plan équatorial de la sphère) est ce rapport u. Ce point définit un vecteur correspondant à l'orientation de la polarisation d'un ensemble de spins placés dans le même état (voir #Signification physique du vecteur d'orientation du spin).

Représentation sur une sphère de Bloch

Représentation de la direction moyenne (ou « polarisation ») du moment angulaire d'un spin s=1/2 par rapport à un axe z choisi arbitrairement comme axe de quantification

Une autre représentation est possible, celle de la sphère de Bloch.

Dans cette représentation, les coefficients a et b sont définis en utilisant des coordonnées angulaires sphériques :

Le vecteur représentant l'état est alors représenté comme sur la figure ci-contre. Cette représentation est bien entendu parfaitement équivalente à la représentation précédente sur une sphère de Riemann, pour laquelle le rapport u vaut :

Signification physique du vecteur d'orientation du spin

Les représentations précédentes ne représentent pas la direction proprement dite du spin (laquelle est indéterminée comme il a été dit plus haut) mais la direction moyenne d'un spin préparé dans un état particulier sur lequel un grand nombre de mesures seraient réalisées, ou bien encore d'un ensemble statistiquement significatif de particules placées dans le même état sur lequel un nombre réduit de mesures (voire une seule) seraient faites. Ces deux types de mesures donnent le même résultat, d'après le principe ergodique de Gibbs.

Pour un système préparé dans un état quantique de spin quelconque, il n'est possible en effet de décrire les trois projections d'un moment angulaire spin sur trois axes orthogonaux que par des valeurs moyennes:

Le vecteur défini par les trois projections décrit une « direction » vers laquelle la direction moyenne du moment angulaire du spin pointe, et qu'il est judicieux d'appeler polarisation. C'est exactement l'orientation de ce vecteur qui a été représentée précédemment sur la sphère de Riemann ou de Bloch. Il s'avère que ce vecteur de polarisation du spin a une signification physique pratique notamment en spectroscopie de résonance magnétique nucléaire (RMN). Dans cette technique, les spins des protons (ou de tout autre noyau atomique possédant un spin non nul) peuvent être préparés dans n'importe quel état donné. Par exemple, si le système de spin est placé dans un champ magnétique homogène, la polarisation moyenne à l'équilibre thermodynamique correspond à l'état . L'application d'impulsions radiofréquence choisies permet ensuite de polariser les spins dans n'importe quelle autre direction de l'espace. Le signal RMN ma**mum est obtenu lorsque la bobine de détection est placée dans la direction de cette polarisation. Dans le cas de l'électron, la spectroscopie de résonance paramagnétique électronique (RPE) est fondée sur exactement les mêmes principes.

L'expérience de Stern et Gerlach

Différence entre le spin 1/2 de l'électron et un aimant classique, à travers l'expérience de Stern et Gerlach

Moment magnétique de spin

Définition. Facteur de Landé

Au moment cinétique orbital d'une particule de charge et de masse est associé un moment magnétique orbital :

Le facteur est appelé rapport gyromagnétique. De même, on associe à une particule de charge , de masse , et de spin donné un moment magnétique de spin :

où est un nombre sans dimension, appelé facteur de Landé (1921). Ce nombre varie selon la nature de la particule : on a appro**mativement pour l'électron, pour le proton, et pour le neutron. On trouve aussi des valeurs moitié pour le proton et le neutron qui correspondraient à un moment magnétique anomal.

Magnéton de Bohr

Pour l'électron, on a les valeurs suivantes : et ; on introduit alors le « quantum magnétique » suivant, appelé magnéton de Bohr :

Moment magnétique anomal de l'électron

L'équation de Dirac prédit pour l'électron un facteur de Landé exactement égal à : . Or, la valeur expérimentale admise en 2005 vaut :

Il e**ste donc un écart, décelé pour la première fois en 1947 dans la structure hyperfine de l'hydrogène et du deutérium : on parle alors du moment magnétique anomal de l'électron. La théorie quantique des champs du modèle standard permet de rendre compte de cette anomalie avec une très grande précision.

Spin et représentation de groupes

L'analyse du comportement des objets sous l'effet des rotations nécessite de prendre en compte la structure mathématique de groupe formé par celles-ci. À un objet se transformant sous les rotations est alors associée une représentation de groupe. Deux objets ayant des propriétés de symétrie similaires seront donc associés à des représentations équivalentes du groupe des rotations. De ce point de vue, le spin n'est rien d'autre qu'un nombre qui permet de classifier les différentes représentations irréductibles non équivalentes du groupe des rotations.

Le spin dans l'art

Father et Mother de la série Spin Family (2009), par le physicien et sculpteur Julian Voss-Andreae. Les deux objets représentés illustrent la géométrie d’un objet de spin 5/2 (le « mâle » bleu à gauche) et d’un objet de spin 2 (la « femelle » rose à droite). L’œuvre Spin Family, présentée dans l’exposition « Quantum Objects », compare avec humour les fermions au sexe masculin et les bosons au sexe féminin. Les objets de spin 1/2, 1, 3/2, 2 et 5/2 constituent alors une famille de 5 personnes.

在量子力学中，自旋（英语：Spin）是粒子所具有的内禀性质，其运算规则类似于经典力学的角动量，并因此产生一个磁场。虽然有时会与经典力学中的自转（例如行星公转时同时进行的自转）相模拟，但实际上本质是迥异的。经典概念中的自转，是物体对于其质心的旋转，比如地球每日的自转是顺着一个通过地心的极轴所作的转动。

首先对基本粒子提出自转与相应角动量概念的是1925年由拉尔夫·克罗尼希、乔治·乌伦贝克与山缪·古德斯密特三人所开创。他们在处理电子的磁场理论时，把电子想象一个带电的球体，自转因而产生磁场。然而尔后在量子力学中，透过理论以及实验验证发现基本粒子可视为是不可分割的点粒子，所以物体自转无法直接套用到自旋角动量上来，因此仅能将自旋视为一种内秉性质，为粒子与生俱来带有的一种角动量，并且其量值是量子化的，无法被改变（但自旋角动量的指向可以透过操作来改变）。

自旋对原子尺度的系统格外重要，诸如单一原子、质子、电子甚至是光子，都带有正半奇数（1/2、3/2等等）或含零正整数（0、1、2）的自旋；半整数自旋的粒子被称为费米子（如电子），整数的则称为玻色子（如光子）。复合粒子也带有自旋，其由组成粒子（可能是基本粒子）之自旋透过加法所得；例如质子的自旋可以从夸克自旋得到。

概论

自旋角动量是系统的一个可观测量，它在空间中的三个分量和轨道角动量一样满足相同的对易关系。每个粒子都具有特有的自旋。粒子自旋角动量遵从角动量的普遍规律，p=[J(J+1)]h，此为自旋角动量量子数 ，J ＝ 0，1 ／ 2，1，3／2，……。自旋为半奇数的粒子称为费米子，服从费米-狄拉克统计；自旋为0或整数的粒子称为玻色子，服从玻色-爱因斯坦统计。复合粒子的自旋是其内部各组成部分之间相对轨道角动量和各组成部分自旋的矢量和，即按量子力学中角动量相加法则求和。已发现的粒子中，自旋为整数的，最大自旋为4；自旋为半奇数的，最大自旋为3／2。 自旋是微观粒子的一种性质，没有经典对应，是一种全新的内禀自由度。自旋为半奇数的物质粒子服从泡利不兼容原理。

发展史

自旋的发现，首先出现在碱金属元素的发射光谱课题中。于1924年，泡利首先引入他称为是「双值量子自由度」（two-valued quantum degree of freedom），与最外壳层的电子有关。这使他可以形式化地表述泡利不兼容原理，即没有两个电子可以在同一时间共享相同的量子态。 泡利的“自由度”的物理解释最初是未知的。遶夫·克勒尼希，朗德的一位助手，于1925年初提出它是由电子的自转产生的。当泡利听到这个想法时，他予以严厉的批驳，他指出为了产生足够的角动量，电子的假想表面必须以超过光速运动。这将违反相对论。很大程度上由于泡利的批评，克勒尼希决定不发表他的想法。 当年秋天，两个年轻的荷兰物理学家产生了同样的想法，它们是乌伦贝克和撒穆尔·古德施密特。在保罗·埃伦费斯特的建议下，他们以一个小篇幅发表了他们的结果。它得到了正面的反应，特别是在雷沃林·托马斯消除了实验结果与乌伦贝克和古德施密特的（以及克勒尼希未发表的）计算之间的两个矛盾的系数之后。这个矛盾是由于电子指向的切向结构必须纳入计算，附加到它的位置上；以数学语言来说，需要一个纤维丛描述。切向丛效应是相加性的和相对论性的（比如在c趋近于无限时它消失了）；在没有考虑切向空间朝向时其值只有一半，而且符号相反。因此这个复合效应与后来的相差了一个系数2（参见：汤玛斯进动）。 尽管他最初反对这个想法，泡利还是在1927年形式化了自旋理论，运用了埃尔文·薛丁格和沃纳·海森堡发现的现代量子力学理论。他开拓性地使用泡利矩阵作为一个自旋算子的群表述，并且引入了一个二元旋量波函数。 泡利的自旋理论是非相对论性的。然而，在1928年，保罗·狄拉克发表了狄拉克方程序，描述了相对论性的电子。在狄拉克方程中，一个四元旋量（所谓的“狄拉克旋量”）被用于电子波函数。在1940年，泡利证明了“自旋统计定理”，它表述了费米子具有半整数自旋，玻色子具有整数自旋。

自旋量子数

基本粒子的自旋 对于像光子、电子、各种夸克这样的基本粒子，理论和实验研究都已经发现它们所具有的自旋无法解释为它们所包含的更小单元围绕质心的自转（即使使用最保守估计的电子半径，电子“赤道”处的速度也需要超光速才能解释其自旋角动量）。由于这些不可再分的基本粒子可以认为是真正的点粒子，因此自旋与质量、电量一样，是基本粒子的内禀性质。 在量子力学中，任何体系的角动量都是量子化的，其值只能为： 其中是约化普朗克常数，而自旋量子数是整数或者半整数（0, 1/2, 1, 3/2, 2,……），自旋量子数可以取半整数的值，这是自旋量子数与轨道量子数的主要区别，后者的量子数取值只能为整数。自旋量子数的取值只依赖于粒子的种类，无法用现有的手段去改变其取值（不要与自旋的方向混淆，见下文）。 例如，所有电子具有的自旋，自旋为1/2的基本粒子还包括正电子、中微子和夸克，光子是自旋为1的粒子，理论假设的引力子是自旋为2的粒子，希格斯玻色子在基本粒子中比较特殊，它的自旋为0。 次原子粒子的自旋 对于像质子、中子及原子核这样的亚原子粒子，自旋通常是指总的角动量，即亚原子粒子的自旋角动量和轨道角动量的总和。亚原子粒子的自旋与其它角动量都遵循同样的量子化条件。 通常认为亚原子粒子与基本粒子一样具有确定的自旋，例如，质子是自旋为1/2的粒子，可以理解为这是该亚原子粒子能量量低的自旋态，该自旋态由亚原子粒子内部自旋角动量和轨道角动量的结构决定。 利用第一性原理推导出亚原子粒子的自旋是比较困难的，例如，尽管我们知道质子是自旋为1/2的粒子，但是原子核自旋结构的问题仍然是一个活跃的研究领域。 原子和分子的自旋 原子和分子的自旋是原子或分子中未成对电子自旋之和，未成对电子的自旋导致原子和分子具有顺磁性。 自旋与统计 粒子的自旋对于其在统计力学中的性质具有深刻的影响，具有半整数自旋的粒子遵循费米-狄拉克统计，称为费米子，它们必须占据反对称的量子态（参阅全同粒子），这种性质要求费米子不能占据相同的量子态，这被称为泡利不兼容原理。另一方面，具有整数自旋的粒子遵循玻色-爱因斯坦统计，称为玻色子，这些粒子可以占据对称的量子态，因此可以占据相同的量子态。对此的证明称为自旋统计定理，依据的是量子力学以及狭义相对论。事实上，自旋与统计的联系是狭义相对论的一个重要结论。

自旋的方向

自旋投影量子数与自旋多重态 在经典力学中，一个粒子的角动量不仅有大小（取决于粒子转动的快慢），而且有方向（取决于粒子的旋转轴）。量子力学中的自旋同样有方向，但是是以一种更加微妙的形式出现的。 在量子力学中，对任意方向的角动量分量的测量只能取如下值： 其中s是之前章节讨论过的自旋量子数。可以看出对于给定的s，可以取“2s+1”个不同的值。例如：对于自旋为1/2的粒子，"sz"只能取两个不同的值，+1/2或-1/2。相应的量子态为粒子自旋分别指向+z或-z方向，一般我们把这两个量子态叫做"spin-up"和"spin-down"。 对于一个给定的量子态，可以给出一个自旋矢量，它的各个分量是自旋沿着各坐标轴分量的数学期望值，即.这个矢量描述自旋所指的“方向”，对应于经典物理下旋转轴的概念。这个矢量在实际做量子力学计算时并不十分有用，因为它不能被直接精准测量：根据不确定性原理，sx、sy和sz不能同时有确定值。但是对于被置于同一个量子态的大量粒子，例如使用施特恩－格拉赫仪器得到的粒子，自旋矢量确实有良好定义的实验意义。

自旋与磁矩

具有自旋的粒子具有磁偶极矩，就如同经典电动力学中转动的带电物体。磁矩可以通过多种实验手段观察，例如，在施特恩-格拉赫实验中受到不均匀磁场的偏转，或者测量粒子自身产生的磁场。 一个基本粒子，电量为q，质量为m，自旋为S，则其内禀磁矩为 其中无量纲量g称为g-因数（g-factor），当仅有轨道角动量时，g=1。 电子是带电荷的基本粒子，具有非零磁矩。量子电动力学理论成功以预测了电子的g-因数，其实验测量值为−2.002 319 304 3622（15），括号中的两位数字为测量的不确定度，来源于标准差，整数部分2来源于狄拉克方程（狄拉克方程是与将电子自旋与其电磁性质联系起来的基本方程），小数部分（0.002 319 304…）来源于电子与周围电磁场的相互作用，其中也包括电子自身的产生的电磁场。

量子力学中关于自旋的数学表示

自旋算符 物理算符 位置算符 动量算符 角动量算符 哈密顿算符 阶梯算符 创生及消灭算符 自旋算符 与角动量算符类似，自旋满足对易关系： 其中为列维-奇维塔符号。与的本征值（用狄拉克符号表示）为： 自旋产生及湮没算符作用于本征矢量上可以得到： 其中。 然而与轨道角动量所不同的是，自旋的本征矢量不是球谐函数，它们不是和的函数，而且与不能取半整数值也只是一种约定，没有具体的含义。 除了其它性质以外，量子力学描述的所有粒子具有内禀自旋（尽管可能出现量子数的情况）。自旋量子数的取值为约化普朗克常数的整数倍或半整数倍，因此波函数可以写为而不是，其中可以取值的集合为：，由此可以区分玻色子（S=0, 1 , 2 , ...）和费米子（S=1/2 , 3/2 , 5/2 , ...）。自旋角动量与轨道角动量之和为总角动量，在相互作用过程中总角动量守恒。 自旋与泡利不兼容原理 泡利不兼容原理指出，对于可分辨的N粒子体系，交换其中任意两个粒子，则有： ： 因此，对于玻色子，前置因子可简化为+1，而对于费米子为-1。在量子力学中，所有的粒子不是玻色子就是费米子，而在相对论量子场论中存在“超对称”粒子，它们是玻色子成分和费米子成分的线性组合。对于二维体系，前置因子可以取为任何模为1的复数。 电子是自旋量子数S=1/2的费米子；光子是自旋量子数S=1的玻色子。这充分说明自旋这一特性无法完全用经典的内禀轨道角动量来解释，也就是不能认为自旋是像陀螺一样的自转运动，因为轨道角动量只能导致s取整数值。电子一般情况下可以不考虑相对论效应，光子必须采用相对论来处理，而用来描述这些粒子的麦克斯韦方程组，也是满足相对论关系的。 泡利不兼容原理非常重要，例如，化学家和生物学家常用的元素周期表就是遵循泡利不兼容原理制订的。 自旋与旋转 如上所述，量子力学指出角动量沿任意方向的分量只能取一系列离散值，量子力学中最普遍的描述粒子自旋的方法是，用一个归一完备的复数集来表示内禀角动量在给定坐标轴方向投影出现的概率。例如，对于自旋1/2的粒子，用表示角动量投影出现的概率为和，它们满足： 由于这些复数的取值依赖于坐标轴的选取，坐标轴转动变换可以是非平凡的，因此要求采用线性的变换法则，以便将所有的转动通过一个矩阵联系起来，这要求变换必须满足乘法运算，而且必须保持内积不变，因此变换矩阵应当满足： 用数学语言表述，这些矩阵是SO(3)群的幺正表示，每一个这样的表示对应于SU(2)群的一个表示（SO(3)群是SU(2)群的子群），SU(2)群的每一个不可约表示对应一个维度。例如，自旋1/2的粒子在二维表示下作转动变换，可以用泡利矩阵表示为： 其中为欧拉角。 同样地，可以用高维群表示描述粒子的高阶自旋变换，参见泡利矩阵相关章节。 自旋与洛伦兹变换 我们可以在洛伦兹变换下研究自旋的行为，但与SO(3)群不同，洛伦兹群SO(3,1)是非紧致的，不存在有限维幺正表示。 对于自旋1/2的粒子，有可能构造出保持内积不变的有限维表示。将每个粒子用一个四元狄拉克自旋量来表示，这些旋量在洛伦兹变换下遵守如下规则： 其中为伽马矩阵，是一个反对称的矩阵，它将洛伦兹变换参数化。我们可以看到内积表示 保持不变。由于表示矩阵是非正定的，因此不是幺正表示。 泡利矩阵和自旋算符 量子力学中表示自旋这个可观测量的算符为： 对于自旋为-1/2的情形，, 和为三个泡利矩阵，表示为 沿x, y和z轴的自旋测量 每个泡利矩阵的哈密顿量有两个本征值：+1和-1。相应的归一化本征矢量为： , , . 根据量子力学基本假设，测量沿x,y或z轴的电子自旋的实验只能得到相应坐标轴上自旋算符（, , ）的本征值：和 粒子的量子态可以用一个具有两个分量的自旋量来表示： 当测量给定坐标轴方向（这里取为x轴）的自旋时，测量到自旋为的概率恰好为。相应的测量到自旋为的概率恰好为。经过测量，粒子的自旋将塌缩到相应的本征态。结果导致，如果粒子在给定坐标轴方向的自旋已经被测量出确定的值，所有的测量将得到相同的本征值（因为，依此类推），只要其它坐标轴方向的自旋还没有被测量。 沿任意方向的自旋测量 沿任意方向的自旋算符很容易从泡利矩阵导出，令为任意单位矢量，则沿该方向的自旋算符为，算符具有本征值。对于高自旋态，沿任意方向的自旋算符可以通过它与x,y,z轴三个方向的矢量的内积来确定。 对于自旋-1/2的粒子，一个沿方向的正交的自旋子为（除了导致0/0的自旋态）： 确定上述自旋子的一般方法：将矩阵对角化，求取与本征值相应的本征矢量，这样的本征矢量就可以作为自旋子。 自旋测量的兼容性 由于泡利矩阵是不对易的，因此沿不同方向测量的自旋是不兼容的，例如，在我们已知x轴方向的自旋的情况下，测量沿y轴方向的自旋，这样会将我们先前在x轴方向的测量结果否定。这可以从泡利矩阵的本征矢量（本征态）中看出来： 因此，假如我们测量到沿x轴方向的自旋是，这个粒子的自旋将塌缩为本征态；当我们接着测量y轴方向的自旋时，自旋本征态将塌缩到或者，塌缩到这两个本征态的概率都是，可以认为这是测量到了。当我们再次测量沿x轴的自旋，测量到或者的概率各为（和），这说明我们最初沿x轴方向的测量不再正确，因为此时沿x轴方向测量的自旋得到两种本征值的概率是相等的。

应用

旋磁共振

核磁共振

电子顺磁共振