Le cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points du plan à distance r de O.

En géométrie euclidienne, un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment variable, il existe donc une infinité de cercles pour un centre quelconque, dans chacun des plans de l'espace.

Dans le plan euclidien, il s'agit du « rond » qui est associé en français au terme de cercle. Dans un plan non euclidien ou dans le cas de la définition d'une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe. Dans un espace de dimension quelconque, l'ensemble des points placés à une distance constante d'un centre est appelé sphère.

D'autres formes peuvent être qualifiées de « rondes » : les surfaces et solides dont certaines sections planes sont des cercles (cylindres, cônes, etc.).

Définitions

Divers objets géométriques liés au cercle.

Pendant longtemps, le langage courant employait le mot « cercle » autant pour nommer la courbe (circonférence) que la surface qu'elle délimite. De nos jours, en mathématiques, le cercle désigne exclusivement la ligne courbe, la surface étant, quant à elle, appelée disque.

Le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre définit le nombre pi.

D'autres termes méritent d’être définis :

Une corde est un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle.

Un arc est une portion de cercle délimitée par deux points.

Une flèche est le segment reliant les milieux d'un arc de cercle et d'une corde définis par deux mêmes points du cercle

Un rayon est un segment de droite joignant le centre à un point du cercle.

Un diamètre est une corde passant par le centre ; c'est un segment de droite qui délimite le disque en deux parts égales. Le diamètre est composé de deux rayons colinéaires ; sa longueur est .

Un disque est une région du plan limitée par un cercle.

Un secteur circulaire est une partie du disque comprise entre deux rayons.

Un angle au centre est un angle formé par deux rayons du cercle.

La circonférence est le périmètre du cercle et est égale à

Équations

Équations cartésiennes et paramétriques

Cercle unité : centré sur l'origine du repère et de rayon 1 ; définition du sinus et du cosinus.

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l’équation cartésienne du cercle de centre et de rayon est :

, soit pour le cercle unité ou cercle trigonométrique (le cercle dont le centre est l'origine du repère et dont le rayon vaut 1) :

Cette équation est en fait une application du théorème de Pythagore pour le triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes.

En mettant en évidence, on obtient la double équation cartésienne du cercle (en fait une équation pour chaque demi-cercle délimité par le diamètre horizontal)  :

.

Des équations paramétriques possibles du cercle (en fonction du paramètre qui exprime ici un angle orienté du vecteur joignant le centre du cercle à un de ces points par rapport au vecteur horizontal unité du repère) sont données par :

soit, pour un cercle centré sur l'origine  :

et pour le cercle unité :

On peut également déterminer une équation pour le cercle de diamètre  :

, soit encore :

Points d'intersection avec une droite

La géométrie analytique permet de déterminer l'intersection d'un cercle et d'une droite. Sans perte de généralité, l'origine du repère est le centre du cercle et l'axe des abscisses est parallèle à la droite. Il s'agit alors de résoudre un système de la forme :

donc de chercher les solutions x de

Trois cas se présentent, selon que la distance entre le centre du cercle et la droite est plus grande que le rayon, égale, ou plus petite :

si , l'intersection est vide ;

si , la droite est tangente au cercle au point ;

si , il existe deux points d'intersection :

Le cercle vu comme section

Un cercle est une section droite d'un cône de révolution.

Représentation conventionnelle d'un cercle en dessin industriel.

Le cercle est une ellipse dont les foyers sont confondus au centre du cercle ; la longueur du grand axe est égale à la longueur du petit axe. C'est une conique dont l'excentricité vaut 0. Elle peut être obtenue par l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est perpendiculaire à l'axe de révolution du cône (on parle parfois de « section droite » du cône).

En dessin industriel, un cercle est le plus souvent représenté avec son axe horizontal et son axe vertical (en traits d'axe : trait fin composé de tirets longs et courts), ou bien simplement avec son centre matérialisé par une croix droite « + » en traits fins. Une forme de révolution, pleine ou creuse (cylindre, cône, sphère) et vue selon l'axe de révolution est représentée par un cercle.

Propriétés géométriques

Mesures

La longueur d'un arc de rayon sous-tendu par un angle au centre , exprimé en radians, est égale à . Ainsi, pour un angle de (un tour complet), la longueur du cercle vaut .

L'aire du disque délimité par un cercle de rayon vaut ; si l'on prend une corde de longueur donnée et que l'on s'en sert pour délimiter une surface fermée, la surface ayant la plus grande aire est délimitée par un cercle.

Selon la légende de la fondation de Carthage, le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le pourtour serait délimité par une peau de vache ; Didon en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface.

Corde et flèche d'un arc

La longueur d'une corde sous-tendue par un angle est égale à .

On peut exprimer le rayon r d'un cercle, la corde c et la flèche f d'un quelconque de ses arcs, selon deux d'entre eux :

La sinuosité de deux arcs de cercle semblables opposés joints dans le même plan en continument dérivable est indépendante du rayon du cercle.

Tangente

Trouver le point de tangence.

Tangente perpendiculaire au rayon.

La tangente en un point du cercle est la perpendiculaire au rayon en ce point.

Cette propriété a des applications en optique géométrique : un rayon lumineux passant par le centre d'un miroir sphérique repart en sens inverse selon la même direction (on a une réflexion perpendiculaire au miroir). Si l'on met une ampoule au centre d'un miroir sphérique, la lumière est renvoyée de l'autre côté, ce qui permet par exemple de « rabattre » la lumière vers un miroir parabolique (principe du contre-miroir).

Considérons un cercle de centre O et un point A extérieur à ce cercle. On cherche une tangente à ce cercle passant par A ; le point de tangence est appelé T.

On utilise le fait que le triangle AOT est rectangle en T. Ce triangle rectangle est donc inscrit dans un cercle dont le centre est le milieu de [AO], ou encore, ce qui est équivalent, que l'hypoténuse a une longueur double de la médiane issue de l'angle droit.

On détermine donc le milieu I de [AO], puis on trace un arc de cercle de centre I et de rayon IO. Cet arc de cercle coupe le cercle aux points de tangence.

Médiatrice

La médiatrice d'une corde passe par le centre.

La médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle. Ceci permet de trouver le centre d'un cercle : il suffit de tracer deux cordes non parallèles et de rechercher l'intersection de leurs médiatrices.

On peut aussi montrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes et que le point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets, appelé cercle circonscrit au triangle.

Cercle et triangle rectangle

Triangle rectangle inscrit dans un cercle.

Prenons trois points A, B et C, dont deux — A et C — sont diamétralement opposés (c'est-à-dire que [AC] est un diamètre). Alors, le triangle ABC est rectangle en B.

Ceci découle du fait que la médiane issue de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse (on a un rayon et un diamètre) ; ceci est une propriété du triangle appelée le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle.

Angle inscrit, angle au centre

Illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc.

Prenons deux points distincts et du cercle. est le centre du cercle et est un autre point du cercle. Alors, on a

Pour l'angle au centre , il faut considérer le secteur angulaire qui intercepte l'arc opposé à l'arc contenant .

Cette propriété est utilisée dans les appareils d'analyse spectrale par dispersion de longueur d'onde, c'est la notion de cercle de focalisation ou cercle de Rowland.

Puissance d'un point par rapport à un cercle

Puissance d'un point par rapport à un cercle.

Si est un point et est un cercle de centre et de rayon , alors, pour toute droite passant par et rencontrant le cercle en et , on a

.

Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie, mais seulement de la position de par rapport au cercle.

On peut remarquer que

si est à l’extérieur du cercle, ;

si est à l’intérieur du cercle, ; ce produit correspond au produit des mesures algébriques MA et MB.

On appelle alors puissance du point par rapport au cercle le produit des mesures algébriques MA et MB. Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours .

Lorsque le point est à l'extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelant le point de contact d'une de ces tangentes, d'après le théorème de Pythagore dans le triangle , la puissance de est .

L'égalité :

est suffisante pour affirmer que la droite () est tangente au cercle.

La puissance d'un point permet de vérifier que quatre points sont cocycliques : en effet, si

, , , sont quatre points tels que () et () se coupent en et

MA×MB = MC×MD (en mesures algébriques),

alors les quatre points sont cocycliques.

Rapport des cercles inscrits

Illustration de l'unique disposition de N cercles inscrits, pour N de 2 à 6.

Rayon et surface des 2 plus grands cercles inscrits dans le cercle de rayon et de surface :

Rayon et surface des 3 plus grands cercles inscrits :

Rayon et surface des 4 plus grands cercles inscrits :

Rayon des 5 plus grands cercles inscrits :

Rayon et surface des 7 (ou 6) plus grands cercles inscrits (1 cercle au centre entouré de 6) :

Inscription de cercles, de même rayon, dans un cercle, un triangle équilatéral, un carré

Note et référence

↑ Voir la définition de l'adjectif rond sur le site du CNRTL.

↑ Retrouver ces figures d'inscription de cercles dans la page empilements dans le plan

圆 （英语：Circle），根据欧几里得的《几何原本》定义，是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合。此外，圆的第二定义是：「平面内一动点到两定点的距离的比，等于一个常数，则此动点的轨迹是圆。」

历史

古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很像圆。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走。 约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。 古代埃及人认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前中国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。

性质

直角坐标系中的定义：，其中a是半径，是圆心坐标。

参数方程的定义：，

极坐标方程的定义（圆心在原点）：

直径：经过圆心的弦叫做直径（用表示）。

半径（英语：radius）：在圆中，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径，半径用字母表示。

性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

圆心角、圆周角

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。

半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧的半圆，所对的弦是直径。

若三角形一边上的中线等于这边的一半，那幺这个三角形是直角三角形。

垂径定理

推论1：（1）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

两圆位置关系

：两圆不相交（内含），互为同心圆。

：两圆不相交（内含，亦称「内离」）。

：两圆相交于一点（内切），有1条共同切线。

：两圆相交于一点（外切），有3条共同切线。

：两圆相交于两点，有2条共同切线。

：两圆不相交（外离），有4条共同切线。

过两圆与交点的圆系方程为：

过直线与圆交点的圆系方程为:

过两圆与交点的直线方程为：

其他定义

椭圆是平面上到两个固定点的距离之和为常数的点之轨迹，椭圆的形状可以用离心率来表示；圆可以看作是一种特殊的椭圆，即当椭圆的两个焦点重合，离心率的情况。

在三维空间，球面被设置为是在空间中与一个定点距离为的所有点的集合，此处r是一个正的实数，称为半径，固定的点称为球心或中心，并且不属于球面的范围。是球的特例，称为单位球。

在测度空间中，圆的定义仍旧指距离一定点等距（在该测度下）的点的集合。

其它

球体

扁球体

圆锥体

圆柱体

圆台

外置圆

内切圆

旁切圆

当多边形的每条边固定，以有外置圆的图形面积最大。

化圆为方是指用尺规作图的方法将画出和一个已知圆面积相同的正方形。已经证明这是不可能的。

塔斯基分割圆问题要求用分割的方法来使已知圆变成正方形。