Système de coordonnées cartésiennes dans un plan

Système de coordonnées cartésiennes en 3 dimensions

En mathématiques, un système de coordonnées permet de faire correspondre à chaque point d'un espace à N dimensions, un (et un seul) N-uplet de scalaires. Dans beaucoup de cas, les scalaires considérés sont des nombres réels, mais il est possible d'utiliser des nombres complexes ou des éléments d'un corps commutatif quelconque. Plus généralement, les coordonnées peuvent provenir d'un anneau ou d'une autre structure algébrique apparentée.

On considère que l'espace existe en lui-même indépendamment du choix d'un système de coordonnées particulier.

Exemples

Le cas le plus courant est la notion de coordonnées en géométrie, voir l'article Repérage dans le plan et dans l'espace : on choisit un point de repère appelé « origine », et trois « axes » (les « règles graduées ») de directions distinctes qui ne sont pas dans le même plan (dans le plan, deux directions suffisent). Les coordonnées de ce point sont appelées « abscisse », « ordonnée » et « cote », et sont notées respectivement x, y et z. Voir aussi l'article Géométrie analytique.

En géographie, on associe une longitude et une latitude à des endroits géographiques ; c'est un système de coordonnées. Dans ce cas, la paramétrisation n'est pas unique aux pôles Nord et Sud.

Un exemple de système de coordonnées permet de décrire un point P dans l'espace euclidien par un n-uplet :

étant des nombres réels appelés coordonnées du point P.

Si un sous-ensemble S d'un espace euclidien est appliqué de façon continue sur un autre espace topologique, cela définit les coordonnées de l'image de S. On peut parler de paramétrisation de l'image, puisque ce processus assigne des nombres aux points. La correspondance est unique seulement si l'application est bijective.

Transformations

Une transformation de coordonnées est une conversion d'un système à un autre pour décrire le même espace.

Certains choix de système de coordonnées peuvent conduire à des paradoxes, par exemple au voisinage d'un trou noir, qui peuvent être résolus en changeant de système. Cela n'est toutefois pas possible en une véritable singularité mathématique.

Systèmes courants

Quelques systèmes de coordonnées couramment utilisés :

le système de coordonnées cartésiennes utilisé dans un espace vectoriel ou un espace affine de dimension finie.

pour tout espace vectoriel de dimension finie et toute base, les coefficients des vecteurs exprimés dans cette base peuvent être utilisés comme coordonnées. Changer de base est une transformation de coordonnées, une transformation linéaire qui peut être définie par une matrice.

le système de coordonnées curvilignes est une généralisation, basée sur des intersections de courbes.

les systèmes de coordonnées polaires : le système de coordonnées cylindriques représente un point dans l'espace par un angle, une distance à l'origine et une hauteur. le système de coordonnées sphériques représente un point dans l'espace par deux angles et une distance à l'origine. Le système de coordonnées géographiques en est dérivé.

le système de coordonnées cylindriques représente un point dans l'espace par un angle, une distance à l'origine et une hauteur.

le système de coordonnées sphériques représente un point dans l'espace par deux angles et une distance à l'origine. Le système de coordonnées géographiques en est dérivé.

des systèmes de coordonnées généralisées sont utilisés en mécanique lagrangienne.

Systèmes utilisés en astronomie

L'astronomie utilise plusieurs systèmes de coordonnées pour noter la direction d'un objet céleste :

systèmes de coordonnées célestes : système de coordonnées horizontales, coordonnées locales liées à un point donné de la Terre ; système de coordonnées horaires, défini à partir du plan équatorial terrestre et de la direction du Nord géographique local ; système de coordonnées équatoriales, défini à partir du plan équatorial terrestre, et du point γ (direction correspondant au passage de la déclinaison du Soleil d'une valeur négative à une valeur positive) ; système de coordonnées écliptiques, défini à partir du plan de révolution de la Terre autour du Soleil ; ce système peut être géocentrique ou héliocentrique (ce dernier choix permet de déterminer des coordonnées non sujettes à la précession) ; système de coordonnées galactiques, défini à partir d'un plan fondamental, choisi une fois pour toutes, et situé au voisinage du plan de symétrie de notre Galaxie (contenu dans le disque, où se trouve le Soleil) ; ces coordonnées ne sont pas sujettes à la précession séculaire, dues au déplacement du système solaire (environ 250 km/s) au sein de notre Galaxie ;

système de coordonnées horizontales, coordonnées locales liées à un point donné de la Terre ;

système de coordonnées horaires, défini à partir du plan équatorial terrestre et de la direction du Nord géographique local ;

système de coordonnées équatoriales, défini à partir du plan équatorial terrestre, et du point γ (direction correspondant au passage de la déclinaison du Soleil d'une valeur négative à une valeur positive) ;

système de coordonnées écliptiques, défini à partir du plan de révolution de la Terre autour du Soleil ; ce système peut être géocentrique ou héliocentrique (ce dernier choix permet de déterminer des coordonnées non sujettes à la précession) ;

système de coordonnées galactiques, défini à partir d'un plan fondamental, choisi une fois pour toutes, et situé au voisinage du plan de symétrie de notre Galaxie (contenu dans le disque, où se trouve le Soleil) ; ces coordonnées ne sont pas sujettes à la précession séculaire, dues au déplacement du système solaire (environ 250 km/s) au sein de notre Galaxie ;

systèmes de coordonnées extragalactiques : système de coordonnées supergalactiques, basé sur le plan du superamas de galaxies local

système de coordonnées supergalactiques, basé sur le plan du superamas de galaxies local

Autres

En relativité générale, certains systèmes de coordonnées sont choisis de façon à simplifier les calculs.

Un système de coordonnées harmoniques représente un système de coordonnées qui, vues comme étant des champs vectoriels sont de laplacien nul.

Plus généralement, le système de coordonnées est essentiellement arbitraire en relativité générale, la structure des équations ne dépendant pas du choix de coordonnées. Cependant, lorsque vient la phase de résolution des équations du champ gravitationnel, certains systèmes de coordonnées s'avèrent plus commodes que d'autres, ou permettent une interprétation physique simple des résultats obtenus. Les classes de systèmes de coordonnées possédant telle ou telle propriété sont appelés jauge. Dans le domaine de la théorie des perturbations cosmologiques, le choix d'une telle jauge peut présenter des avantages.

Articles connexes

système de coordonnées (cartographie)

坐标系是数学或物理学用语，定义如下：

对于一个n维系统，能够使每一个点和一组（n个）标量构成一一对应的系统。

坐标系可以用一个有序多元组表示一个点的位置。一般常用的坐标系，各维坐标的数字均为实数，但在高等数学中坐标的数字可能是复数，甚至是或是其他抽象代数中的元素（如交换环）。坐标系可以使几何学的问题转换为数字的问题，反之亦然，是解析几何学的基础。

描述地理位置时所用的经度及纬度就是坐标系统的一种。在物理学中，描述一系统在空间中运动的参考坐标系统则称作参考系。

数线

数线是最简单的座标系，用一个实数标示一个点在在线的位置。数线中会有一个原点O，以及单位长度及其方向。点P的座标为从O到P的有号距离，座标是正值或负值则依P点在原点的哪一侧来决定。数在线每一个点都有唯一的座标，每一个实数也都可以在数在线找到唯一的对应点

笛卡儿座标系

平面的笛卡儿座标系 笛卡儿座标系也称为直角座标系，是最常用到的一种座标系。是法国数学家勒内·笛卡尔在1637年发表的《方法论》附录中提到的。 在平面上，选定二条互相垂直的线为座标轴，任一点距座标轴的有号距离为另一轴的座标，这就是二维的笛卡儿座标系，一般会选一条指向右方水平线称为x轴，再选一条指向上方的垂直线称为y轴，此两座标轴设置方式称为「右手座标系」。 若在三维系统中，选定三条互相垂直的平面，任一点距平面的有号距离为座标，二平面的交线为座标轴，即可产生三维的笛卡儿座标系。一般会选择x轴及y轴是水平的，z轴垂直往上，且三轴维持右手定则，若先将右手的手掌与手指伸直。然后，将中指指向往手掌的掌面 半空间，与食指呈直角关系。再将大拇指往上指去，与中指，食指都呈直角关系。则大拇指，食指，与中指分别表示了右手座标系的 x-轴，y-轴，与 z-轴。 此概念可以延伸，在n维的欧几里得空间中创建n维的笛卡儿座标系。

极座标系

平面上的极座标系 极座标系也是一种常用的平面座标系统。实际上应用“极坐标”这个术语的是由格雷古廖·丰塔纳（Gregorio Fontana）开始的，是由乔治·皮科克（George Peacock）在1816年翻译席维斯·拉克鲁克斯（Sylvestre François Lacroix）的《微分学与积分学》（Traité du calcul différentiel et du calcul intégral）一书时，被翻译为英语的。 极座标中会定一点为极点，再将一条通过极点的射线定为极轴。若给定一角度θ，则可绘出通过极点，和极轴夹角为θ的唯一射线（角度是以从极轴，依逆时针方向旋转到射线），若再给定一实数r，可找出上述射在线，距极点距离为有号整数r的一点。 在极座标系中，一座标（r, θ）只会其对应唯一的一点，但每一点均可对应许多个座标。例如座标（r, θ）、 （r, θ+2π）及（−r, θ+π）都是对应同一点的不同座标。而极点的座标为（0, θ），θ可为任意值。 极坐标和可以用下式变换为直角坐标： （参阅毕氏定理） （atan2是已将象限纳入考量的反正切函数） 从直角坐标和也可以变换为极坐标：

圆柱座标系及球座标系

是原点至P点之间的距离。

是线 OP 在 xy-面的投影线与正 x-轴之间的夹角。

z与直角座标的 等值。

是原点至P点在xy-面上投影点之间的距离。

是线 OP 在 xy-面的投影线与正 x-轴之间的夹角。

为原点到点 P 的连接与正 z-轴之间的天顶角。

齐次坐标

在齐次座标表示时，会增加一个额外的座标，例如平面上的一点可以表示为（x, y, z），其中x/z及y/z为其原来在平面上的笛卡尔座标。其优点是可以在不使用无限大的情形下表示射影平面上的任意点。一般齐次座标会用在座标之间的比例比实际的数值来的重要的情形下。

其他几何形状的座标表示

坐标转换

一种是每一个点在新座标系座标的对射，恰为旧座标系的座标。

一种是每一个点在旧座标系座标的对射，恰为新座标系的座标。

坐标曲线及坐标曲面

球座标系下的座标曲面 若在二维座标系中一个座标维持定值，只允许一个座标变动，所形成的曲线称为座标曲线（或座标线）。不过不是所有的座标系都有座标曲线，例如齐次座标系中就没有座标曲线。 在笛卡尔座标系中，座标曲线为平行座标轴的直线。其他座标系的座标曲线就是一般的曲线。例如在极座标系中，若固定r为定值所形成的座标曲线是圆心在原点的圆。在欧几里得空间中笛卡尔座标系以外的座标系即称为。 若在三维座标系中一个座标维持定值，允许其他座标变动，所形成的曲面称为座标曲面。例如在球座标系，若固定ρ为定值所形成的座标曲面是球心在原点的球。三维空间中二座标曲面的交线即为坐标曲线。在更高维度的空间也可依此定义座标超曲面。

座标图

座标图（coordinate map）的概念是流形理论的核心。本质上座标图是一个针对给定空间子集的座标系，其中每一个点都恰有一个对应的座标。若要精准的定义，座标图可定义为从空间X的开子集到R的开子集的同胚。一般的座标系不太可能针对所有空间中的点都有明确唯一的座标。此时可以用一组座标图形成一个适合此空间的图册。有此性质的空间称为流形，若座标图重叠的部份符合某些特定的结构，也可以定义有特殊结构的流形。例如微分流形就是座标图之间的转换恒为微分函数的流形。

座标的变换

在几何学及运动学中，座标系不但会用来描述点的直线位置，也会用来描述轴、平面或刚体的角度取向。一般会设置一固定于刚体的参考系，称为附体参考系，另一个不随刚体变动的参考则为空间参考系。一般刚体的运动可以在附体参考系下的座标来表示，再根据附体参考系相对空间参考系的位置及取向来取得刚体相对空间的运动。例如刚体的角度取向可以用一个方向矩阵来描述，矩阵的三个栏是三个点的笛卡尔座标，这些可用来标示局部座标系统的座标轴方向，也可用来计算座标轴的单位矢量。

常用的座标系

三维空间中的笛卡尔座标系（也称为直角座标系）是定义三个互相垂直的座标平面，一点的座标即为点到各座标平面的垂直距离。

是一种广义的座标系，此座标系是以相交的曲线为基础。

平面上的极座标系是以用一点相对原点的角度及距离来表示。

平面上的是以用一点相对原点的角度及其距离的对数来表示。

三维空间中的圆柱座标系是以一个角度、高度及一长度来表示一个点。

三维空间中的球座标系是以二个角度及点到原点的距离来表示一个点。

普吕克座标可以将三维空间中的直线描述为6个齐次座标。

广义座标是在处理拉格朗日力学时使用。

正则座标是在处理哈密顿力学时使用。

平行座标将n-维空间中的一点表示为和n条垂直线有交点的折线。

重心座标一般用在三角图中。

惠威尔方程和弧长和正切角有关。

切萨罗方程和弧长及曲率有关。

正交坐标系列表

象限

四象限图示 以笛卡儿平面座标系为基准，右上为第一象限，左上为第二，左下为第三，右下就是第四象限，第一象限的x座标和y座标均为正值，第二象限的x座标为负值，y座标为正值，第三象限的x座标和y座标均为负值，第四象限的x座标为正值，y座标为负值，而平面座标分六大部分，除了四个象限，还有x轴与y轴。 在笛卡儿空间座标系中也可以依xy平面，xz平面及yz平面将不含上述平面空间分为八份，称为卦限，但一般只定义座标均大于零的为第一卦限。

参照

字母数字网格

天球坐标系统

参考系

伽利略变换

诺谟图，不同坐标系的图象表示法

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