En mathématiques, une primitive d'une fonction f d'une variable réelle définie sur un intervalle I est une fonction F, définie et dérivable sur I, dont la dérivée est f, autrement dit telle que pour tout réel x de l'intervalle I, F'(x) = f(x) ; une notation rigoureuse (voir calcul des prédicats) est donc :

Une condition suffisante pour qu'une fonction f admette des primitives sur un intervalle est qu'elle y soit continue.

Si f est une fonction admettant une primitive F sur un intervalle I alors, pour tout réel k, une primitive de kf sur I est kF.

Si F et G sont des primitives respectives de deux fonctions f et g, alors une primitive de f + g est F + G.

Si une fonction f admet une primitive sur un intervalle, elle en admet une infinité, qui diffèrent d'une constante (appelée souvent « constante d'intégration ») : si F1 et F2 sont deux primitives de f, alors il existe un scalaire C tel que F1 = F2 + C.

La recherche de primitives est fortement liée au calcul d'intégrales à cause du second théorème fondamental de l'analyse : si F est une primitive d'une fonction intégrable f : [a, b] → ℝ, alors :

Exemples

Une primitive de la fonction f : x ↦ 2 x {\displaystyle f:x\mapsto 2x} est F : x ↦ x 2 {\displaystyle F:x\mapsto x^{2}}

Une primitive de la fonction g : x ↦ 4 x 3 {\displaystyle g:x\mapsto 4x^{3}} est G : x ↦ x 4 {\displaystyle G:x\mapsto x^{4}}

Une primitive de la fonction f + g : x ↦ 2 x + 4 x 3 {\displaystyle f+g:x\mapsto 2x+4x^{3}} est F + G : x ↦ x 2 + x 4 {\displaystyle F+G:x\mapsto x^{2}+x^{4}}

Une primitive de la fonction f : x ↦ x a {\displaystyle f:x\mapsto x^{a}} est F : x ↦ x a + 1 a + 1 {\displaystyle F:x\mapsto {\tfrac {x^{a+1}}{a+1}}} pour a réel différent de −1.

Une primitive sur ]0, +∞[ de la fonction inverse x ↦ 1 x {\displaystyle x\mapsto {\tfrac {1}{x}}} est la fonction logarithme népérien x ↦ ln ⁡ ( x ) {\displaystyle x\mapsto \ln(x)} .

Dans le cas général, il n'y a pas de manière simple d'avoir la primitive d'une fraction rationnelle sauf en la décomposant en éléments simples.

Une primitive de la fonction cosinus est la fonction sinus.

Une primitive de la fonction sinus est l'opposé de la fonction cosinus.

Autres Une primitive de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.

Calcul automatique

Des logiciels comme Maxima, Sage, Maple ou Mathematica permettent depuis quelques années de calculer interactivement certaines primitives sous forme symbolique. Le premier logiciel permettant d'effectuer de l'intégration assistée par ordinateur sous forme symbolique était le langage FORMAC, utilisé par les physiciens dans les années 1970.

Il n'est cependant pas possible en général d'exprimer les primitives de fonctions élémentaires (comme celles de la fonction x ↦ 1 / ln ⁡ x {\displaystyle x\mapsto 1/\ln x} ) à l'aide de fonctions élémentaires seules (d'où la nécessité d'introduire des « fonctions spéciales » telles que la fonction Logarithme intégral, Li) ; des conditions précises pour qu'une primitive « élémentaire » explicite existe sont données par un théorème de Liouville, et il est même possible d'automatiser complètement la recherche de telles primitives, grâce à l'algorithme de Risch.

Primitives courantes

Pour le premier tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche les primitives, la deuxième est son domaine de définition et la troisième, les primitives de cette fonction sur un intervalle inclus dans ce domaine.

Pour le second tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche les primitives et la seconde, les primitives de cette fonction sur un intervalle inclus dans son domaine.

(Sur une réunion d'intervalles disjoints, une primitive a la même expression, mais avec une constante C a priori différente pour chaque intervalle.)

Fonctions simples

${\displaystyle C,a,\omega ,\varphi }$ désignent des constantes réelles, avec ${\displaystyle \omega \neq 0}$.

Ce tableau inclut les primitives de x a {\displaystyle x^{a}} non seulement pour a ∈ N {\displaystyle a\in \mathbb {N} } (entier naturel), ce qui permet de trouver celles des polynômes, mais aussi pour a ∈ Z {\displaystyle a\in \mathbb {Z} } (entier relatif), par exemple 1 x 2 = x − 2 {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}=x^{-2}} , et même pour a réel non entier, par exemple x = x 1 2 {\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}} et 1 x = x − 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x}}}=x^{\frac {1}{2}}}} . Les fonctions arcsin, arccos et arctan sont les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques correspondantes. Les fonctions cosh, sinh, tanh, et leurs fonctions réciproques arsinh, arcosh et artanh, etc. sont définies et étudiées précisément dans l'article Fonction hyperbolique

Fonctions composées

Soient u et v deux fonctions, et a et λ des réels, avec a ≠ –1.

Primitive généralisée

Une primitive généralisée d'une application f : I → E, où I est un intervalle réel et E un espace vectoriel normé, est une application continue F : I → E telle que, sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable, F' = f.

Si F en est une alors :

les autres sont les applications de la forme F + C où C est une constante (vectorielle) (d'après l'inégalité des accroissements finis généralisée) ;

dans le cas E = ℝ, F est localement intégrable au sens de Kurzweil-Henstock et satisfait : ∀ u , v ∈ I ∫ u v f = F ( v ) − F ( u ) {\displaystyle \forall u,v\in I\quad \int _{u}^{v}f=F(v)-F(u)} (d'après le second théorème fondamental de l'analyse).

Le premier théorème fondamental de l'analyse fournit une réciproque partielle : si f : I → ℝ est réglée (donc localement Riemann-intégrable), l'application F définie par

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$

(où a est un point arbitraire de I) est une primitive généralisée de f.

在微积分中，一个函数 的不定积分，也称为原函数或反导数，是一个导数等于 的函数 ，即 。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。

其中 是 的不定积分。这样，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。

例子

函数 是函数 的一个原函数，但实际上 的原函数有无穷多个。与 相差一个常数的函数都是 的原函数，因为常数函数的导数为零，例如： 。函数族 称为函数 的原函数族，也就是 的所有可能的原函数的集合，其中 叫做积分常数。从图像上来看，这是 垂直平移后得到的一组函数，几何上的解释就是它们在 轴同一点上的斜率都是一样的。

性质

微积分基本定理 不定积分的一个重要应用是计算定积分，微积分基本定理创建了两者间的关系。 微积分基本定理：如果 是闭区间 上的连续函数， 是 在 上的一个原函数，那幺 证明：取区间 的一个分割： ，又设 ，根据拉格朗日中值定理有 所以 在闭区间 上连续，故黎曼可积，于是 于是： 因此， 的原函数族中的每个函数都可以叫做 的不定积分，简写作 ，因为在计算定积分时，积分常数在相减时消掉了。如果 定义在几个不同的区间上，那幺每个区间上的积分常数可以互不相同。例如 就是 的不定积分的一般形式。它的定义区间是 。 积分上限函数 什幺样的函数具有原函数是微积分理论中的基本问题。首先，每个连续函数都有原函数，并且由上面可知，原函数的个数是无限个。其次，对于一个有原函数的函数，它的原函数族中在某点取某个特殊值的只有一个。特别来说，对某个点，恰有一个在上取值为零的原函数，它可以表示为如下的积分上限函数： 下面给出积分上限函数是原函数的证明： 设函数，下证： 。 证明： ，其中，当时，趋向于。 所以有。 由此可以推出前面的结论：的原函数中在点上取值为的只有一个，就是。 这也可以看作是微积分基本定理另一个表达形式。 不连续的函数也可以有原函数，例如考虑函数： 当时， 这个函数在0上不连续，但可以验证函数：（时），是的原函数。 许多看似很“简单”的函数的原函数是无法用初等函数（指数函数、对数函数、代数函数、三角函数、反三角函数以及它们的有限次加减乘除开根号组合）来表达的（但它们一样存在！），比如说如下几个不定积分： 。 它们的积分分别为： 其中erf函数为误差函数， Si函数为三角积分， Li函数为对数积分。 关于什幺时候原函数可以用初等函数表达, 参见刘维尔定理.

积分技巧

积分的线性性质使得我们可以把较为复杂的函数分成几个较为简单的函数的和来计算

换元积分法可以把被积函数转换成比较容易积分的形式，但对换元函数有一定要求。

分部积分法，用于函数乘积的积分。

对于实值分式函数的积分，可以先将函数展开成若干一次分式函数以及二次分式函数的幂的和，再进行积分。

Risch算法。

对于常见的不定积分，可以查看积分表

当函数的不定积分不能用初等函数表达时，可以采用其他办法计算函数的定积分，比如数值积分。

不连续函数的积分

一些很不“规则”的函数，尽管在“非常多”的点上并不连续，但仍有原函数。

在某些情况下，一些不“规则”的函数的不定积分可以通过黎曼积分求得。当然更多的不“规则”的函数不是黎曼可积的。

不定积分公式表

，其 为常数；

，其 是常数 ;

;

，其 ， ;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;